利用斯托克斯公式

利用斯托克斯公式 习题10,7 1, 利用斯托克斯公式～ 计算下列曲线积分: 2222 (1)～ 其中,为圆周x，y，z,a～ ～ 若从z轴 ydx，zdy，xdz,, 的正向看去～ 这圆周取逆时针方向 解 设,为平面x，y，z,0上 所围成的部分～ 则,上侧的单位法 向量为 111 , n,(cos,,cos,,cos,),(,,)333 coscoscos,,, ,,,,dS于是 ydx，zdy，xdz,,,,,x,y,z,yzx 32 , ,(,cos,,cos,,cos,)dS,,dS,,3,a,,,,3,, 提示 示 的面积, 是半径为a的圆, dS,,, xz222 (2)～ 其中,为椭圆x，y,a～ ，,1(y,z)dz，(z,x)dy，(x,y)dz,,ab (a>0～ b>0)～ 若从x轴正向看去～ 这椭圆取逆时针方向 xz 解 设,为平面，,1上 所围成的部分～ 则,上侧的单位法 ab 向量为 bb,, , n(cos,,cos,,cos,)(, 0, )2222a，ba，b coscoscos,,, ,,,,dS于是 (y,z)dx，(z,x)dy，(x,y)dz,,,,,x,y,z,y,zz,xx,y ,2(a，b),,,dSdS,(,2cos,2cos,2cos), ,,,,22，ab,, 22,2(a，b),2(a，b)a，b,dxdy,dxdy,,2,a(a，b) , ,,,,22aaa，bDDxyxy 22ba，bb2dS,1，()dxdy,dxdy 提示: ,(即z,b,x)的面积元素为, aaa 222 (3)～ 其中,为圆周x，y,2z～ z,2～ 若从z轴的3ydx,xzdy，yzdz,, 正向看去～ 这圆周是取逆时针方向 解 设 为平面z,2上 所围成的部分的上侧～ 则 dydzdzdxdxdy ,,,2 3ydx,xzdy，yzdz,,,,,,x,y,z,23y,xzyz 22 , ,(z，x)dydz,(z，3)dxdy,,5,，2,,20,,,, 2222 (4)～ 其中,为圆周x，y，z,9～ z,0～ 若从z轴2ydx，3xdy,zdz,, 的正向看去～ 这圆周是取逆时针方向, 22 解 设 为xOy面上的圆x，y,9的上侧～ 则 dydzdzdxdxdy ,,,2 ,2ydx，3xdy,zdz,,,,,x,y,z,22y3x,z ,dxdy,dxdy,9,, ,,,,,Dxy 2, 求下列向量场A的旋度: (1)A,(2z,3y)i ，(3x,z)j+(,2x)k, ijk ,,,rotA,,2i，4j，6k 解 , ,x,y,z 2z,3y3x,zy,2x (2)A,(sin y)i,(z,xcosy)k, ijk ,,,rotA,,i，j 解 , ,x,y,z z，siny,(z,xcosy)0 22 (3)A,xsin yi，ysin(xz)j，xysin(cos z)k, ijk ,,,rotA, 解 ,x,y,z 22xsinyysin(xz)xysin(cosz) 222 ,[xsin(cosz),xycos(xz)]i,ysin(cosz)j，[yzcos(xz),xcosy]k , 3, 利用斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分～ 并计算积分值～ rotA,ndS,,, 其中A、,及n分别如下: 222z,1,x,y (1)A,yi，xyj，xzk～ ,为上半球面～ 的上侧～ n是,的 单位法向量, 22 解 设,的边界, : x，y,1～ z,0～ 取逆时针方向～ 其参数方程为 x,cos,～ y,sin,～ z,0(0,,,2,～ 由托斯公式 2 ,Pdx，Qdy，Rdz,ydx，xydy，xzdzrotA,ndS,,,,,,, 2,22,[sin,(,sin,)，cos,sin,]d,,0 , ,0 (2)A,(y,z)i，yzj,xzk～ ,为立方体0,x,2～ 0,y,2～ 0,z,2的表面外侧 去掉xOy面上的那个底面～ n是,的单位法向量, 解 ,Pdx，Qdy，RdzrotA,ndS,,,,, 0,ydx,2dx,,4 , ,(y,x)dx，yzdy，(,xz)dz,,,,2, 4, 求下列向量场A沿闭曲线,(从z轴正向看依逆时针方向)的环流量: 22 (1)A,,yi，xj，ck(c为常量)～ ,为圆周x，y,1～ z,0, 2,,ydx，xdy，cdz,[(,sin,)((,sin,)，cos,cos,]d, 解 ,,L0 2,,d,,2, , ,0 3222z,2,x，y (2)A,(x ,z)i，(x+yz)j,3xyk～ 其中,为圆周～ z,0, 解 有向闭曲线,的参数方程为x,2cos～ y,2sin～ z,0(0,,2), ,,,, 向量场A沿闭曲线,的环流量为 22 Pdx，Qdy，Rdz,(x,z)dx，(x，yz)dy,3xydz,,LL 2,3,[2cos,(,2sin,)，8cos,2cos,]d,,12, , ,0 5, rot(a，b),rot a ，rot b, 解 令a,P(x～ y～ z)i，Q(x～ y～ z)j+R(x～ y～ z)k～ 111 b,P(x～ y～ z)i，Q(x～ y～ z)j+R(x～ y～ z)k～ 222 由行列式的性质, 有 ijk ,,,,rot(a，b) ,x,y,z P，PQ，QR，R121212 ijkijk ,,,,,,,rot a，rot b,， , ,x,y,z,x,y,z PQRPQR111222 6, 设u,u(x～ y～ z)具有二阶连续偏导数～ 求rot(grad u) 解 因为grad u,ui，uj，uk, 故 xyz ijk ,,, ,(u,u)i，(u,u)j，(u,u)k,0, rot(grad u),zyyzzxxzyxxy,x,y,z uuuxyz *7, 证明: (1),(uv),u,v，v,u ,(uv),(uv),(uv) 解 ,(uv),i，j，k,x,y,z ,u,v,u,v,u,v ,(v，u)i，(v，u)j，(v，u)k,x,x,y,y,z,z ,u,u,u,u,u,u ,u,v，v,u, ,v(i，j，k)，u(i，j，k),x,y,z,x,y,z ,(uv),u,v，v,u，2,u,,u (2) 222222222,(uv),(uv),(uv),v,v,v,v,v,v,u，，，v，， 解 ,(uv),，，()()222222222,x,y,z,x,y,z,x,y,z ,u,v,u,v,u,v ,,u ,v，v ,u ，2,u, ,u, ，2(,，,，,),x,x,y,y,z,z (3) ,,(A ，B ),B ,(,，A ),A ,(,，B ) 解 B,Pi，Qj，Rk ～ 222 ,,, ,x,y,z,(QR,QR),(PR,PR),(PQ,PQ)122112211221,,(A，B),PQR,,， 111,x,y,zPQR222 ,Q,R,Q,R,P,R122112 ,R，Q,R,Q，R,P 211221,x,x,x,x,x,x ,P,R,P,Q,P,Q0211221，R，P，Q，P,Q,P 122112,y,y,z,z,z,z ,Q,P,R,P,P,Q112222,R,，Q,，R, ()()()211,x,y,x,z,y,x ,P,R,Q,R,R,Q112211，Q,，P,，P, ()()()212,z,x,z,y,y,z PQRPQR222121 ,,,,,,B,(,，A),A,(,，B),,而 ,x,y,z,x,y,z PQRPQR111222,R,Q,P,R,Q,P111111,P,，Q,，R, ()()()222,y,z,z,x,x,y ,R,Q,P,R,Q,P221122,P,，Q,,R, ()()()111,y,z,z,x,x,y 所以,，(A ，B),B，(,，A),A ，( ,，B ) 2 (4) ,，(,，A ), ,(,,A ), ,a 解 令A ,Pi ，Q j，，R k ～则 ijk ,Q,Q,R,P,R,P,,, ,，A,,(,)i，(,)j，(,)k,x,y,z,y,z,z,x,x, PQR ijk ,,,,，(,，A),从而 ,x,y,z ,Q,Q,R,P,R,P,,,,y,z,z,x,x,y 22222222,,QQ,,Qp,,RP,,PR，(,,，)j,,,，()i 22222,,,,,,,,yzxyxyxz,,,,zxyz 2222,Q,,,PRR，(,,，)k 22,,,,xzxy,,xy 222222,Q,,,,,PRPPP,,,，,,,，()i()i 2222,,,,xyxz,,,,xxyz 222222,,,,QQQQ,,PR，,,，,,,， ()j()j 2222,,,,xyyz,,,,yxyz 222222,Q,,,,,PRRRR，,,，,,,， ()k()k 2222,,,,zxzy,,,,zxyz ,,, ,[(,,A)i，(,,A)j，(,,A)k],x,y,z 2222 ,[,Pi，,Qj，,Rk],,(,,A),,A 命题地证