幺正变换

幺正变换 物理与电子信息学院学年论文 幺正变换 摘要:从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换～本文介绍了幺正变换的定义～推导了不同表象之间的变换关系～讨论了幺正变换下算符、波函数的变化以及幺正变换的性质～并举例应用幺正变换不改变本征值的性质～求算符的本征值。对学习幺正变换以及加深对幺正变换的理解有重要作用。 关键词:表象,算符,波函数,幺正变换 一、引言:和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子态或者同一个算符也可以在不同表象中表示。在高等数学中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们联系起来。在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。在表象变换中，算符的本征值不变，与在高等数学中选用适当的坐标系可以大大简化计算过程相似，在量子力学中，选用适当表象，或通过表象变换到适当的表象，也可以使计算过程大大简化，甚至直接得出所求结果。 二、A表象与B表象的变换关系(基矢变换) ˆˆAB设力学量算符、的本征方程分别为 ˆˆAxx,,,,()(),,,,Bxx()()(,1,2,)n,,nnn,,, 其中和均为正交归一完备系。 ,,，，x,，，,x,,,n 将按展开 ,,，，x,，，,x,,n, ,,()()xSx,,,,1,2,？,,nn n***,,()()xxS,,,,mm,,1,2,？ m 展开系数为 ***Sxxdx,,,()()Sxxdx,,,()()nn,,mm,,,, 就是变换矩阵。通过它可以把B表象的基矢用A表象的基矢表示出来。展开，，S,Sn, 式的矩阵表示为 1 物理与电子信息学院学年论文 ,,()？()xSSx,,,,,,111211,,,,,,(),？(),xSS,x,,,,,,212222,,,,,,？？？？？,,,,,, **,,？SS1112,,******？,？？，，，，,(x),(x),(x),(x)SS,,12122122,,？？？,,， 利用基矢组的正交归一性，得 ,，，x,,, *****，，,,,,dx,SSdx,,SdxS,,,,,,,,,,,,,,mmnnmmnn,,，，nm,nm, **，，,SS,,SS,SS,mmnn,,,,,,,,nnnn,()SS,,nm,nn， ，SS,I即， ，SS,I同理，可以证明， ，,S,S因此。 满足上式得矩阵称为幺正矩阵。由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。所以，从 一个表象到另一个表象的变换为幺正变换. 三、幺正变换下算符和波函数的变化。 1、算符的变换 ˆˆ,FF在 B表象中，算符F的矩阵元是，在A表象中，算符的矩阵元是，它们F,,mn 两者之间的关系是 ***,FFdxSFSdx,,,,,,,mmnn,,,,,,,,mn ** =SFdxS,,,mmnn,,,mn *， =SFSSFS,,,mmnnmmnn,,,,mnmn 上式写成矩阵形式是 ，,1,FSFSSFS,, ,1,FSFS,或 波函数的变换 2 物理与电子信息学院学年论文 考察波函数从A表象到B表象的变化。将分别按 A表象和B表象的本，，，，,x,t,x,t 征函数系及展开: ,,，，,，，,,x,xnn ,,(,)()()xtatx,,nnn ,,(,)()()xtbtx,,n,, 在A表象和B表象的表示分别为两个列矩阵: ，，,x,t atbt()(),,,,11,,,,atbt()()22,,,, ,,,, b= a,,,,,atbt()()nn,,,, ,,,, ,,,, 利用以上的式子和本征函数系的正交归一性，得 ,,，，,x, *btxxtdx()()(,),,,,,, **()(,)xSxtdx, =,,mm,,m *，SatSa(), =,,mmmm,,mm 上式写成矩阵形式 ，,1bSaSa,, 或a,Sb 四、幺正变换的性质 1(幺正变换不改变算符的本征值。 ˆF设算符在A表象和B表象中的本征值方程分别为 ,Faa,,Fbb,,AB ,,11,,11,1FbSFSSa,()(),SFSSa,SFaBAAA因为 ,1,1,Sa,,,Sa,,b ? ˆF,?是算符在B表象中的本征方程，相应的本征值仍为。因为本征值就是在相应 ˆ,F,,,的本征态中测量力学量得出的数值，它与表象的选取及表象变换无关。所以， 3 物理与电子信息学院学年论文 即表象变换不改变算符的本征值。 2(幺正变换不改变矩阵的迹 SpF,TrF,F矩阵的迹 ，，F,F,mnmnn ,1,1,1,,SFS,()SFSSpFSpSFS(),,,,,,,,mmnn,,mn, ,1,1,SSF,,F,()SSF,,,,nmmn,,nmmnnmmnmn,,mnmn,, ,F,SpF,nnn 五、幺正变换的应用 利用幺正变换不改变本征值的性质，可以求算符的本征值。前面曾证实，算符在自身表象中对应对角矩阵，而且对角线上的元素就是它的本征值。现在又证明了表象变换不改变算符的本征值。因此如果通过表象变换，使算符变回到自身表象，或者说，通过 ,1,,F,FSF一个幺正变换S，使得并不对角化的F矩阵，变成对角化的矩阵，则矩阵s对角线上的元素，就是相应的本征值。于是，求本征值的问题就归结为使矩阵对角化的问题。 ˆF例:设算符在某一表象A 中的矩阵为 i,,,0eF,,,i,,e0,,,，其中为常数，求: ˆF?的本征值和在A 表象中的正交归一本征函数; ?求使矩阵F对角化的幺正变换S。 ˆF解:?在A表象中的本征方程为 i,aa,,,,,,0e11,,,,,,,,,i,aae022,,,,,, i,a,,,,,,e1,0,,,,i,,ae,,2,,,,即? 上式有非平庸解的条件是 i,,,e210,,,,,i,e,, 4 物理与电子信息学院学年论文 ,,，1 -1 解得 ,iaea,,,，112 代入方程(1)可得: 将 i,,,e,,a,,12 1,,则本征函数为 1a,，2,,,12利用归一化条件，得 i,,,e1,,,,1 12,,则 ,,,1同理，当时，代入方程，得: i,,,e1,,,,2,12,, ?为找出能使矩阵F 对角化的幺正矩阵S，我们将本征函数列排列，得: ii,,,,ee1S,,,11,2,, ,i,,,e11，S,,,,i,e,12,, 所以 ,iiii,,,,,,,,,,eeee101,，1,FSFSSFS,,,,,,,,,,,ii,,2ee,,1011,,,,,, 10,, =,,01,,, 总结:以上给出了幺正变换的定义～通过推导知道了幺正变换下算符和波函数的变化。证明了幺正变换下算符的本征值和矩阵的迹不变。在量子力学中算符的本征值也应与所选用的表象无关～因为本征值就是在相应的本征态中观测算符所对应的力学量时的观测值～是实验测量所得到的值。通过给出的例子～知道如何应用幺正变换求算符的本征值～但这种方法更确切的说是一种验证原来求本征方程是否正确的方法。 参考文献: ?苏汝铿《量子力学》，高等教育出版社，2002年12月，页(140—147). ?张永德《量子力学》，科学出版社，2008年，页(114). 5 物理与电子信息学院学年论文 Unit transformation Abstract: The transformation from one representation to another is defined as unit transformation, The definition of one positive transformation is introduced in this paper, the relation of transform between the different representations and the transform operator are also discussed. This paper also introduces the wave function changes under the unit transformation, and provides an example for the application of positive transformation of the intrinsic value of nature. So it will surely plays an important role in learning and deepens the understanding of the unit transformation. 6