对流扩散方程

对流扩散方程 2抖uuu ,+=a2抖tx?x网格比 DtDtr=, ， ,=a2DxDx而它们的比值 Dta,axDDx == rtD,,2Dx 是一个无量纲量，称为网格雷诺数，也就是以网格尺寸 为特征Dx 长度的雷诺数，通常记作 。 ReDx (1) 显式中心差分格式 nnnnnnn+1uuuuuuu---+2jjjjjjj+-+-1111, +=a2DDtx2Dx即 ,nnnnnnn+1uuuuruuu=--+-+2 ()()jjjjjjj+-+-11112 精度: n2 Rtx=DD, , ()j 1 ikxnnj稳定性分析:设 ，则 ,=Cejk ikxx-Dikxx+Dikx()()nnnnjj++11nnj ， ， ,=Ce,=Ce,=Ce11jk-jk+jk 代入差分格式 ikxxikxx+D-D,骣ikxikx()()nnnn+1jjjj?çCeCeCeCe=--?kkkk?ç桫2 ikxxikxx+D-D骣ikx()()nnnjjj?ç2+-+rCeCeCe?kkk?ç桫 令 ，可求出增长因子 ,=Dkx n+1CkG=nCk ,iiii,,,,--12=--+-+eeree()()2 =-+-1sin2cos1ir(),,, 骣骣2鼢珑,,,鼢=-+14sin2sincosri珑鼢,珑鼢珑222桫桫 所以 22骣骣2,,,2鼢珑鼢Gr=-+14sin2sincos,珑鼢珑鼢珑222桫桫 224222,,,,=-++18sin16sin4sincosrr ,2222 骣22222?ç,,,?=---1424sincossinrrç?,ç?ç222桫 2 因此 2,,2222 GGrr,,1 1 24sincos0-- , 22 我们来考虑函数 ,,2222 frr=--24sincos,,()22 ?的极值。为此，需求出其驻点，即 f,=0 。实际计算，知 () ,,,,,,2222? frr=-+=-4sincossincos4sincos,,,()()222222 ,,22除非 ，否则应该有 或者 。 sin0=cos0=,=4r 22 ,,2fr,,=-2当 时， ， ， sin0=cos1=() 22 ,,2frr,=-24当 时， ， ， cos0=sin1=()22 所以，显式中心差分格式的稳定性条件是 2220r- ,240rr- ， 即 2,1?2 ， r? 2r 其中的第一个不等式可以用网格雷诺数表示成 2r? 2 Re()Dx 3 因此，稳定性条件可写成 骣?ç21?ç?çrmin,? ?ç2?2ç?Reç?()桫Dx 如果再注意到 2Dt2a222,aDx ==Dt rtD,,2Dx 上述稳定性条件化为对时间步长的限制条件 2骣2,Dx?ç? D tmin,ç?2ç?ç2,a桫 ,<0,+=a2DDtxDx nnnnnnn+1uuuuuuu---+2jjjjjjj++-111 (a<0) ,+=a2DDtxDx注意到 nnnnnuuuuu---+2()()+-+-1111jjjjjnn uu-=-1jj2 nnnnnuuuuu-+-+2()()+-+-1111jjjjjnn uu-=+1jj2所以格式可以改写成 nnnnnnnnnn+1uuuuuuuuuu---+-+22jjjjjjjjjj+-+-+-111111, +=+aa2DDDtxx22Dx a>0 () nnnnnnnnnn+1uuuuuuuuuu---+-+22jjjjjjjjjj+-+-+-111111 ,+=-aa2DDDtxx22Dx a<0 () 或统一写成 nnnnnnnnnn+1uuuuuuuuuu---+-+22jjjjjjjjjj+-+-+-111111 ,+=+aa2DDDtxx22Dx即 骣,?ç,nnnnnnn+1?ç uuuuruuu2=--++-+?()()çjjjjjjj+-+-1111?ç22??