高等数学课件完整版

高等数学课件完整版 一、基本概念 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. a M, a M, 有限集 A {a1 , a2 ,, an } 无限集 M { x x所具有的特征} 若x A, 则必x B, 就说A是B的子集. 记作 A B. 数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 Z----整数集 R----实数集 数集间的关系: N Z , Z Q , Q R. 若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B ) 例如 A {1,2}, A C . C { x x 2 3 x 2 0}, 则 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x 1 0} 2 规定 空集为任何集合的子集. 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点. a, b R, 且a b. { x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b) o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a b x { x a x b} { x a x b} 称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间 [a ,) { x a x } ( , b) { x x b} 无限区间 o a o b x x 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域: 设a与是两个实数, 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 , 点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径. U (a ) { x a x a }. a a a 点a的去心的邻域, 记作U 0 (a ). U (a ) { x 0 x a }. x 4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的示方法: 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量. a a0 a a a 0 运算性质: ab a b ; 5.绝对值: ( a 0) a a ; b b 绝对值不等式: a b a b a b. x a ( a 0) x a ( a 0) a x a; x a 或 x a; 二、函数概念 D 定义 设x 和y 是两个变量, 是一个给定的数集， 如果对于每个数 x D , 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f ( x) 因变量 数集D叫做这个函数的定义域 自变量 , 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值. 当x0 D时 函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 . 函数的两要素: 定义域与对应法则. ( x D 对应法则f x0 ) f ( x0 ) 自变量 ( W y ) 因变量 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值. 例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2 D : [1,1] D : ( 1,1) 如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这 种函 W y 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数( ( x, y) x 例如，x y a ( 2 2 2 o x D 定义: 点集C {( x , y) y f ( x ), x D} 称为 函数y f ( x )的图形. 几个特殊的函数举例 (1) 符号函数 1 y 1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0 o x -1 x sgn x x (2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 阶梯曲线 (3) 狄利克雷函数 1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时 y 1 o 无理数点 有理数点 x (4) 取最值函数 y max{ f ( x ), g( x )} y f ( x) g( x ) y min{ f ( x ), g( x )} y f ( x) g( x ) o x o x 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 例如, 2 x 1, f ( x) 2 x 1, y x2 1 x0 x0 y 2x 1 例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图 所示,写出电压U与时间 t ( t 0)的函数关系式. U 解 当 t [0, ] 时, ( , E) 2 2 E E 2E U t t; ( ,0) t o 2 2 当 t ( , ] 时, 单三角脉冲信号的电压 2 E0 2E U 0 ( t ), 即 U (t ) 2 当 t (,) 时, U 0. U U (t )是一个分段函数 , 其表达式为 U E ( , E) 2 ( ,0) o 2E t, t [ 0, ] 2 2E U (t ) ( t ), t ( , ] 2 0, t ( ,) 2 t 1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2 1 x 2 解 例2 1 0 x1 f ( x) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1 故 D f : [3,1] 三、函数的特性 1(函数的有界性: 若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界. y M y=f(x) o -M M y x X 有界 x0 o -M X 无界 x 2(函数的单调性: 设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D 如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的; y y f (x) f ( x2 ) f ( x1 ) o I x 设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D 如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ; y y f (x) f ( x1 ) f ( x2 ) o I x 3(函数的奇偶性: 设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数; y y f ( x) f ( x ) -x o 偶函数 x f ( x) x 设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为奇函数; y y f ( x) f ( x) -x o f ( x ) x x 奇函数 4(函数的周期性: 设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 D, ( x l ) D. 则称f ( x )为周 x 期函数, l称为f ( x )的周期. 且f ( x l ) f ( x )恒成立. (通常说周期函数的周期是指其最小正周期). 3l 2 l 2 l 2 3l 2 四、反函数 y 反函数y ( x ) Q ( b, a ) o 直接函数y f ( x ) P (a , b) x y x对称. 