三角函数图像与性质

三角函数的图像与性质（1） 知识点                                1.求三角函数的定义域,既要注意一般函数求定义域的规律,又要注意三角函数本身特殊性. 2.求三角函数周期的方法.( 1)化简后直接利用公式 (2)结合图像如 3.奇偶性的判定类似于一般函数的奇偶性判定. 4.三角函数的单调性应结合图像处理简单. 5.“五点法”是作正弦函数、余弦函数图象的常用方法,其关键在于找准五个特征点. 6.由函数 的部分图象求解析式 ,可以根据给出五点中的相关点列出方程组求解. 7.对于较为复杂的三角函数式,必须首先进行函数式的化简,然后根据三角函数的性质作图. 基本练习 1.函数 内的交点为P，它们在点P处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积为                2. 函数 的单调递减区间为        3. 已知 ，且 在区间 有最小值，无最大值，则 ＝__________ ． 4. 若 对任意实数t，都有 ．记 ，则         5把函数 的图像向左平移 个单位，所得的函数为偶函数，则 的最小值为________ 例1:已知函数 ． 求：（I）函数 的最小正周期；        （II）函数 的单调增区间． 解： ． （I）函数 的最小正周期是 ； （II）当 ，即 （ ）时，函数 是增函数，故函数 的单调递增区间是 （ ）． 例2：已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos ，直线 与函数 的图像分别交于M、N两点．    （1）当 时，求｜MN｜的值；  （2）求｜MN｜在 时的最大值． 【解】（1）           （2）       ∵     ∴ ｜MN｜的最大值为 .  例3：已知函数f(x)＝ 为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为         （Ⅰ）求f（ ）的值； （Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f(x)＝ ＝ ＝2sin( - ) 因为　f(x)为偶函数，所以　对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立， 因此　sin（- - ）＝sin( - ). 即-sin cos( - )+cos sin( - )=sin cos( - )+cos sin( - ), 整理得　sin cos( - )=0.因为　 ＞0，且x∈R,所以　cos（ - ）＝0. 又因为　0＜ ＜π，故　 - ＝ .所以　f(x)＝2sin( + )=2cos . 由题意得  　 故    f(x)=2cos2x. 因为  　 （Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象. 当    　2kπ≤ ≤2 kπ+ π  (k∈Z), 即    　4kπ＋≤ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为　     (k∈Z) 例4:已知函数 ， ． （I）求 的最大值和最小值； （II）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围． 解：（Ⅰ） ． 又 ， 即 ， ． （Ⅱ） ， ， 且 ， ，即 的取值范围是 1函数 为增函数的区间是（  C  ） A       B        C        D 2．函数 的单调递增区间是 A．         B．     C．       D． 3方程 的解的个数为（  D  ）A  1  B  3    C  5    D  7 4 要得到 的图像，只需将函数 的图像上的所有的点（  B  ） A 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位 B 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位  C 横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位 D  横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位 5 设 ，函数 在 上为增函数，则 的取值范围为____ ____ 6正弦型函数 的周期为 ，初相为 ，值域为【-1，3】，则 7．已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件：① ；    ② ；    ③ ．其中能使 恒成立的条件序号是      2    8函数 的图象为C,如下结论中正确的是              (写出所有正确结论的编号). ①图象C关于直线 对称;②图象C关于点 对称;③函数 )内是增函数;④由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C. 9设 是奇函数，且在R 上为增函数，若 时， 恒成立，则实数m的取值范围为___________ 10已知函数 ，函数 ，若 ，则 0 11．已知函数 的最小正周期是 ． （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求函数 的最大值，并且求使 取得最大值的 的集合． 本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数 的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ） ． 由题设，函数 的最小正周期是 ，可得 ，所以 ． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知， ． 当 ，即 时， 取得最大值1，所以函数 的最大值是 ，此时 的集合为 ． 12已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的最小正周期；（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值和最大值． 解：（Ⅰ） ． 因此，函数 的最小正周期为 ． （Ⅱ）解法一：因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又 ， ， ， 故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ． 解法二：作函数 在长度为一个周期的区间 上的图象如下： 由图象得函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ． 13．已知函数 （Ⅰ）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 在区间 上的值域 解：（1） （2）   因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以  当 时， 取最大值 1 又  ， 当 时， 取最小值 所以 函数 在区间 上的值域为 14．已知函数 （ ）的最小正周期为 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求函数 在区间 上的取值范围． 解：（Ⅰ） ．因为函数 的最小正周期为 ，且 ， 所以 ，解得 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．      因为 ， 所以 ，      所以 ， 因此 ，即 的取值范围为 ． 15．已知函数 （Ⅰ）将 化简成 的形式，并指出 的周期； （Ⅱ）求函数 上的最大值和最小值 解：(Ⅰ)f(x)= sinx+ . 故f(x)的周期为2kπ｛k∈Z且k≠0｝. (Ⅱ)由π≤x≤ π，得 .因为f(x)＝ 在[ ]上是减函数，在[ ]上是增函数.故当x= 时， f(x)有最小值－ ； 而f(π)=－2，  f( π)＝－ ＜－2， 所以当x=π时，f(x)有最大值－2. 三角函数的图像与性质（2） 基本练习1为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像B （A）向左平移 个长度单位      （B）向右平移 个长度单位 （C）向左平移 个长度单位      （D）向右平移 个长度单位 2函数f (x)=2sinxcosx是    [C]  (A)最小正周期为2π的奇函数        （B）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数        （D）最小正周期为π的偶函数 3设 ,函数 的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小值是C （A）       （B）       （C）     （D） 3 4下列函数中，周期为 ，且在 上为减函数的是 （A）   （B） （C）   （D） 5将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是C （A）   （B） （C）     （D） 6已知函数 的部分图象如题（6）图所示，则A  =1 =     B. =1  =-   C. =2  =   D. =2  = - 解析： 由五点作图法知 ， = - 例1已知函数 （ ）的最小正周期为 ， （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）将函数 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，求函数 在区间 上的最小值. 例2已知函数 （I）求函数 的最小正周期。 (II)  求函数 的最大值及 取最大值时x的集合。 例3已知函数 在 时取得最大值4．　 (1) 求 的最小正周期；(2) 求 的解析式；(3) 若 ( α + )= ,求sinα． ， ， ， ， 1  函数 是 上的偶函数，则 的值是（    ） A    B    C    D  2  将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 个单位，得到的图象对应的僻析式是（    ） A          B  C      D  3  若点 在第一象限,则在 内 的取值范围是（    ） A  B  C    D  为了得到这个函数的图象，只要将 的图象上所有的点 (A)向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 (D) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 5将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A）       （B） （C）       （D） 6已知函数 和 的图象的对称轴完全相同。若 ，则 的取值范围是        。【答案】 7 函数 的最大值为_______ 8、定义在区间 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值， 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx= 。线段P1P2的长为 9若 在区间 上的最大值是 ，则 =________ 10已知函数 。 (1) 当m=0时，求 在区间 上的取值范围； (2) 当 时， ，求m的值。 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题. 解：（1）当m=0时， ，由已知 ，得 从而得： 的值域为 （2） 化简得： 当 ，得： ， ， 代入上式，m=-2. 11已知函数 （Ⅰ）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值； （Ⅱ）若 ，求 的值。 【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。