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应用泛函分析相关习题

2019-09-20 8页 doc 117KB 62阅读

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应用泛函分析相关习题泛函分析练习题 一名词解释: 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部: 7. 线性算子、线性范函: 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间: 11. 弱有界集: 12. 紧算子: 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Baire纲定理 7、...
应用泛函分析相关习题
泛函分析练习题 一名词解释: 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部: 7. 线性算子、线性范函: 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间: 11. 弱有界集: 12. 紧算子: 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Baire纲定理 7、开映射定理 8、Riesz现定理 三证明题: 1.若 是度量空间,则 也使 成为度量空间。 证明: 显然有 (1) , 当且仅当 。 (2) (3)由 , 关于 单调递增,得 故 也是 上的度量。 2, 设 是内积空间, ,则当 时, ,即内积关于两变元连续。 证明: 已知 ,即 。 故有 即 。 5.设 若 是从 的算子,计算 若 是从 的算子再求 。 解:(1)当 是从 的算子。 所以 。 取 ,则 所以 。 故有  (2)当T是从 的算子时 所以  取 ,则 。 又  所以  故有     6.若 是 上的另一完备范数(原范数记为 ),并且当 时必有 , ,则 与 等价. 证明: 定义 , 因为 与 完备,显然 是一一的到上的线性算子,故只须证明 是连续算子. 由已知 时,必有 , . ,即 一致收敛到 .由收敛的唯一性知 . 所以 为闭算子,又 与 完备, 由闭算子定理得, 是连续算子. 四论述题: 1、 证明 完备,并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、 证明 为 上范数,并论述证明范数的一般步骤。
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