特征方程法求数列的通项公式

特征方程法求数列的通项公式 九江市教研室 林健航 求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通 项公式的一种有效途径. aab,，*na,cadbcnN,,,0,,1.已知数列满足......? 其中. a,,n，1ncad,，n axb，定义1:方程为?的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为. x,,,,a,,ncxd， aa,,,,ac,,nn，1定理1:若,,,,,,a且,则. ,,,1aaca,,,,,,nn，1 ，,axbadb2: xcxdaxb,,，,,,,，,,,()0,,,,,cxdcc， ？,,，,,dacbc(),,,,, aab，n,,acadaabcadacabd,，，,，,，,()()()(),,,,nnnnn，1 ？,,, aab，naaabcadacabd,，,，,，,()()()()nnnn,,,,，1,,cad，n ()[()]()()acacaccacaac,，,,,,,,,,,,,,,,,,nn ,, ()[()]()()acacaccacaac,，,,,,,,,,,,,,,,,,nn a,,ac,,n ,, 证毕 aca,,,,n 121c定理2: 若,,,,a,，且,则. ad，,01aada,，,,,nn，1 2证明: dacbc,,,,2,,, cadcad，，11nn ？,,, aab，n,,,,aaabcadacabd,，,，,，,()()()nnnn，1,,ncad， caaccaaccaac，,，,，,222,,,nnn ,,, 22ad，()(2)()()acacacaca,,，,,,,,,,,,nn()a,,n2 2242(2)2()()caaccaacdcaad，,，,，,，，,,,nnn,,, ()()()()()()adaadaada，,，,，,,,,nnn 21c,， 证毕 ,，,adan 例1: （09?江西?理?22）各项均为正数的数列aaab,,,,,且对满足amnpq，,，,,12n aa，aa，pqmn的正数都有. ,mnpq,,,，，，，aaaa(1)(1)(1)(1)mnpq 14(1)当a时,求通项;(2)略. ab,,,n25 aa，aaaa，，aa，pq121nn,mn解:由,得 ,(1)(1)(1)(1)，，，，aaaa，，，，aaaa(1)(1)(1)(1)121nn,mnpq 21a，14n,1将a,代入上式化简得 ab,,,na，225n,1 21x，考虑特征方程得特征根 x,x,,1x，2 21a，n,1,1aaa,，,1211nnn,,11所以,,, 21a，n,1aa，，131nn,1，1a，2n,1 ,,a,1a,111n1所以数列,,是以为首项,公比为的等比数列 ,,a，133a，11n,, na,111131,nn,1n故,,,,,()()a, 即 nna，133331，n 1*例2:已知数列2,2,aanN,,,,a满足,求通项. a,,1nnna1n, 1解: 考虑特征方程得特征根 x,,2x,1x a1111n,1,,,,，1 11,,,aaa111nnn,,11,,,(2)11nn,,11aa ,,11所以数列,1是以为首项,公差为1的等差数列 ,,a,11a,1n,, 1n，1故,n 即a, n1a,nn acaca,，cc,已知数列满足......? 其中为常数,且a,,nnn，，211212n *cnN,,0,. 22. 2定义2:方程xcxc,，,,,为?的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为. a,,1212n abb,，,,,11122nn定理3:若abb,，,,,,,bb,,则,其中常数,且满足. ,n1122121222abb,，,,,21122 abb,，(),,112n定理4: 若abbn,，(),,,,,,bb,,则,其中常数,且满足. n,1212122abb,，(2),,212例3:已知数列aaaaa,,,,1,2cos,2cos,,a满足,求通项. a,,1221nnn，，nn 2解: 考虑特征方程xx,,2cos1,,,,,,,,，,,cossin,cossinii得特征根 12 nn 则abibibbnibbn,，，,,，，,(cossin)(cossin)()cos()sin,,,,,, n121212 bb，,0,121()cos()sin,，，,bbibb,,,sinn,,1212 其中 ,,,a1,,nibb(),,2cos()cos2()sin2,,,,，，,bbibbsin,12,1212,sin,,例4:已知数列aaaaa,,,,2,8,44a满足,求通项. a,,1221nnn，，nn 2解: 考虑特征方程xx,,44得特征根 ,,2 n 则abbn,，()2 n12 2()20bbb，,,,,121n 其中,,,an2 ,,n4(2)81bbb，,,,,122 分享源源不断