ç桫 5 精度: n Rtx=DD, , ()j 稳定性分析: 这一格式与显式中心差分格式的区别就在于格式右端最后一项 , 的系数由 变成了 。因此，格式的稳定性条件是 r+r 2 2骣骣骣,,,鼢?珑ç2鼢?珑ç ， 240rr+-+ 20r+- 鼢?,珑ç鼢?珑ç222鼢?鼢?珑ç桫桫桫 即 2,21r+ , ， ?1 2r+, 但是，如果第二个不等式成立，则 2rrrrr侈0 2 222,,,,,,?蓿+?? ()()所以，第一个不等式也成立。于是格式的稳定性条件只需是 21r+ , ,=0在 的情况下，原方程和差分格式分别退化成对流方程和 ,?1a=0迎风格式，而稳定性条件就是 。同样地，当 时，原方程和格式再次退化成热传导方程及其显式格式。此时，稳定性条件变成 。这些都是已知的结论。 21r? 由于 6 骣,?ç?ç 222Rerrr+=+=+,?()çDx?çr??ç桫 故上述不等式也可以用网格雷诺数写成 1 r? +2ReDx 最后，由 DDDttt222raax+=+=+D,,, ()22DxDDxx 稳定性条件对时间步长的限制就是 2Dx D t 2,+Dax (3) 平均隐式格式 nnnnnn+++111骣uuuuuu---?açjjjjjj+-+-1111?ç++?ç?ç222txxDDD?ç桫 nnnnnn+++111骣22uuuuuu-+-+,?çjjjjjj+-+-1111?ç=+?ç22?ç2xxDD?ç桫 即 ,rnnnnnn++++++111111+---+2uuuuuu()()jjjjjj+-+-111142 r,nnnnnn=--+-+2uuuuuu()()jjjjjj+-+-111142 7 精度: n22 Rtx=DD, , ()j 稳定性分析: 骣骣,,,2鼢珑鼢12sinsincos--ri,珑鼢珑鼢珑222桫桫 G=骣骣,,,2鼢珑鼢12sinsincos++ri珑,鼢珑鼢珑222桫桫 22骣骣,,,2鼢珑鼢12sinsincos-+r,珑鼢珑鼢珑2222桫桫G= 22骣骣2,,,鼢珑鼢12sinsincos++r珑,鼢珑鼢珑222桫桫 由于 22骣骣,,,222鼢珑鼢2sin0 12sin12sin rrr驰-? 珑鼢珑鼢珑222桫桫 2222骣骣骣骣22,,,,,,鼢鼢珑珑鼢鼢12sinsincos12sinsincos-+?+rr珑珑,,鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑222222桫桫桫桫 2 G?1所以 ，平均隐式格式是无条件稳定的。 (4) 完全隐式格式 nnnnnnn++++++111111uuuuuuu---+2jjjjjjj+-+-1111, +=a2DDtx2Dx 即 8 ,nnnnnnn++++++111111 uuuruuuu+-+-+=2()()jjjjjjj+-+-11112 精度: n2 Rtx=DD, , ()j 稳定性分析: 1 G=骣骣,,,2鼢珑鼢12sinsincos++ri,珑鼢珑鼢珑222桫桫 211G=,1 222骣骣骣,,,,22鼢 珑 鼢 12sinsincos12sin+++rr,珑 鼢 珑 鼢 珑 2222桫桫桫 所以，完全隐式格式也是无条件稳定的。 (5) 分裂算法 如果借鉴时间分裂或者空间分裂的思路，搞一个“先对流，后扩 散”的“物理分裂”，即:将对流扩散方程分裂成两个方程 2抖uu抖uu=,+=a0 ， 2?t抖tx?x则相应的“预估-校正”显式分裂格式为 *nnnuuuu--1jjjj-a>0 (预估步，) 0+=a DDtx *nnnuuuu--1jjjj+a<0 (预估步，) 0+=a DDtx 9 n+****1uuuuu--+2jjjjj+-11 (校正步) ,=2DtDx精度: n2 Rtx=DD, , ()j 稳定性条件: 1,?1 ， r? 2即 Dt1Dt,? ， a?122DxDx或者 骣2?DDxxç?ç D tmin,?ç?ç,2?a?ç桫 10