海伦公式

海伦公式 初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生， 现将这一公式证明如下: 海伦公式:三角形的面积 ，，，，，， S,pp,ap,bp,c 1其中:、、 分别是三角形的三边长， b，，p,a，b，cac2 222abc，,证明(1):由余弦定理可知: ，由此得出 cosC,2ab 2 sinC,1,cosC ，，，，,1，cosC1,cosC 222222 ,,,,a，b,ca，b,c,,,,,1，1,,,,,2ab2ab,,,, 222222，，，，a，b，2ab,cc,a，b,2ab,,2ab2ab 2222，，，，a，b,cc,a,b,,2ab2ab 1，，，，，，，，,a，b，ca，b,c,a，b，ca,b，c2ab 1由 可得: ，，p,a，b，c2 a，b，c,2p ， ， ，，a，b,c,a，b，c,2c,2p,2c,2p,c ， ，，,a，b，c,a，b，c,2a,2p,2a,2p,a ， ，，a,b，c,a，b，c,2b,2p,2b,2p,b 因此: 1sinC,a，b，ca，b,c,a，b，ca,b，c，，，，，，，，2ab 2，，，，，，,pp,ap,bp,cab 1 1由三角形面积公式 即得 S,absinC2 ，，，，，， S,pp,ap,bp,c sinCcosC上述证明用到了三角函数 、，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。 B B C A A C T T 图1 图2 TBT是 ? 的 边上的高，点 为垂足。记 ，，，ABCACAB,cAC,bBC,a，(见上图)。 BT,hCT,d 证明(2):若 ?ABC 是锐角三角形(图1)，则由勾股定理有 222,,,1adh，， ,222，，，，c,b,d,h2, 22d,a,h由(1)式得出 ，带入(2)式 : 22222 。 c,，，b,a,h,h 2222222，，c,b，a,h,2ba,h,h展开，即得 ，由此式解得 2222224ab,a，b,ca，b，c,a，b，ca,b，ca，b,c，，，，，，，，，，2 ， h,,224b4b 类似于证明(1)，得出 ，，，，，，4pp,ap,bp,c2 ， h,2b 1由于三角形面积 S,bh，由上式即得 2 ，，，，，，S,pp,ap,bp,c 。 2 ,，C,90若 ? 是钝角三角形(图2)，不失一般性，设 ，则由勾股定理有 ABC 222,,,1adh，， ,222，，，，c,b，d,h3, 类似于 ? 是锐角三角形的情况，可得 ABC ，，，，，，4pp,ap,bp,c2 ， h,2b 因而亦得 ，，，，，， 。 S,pp,ap,bp,c ,，C,90若 ? 是直角三角形(图2)，不失一般性，设 ，由勾股定理有 ABC 222a，b,c 。 a，b，c,a，b，ca,b，ca，b,cp，，，，，，p,ap,bp,c,,,,2222 12222，，,,,,，，,a，b,c,c,a,b 4 1,ab2 ，，，，，，S,pp,ap,bp,c故，此时仍有 。 关于海伦公式(Heron's formula或Hero's formula)的历史 海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式(利用三角形的三条边长来求三角形面积)相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作 亚历山大里亚的海伦(希腊语: ?ρων ? ?λεξανδρε?ς)(公元10年,70年) ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明(Hellenistic civilization)科学传统方面享负盛名。 我国南宋末年数学家 秦九韶 发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何,”答曰:“三百十五顷(”其术文是:“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，„„ b开平方得积。”若以大斜记为 ，中斜记为 ，小斜记为 ，秦九韶的方法即相当于ac 海伦公式。 3