时间复杂度

时间复杂度 时间复杂度:如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数，T(n)称为这一算法的“时间复杂度”。 渐近时间复杂度:当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。 当我们一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。 此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。 常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为:常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。 下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。 1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn 请判断下列关系是否成立: (1) f(n)=O(g(n)) (2) g(n)=O(f(n)) (3) h(n)=O(n^1.5) (4) h(n)=O(nlgn) 这 里我们复习一下渐近时间复杂度的示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的 两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n?n0时都满足0?T(n)?C?f(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常 数。这么一来，就好计算了吧。 ? (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n??时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 ? (2)成立。与上同理。 ? (3)成立。与上同理。 ? (4)不成立。由于当n??时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。 2、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。 (1) i=1; k=0 while(i1 while (x>=(y+1)*(y+1)) y++; 解答:T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)， 最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。 (3) x=91; y=100; while(y>0) if(x>100) {x=x-10;y--;} else x++; 解答: T(n)=O(1)， 这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n没有? 没。这段程序的运行是和n无关的，就算它 再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。 3. 常数阶O(1) Temp=i;i=j;j=temp; 以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果 算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度 是O(1)。 4.平方阶O(n^2) (1) 交换i和j的内容 sum=0; (一次) for(i=1;i<=n;i++) (n次 ) for(j=1;j<=n;j++) (n^2次 ) sum++; (n^2次 ) 解:T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2) (2) for (i=1;i步骤

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