2011年海南海口高考调研数学理科试题(含答案)

2011年海口市高考调研测试 数学（理科）试题参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C B C D B D C A D                           三、解答题： 13．         14．     15．     16．②, ③ 三、解答题 17．解：（Ⅰ）∵ = = ------------------------------------4分 ∵   ∴ ， ∴函数 的最大值和最小值分别为2，-2．---------------6分 （Ⅱ）解法1：令 得 , ∵     ∴ 或   ∴ -----------------------8分 由 ，且 得     ∴ -----------------------------9分 ∴ ， ，从而 ∴ ．--------------------------------------------------12分 解法2：过点P作 轴于 ，则 ，由三角函数的性质知 ,---8分 ,------------------------------------------------------------9分 由余弦定理得 = ．---12分 解法3：过点P作 轴于 ,则 由三角函数的性质知 ,------8分 ----------------- -------------------------------------------9分 在 中， ---------------------------------11分 ∵PA平分   ∴ ．----------------------------------------------12分 18．解：（Ⅰ）样本中，学生为良好的人数为２０人．故从样本中任意抽取２名学生，则仅有１名学生为良好的概率为 ＝ -------------2分 （Ⅱ） (ⅰ)总体数据的期望约为： =0.5×0.03+1.5×0.17+2.5×0.30+3.5×0.30+4.5×0.17+5.5×0.03=3.0-------------4分 标准差 = ＝ 1.1---------------6分 (ⅱ)由于 =3, 1.1 当x 时，即x ( - , + ) 故数学学习能力等级分数在 范围中的概率0.6826． 数学学习能力等级在 范围中的学生的人数约为6826人．-----------------8分 （Ⅲ） （ⅰ）数据的散点图如下图： --------------9分 （ⅱ）设线性回归方程为 ，则 方法一: = =1.1  =4－1.1×4=-0.4 故回归直线方程为 -----12分 方法二: ∴ 时， 取得最小值10b -22b+12.5 即，∴ 时ｆ（a，ｂ）取得最小值； 所以线性回归方程为 .---------12分 19．证法一(Ⅰ)：如图（1），取 的中点M，连接AM，FM， ，   ∴ ． ， ∴ ，∴AM∥BE 又∵ , , ∴ ． ∵CF=FD,DM=ME,  ∴MF∥CE, 又∵ , , ∴ ,    又∵ , ∴ ,  ∵ , ∴ ．-------5分 证法二：如图（2），取CE的中点N，连接FN，BN， ∵ ， ∴ ， ∵CF=FD，CN=NE,  ∴ ， ， 又 ，  ∴ ， ， ∴ , ∴AF∥BN， 又∵ , ， ∴ ．------5分 (Ⅱ)解法一：如图（3）过F作 交AD于点P，作PG⊥BE，连接FG． ∵ ， , ∴ ∴ ∴FG⊥BE（三垂线定理）． 所以，∠PGF就是二面角 的平面角． 由 ， ，知△ 是正三角形， 在Rt△DPF中， , ，∴PA=3， ∴ , ∵ ，  ∴ ∴在Rt△PGF中，由勾股定理，得 , ∴ ，即二面角 的余弦值为 ．----12分 解法二：以A为原点，分别以AC，AB为 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，如图（4）所示，则A(0,0,0)，B(0,0,2), , ,于是，有 ， ， ， 设平面BEF的一个法向量为 ，则 令 ，可得， 设平面ABED的一个法向量为 ，则 ，可得， ∴ 所以，所求的二面角 的余弦值为 ．------12分 20．解：（Ⅰ）设 ，则 ， ，代入 ，得 ，化简得， 即得曲线 的方程为 ， 草图如图所示．----------5分 （Ⅱ）（i）若直线 的斜率不存在时，此时点 ，点 ，△ 的面积等于 ，不符合；-----6分 （ii）若直线 的斜率为 时，直线 的方程设为 ，设 ， ． 联立 ，得 ，则 ， ，则 ， 所以 ， 点 到直线 的距离 ， 所以△ 的面积等于 ，解之得： ， 故存在直线 为 ．-----12分 21．解：（Ⅰ）当 时，函数 ， ．                  　    ，  曲线 在点 处的切线的斜率为 ．    …………1分 从而曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 ．                                                ………2分                    （Ⅱ） ．                        …………3分 要使 在定义域 内是增函数，只需 在 内恒成立．                                         ……………4分 由于 ,故   即：   恒成立． 由于     ∴ 在 内为增函数，实数 的取值范围是 ．      ………5分 （Ⅲ）∵ 在 上是减函数， ∴ 时， ； 时， ，即 ， ……6分 设 ①当 ＜0时， ，其图象为开口向下的抛物线，对称轴 在 轴的左侧，且 ，所以 ，故 在 内是减函数．  当 时， ，因为 ，所以 ＜0， ＜0， 此时， 在 内是减函数．    故当 时， 在 上单调递减 ，不合题意； ……………………8分 ②当0＜ ＜ 时，由 ， 所以 ． 又由（Ⅱ）知当 ，函数 在 上是增函数， ∴ ＜1， 不合题意；    ………10分 ③当 时，由（Ⅱ）知 在 上是增函数， ， 又 在 上是减函数， 故只需 ， ， 而 ， ， 即  ， 解得 ， 所以实数 的取值范围是 ．              ……………………12分 四．选考题 22．解：（Ⅰ）∵ 是切线， 是弦， ∴ ．  又∵ ,  ∴ ． ∵ ， , ∴ ．……………………………5分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知 ，又∵ , ∴ ∽ ．    ∴ ．  ∵ ,  ∴ ∴ ． 由三角形内角和定理可知， ． ∵ 是圆 的直径，∴ ．∴ ． ∴ ． 在 中， ,即 ， ∴ ．  ∴ ．  ………………………10分 23．解：（Ⅰ）由 ， ，得 曲线 直角坐标方程： ， 的直角坐标方程 ．------5分 （Ⅱ）设圆 的圆心 到直线 的距离为 ， 则 ，所以 ．----10分 24．：（Ⅰ）∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ．--------4分 （Ⅱ）∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ．---------10分