直接函数与反函数的图形关于直线 五、小结 基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数 思考 1 2 设 x 0 ，函数值 f ( ) x 1 x ， x 求函数 y f ( x ) ( x 0) 的解析表 达式. 思考题解答 1 设 u x 1 1 1 1 u2 则 f u 1 2 , u u u 1 1 x 故 f ( x) . ( x 0) x 2 练 习 题 一、填空题: 3、不等式 x 5 1 的区间表示法是_________. x U ( 0, ) y U ( 0, 2 ) 2 4、 设 y x ,要使 时， , 须 __________. 1 5 2 1、若 f 2t ,则 f ( t ) __________ , t t f ( t 2 1) __________ . 1, x 3 2、若( t ) , sin x , x 3 则( ) =_________，( ) =_________. 6 3 二、 y lg x 在( 0, ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( a , a ) ( a 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 ,1 x 0 且 f ( x) ,试在( , ) 上绘出 0, 0 x 1 f ( x ) 的图形. 五、证明:两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax b 六、证明函数 y 的反函数是其本身. cx a e x ex 七、求 f ( x ) x 的反函数，并指出其定义域. x e e 练习题 2 2 , 5( t 2 1) 2 ; 2、1,1; 2 2 t ( t 1) 3、(4,6); 4. (0, 2 ] . 1 x , ( 1,1) . 七、 y ln 1 x 一、1、5t 一、基本初等函数 1.幂函数 y x y y x2 1 (1,1) (是常数) y x y x o 1 y x 1 x x 2.指数函数 y a (a 0, a 1) y ex 1 x y( ) a y ax (a 1) (0,1) 3.对数函数 y loga x (a 0, a 1) y ln x y log a x (1,0) (a 1) y log 1 x a 4.三角函数 正弦函数 y sin x y sin x 余弦函数 y cos x y cos x 正切函数 y tan x y tan x 余切函数 y cot x y cot x 正割函数 y sec x y sec x 余割函数 y csc x y csc x 5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x y arcsin x 反余弦函数 y arccos x y arccos x 反正切函数 y arctan x y arctan x 反余切函数 y arccot x y arccot x 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本 初等函数. 二、复合函数 初等函数 1.复合函数 设 y u, u 1 x 2 , 定义: y 1 x2 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x ) 的值域为Z , 若 D f Z , 则称 y f [( x )]为x 的复合函数. 函数 x 自变量, u 中间变量, y 因变量, 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 ) 例如 y arcsinu, 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. x 例如 y cot , y u , 2 x u cot v , v . 2 2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次 称为初四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数,等函数. e x , 例1 设 f ( x ) x, 求 f [( x )]. x1 x 2, , ( x ) 2 x1 x 1, x0 , x0 解 10 e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1 当( x ) 1时, 或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1, x 1; 0 x 2; 20 当( x ) 1时, 或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1, 综上所述 1 x 0; x 2; e x2 , x 1 x 2, 1 x 0 f [ ( x )] 2 . x 1 e , 0 x 2 x 2 1, x 2 三、双曲函数与反双曲函数 1.双曲函数 e e 双曲正弦 sinh x 2 x x y cosh x D : ( , ), 奇函数. x 1 x y e 2 x e e 双曲余弦 cosh x 2 D : ( , ), 1 x y e 2 y sinh x 偶函数. sinh x e x e x 双曲正切 tanh x x x cosh x e e D : ( , ) 奇函数, 有界函数, 双曲函数常用公式 sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ; cosh x sinh x 1; 2 2 sinh 2 x 2 sinh x cosh x ; cosh 2 x cosh 2 x sinh 2 x . 2.反双曲函数 反双曲正弦 y arsinh x ; y arsinh x ln( x D : ( , ) 奇函数, y ar sinh x x 1). 2 (,) 内单调增加 . 在 反双曲余弦 y ar cosh x y arcosh x ln( x x 2 1). D : [1, ) y ar cosh x 在 [1,) 内单调增加. 反双曲正切 y ar tanh x y artanh x 1 1 x ln . 2 1 x D : ( 1,1) 奇函数, y ar tanh x 在 (1,1) 内单调增加. 四、小结 函数的分类: 代 数 函 数 有 理 函 数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数) 函 数 等 函 数 初 无理函数 超越函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 思考题 下列函数能否复合为函数 y f [ g ( x )]， 若能，写出其解析式、定义域、 值域( (1) ( 2) y f (u) u, y f ( u) ln u, u g( x ) x x 2 u g( x ) sin x 1 思考题解答 (1) y f [ g( x )] x x2 1 x D { x | 0 x 1}, f ( D ) [0, ] 2 ( 2) 不能( g( x ) sin x 1 0 g( x ) 的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集. 练 习 题 一、填空题: 1、幂函数，指数函数， 对数函数，三角函数和 反三角函数统称_________. 2、函数 f ( x ) 的定义域为[ 1 ， ] ，则函数 f (ln x ) 3 的定义域为__________. 3、由函数 y e u，u x 2 复合而成的函数为______ . 4、函数 y sin ln 2 x 由 __________复合而成 . 5、若 f ( x ) 的定义域为 [ 0 ， ] ，则 f(x 2)的定义域 1 为 __________，f (sin x ) 的定义域为__________， f ( x a )(a 0) 的定义域为___________ ， f ( x a ) f ( x a ) (a 0) 的定义域为_________. 二、应用图形的“叠加 ”作函数 y x sin x 的图形 . 1，x 1 三、设 f ( x ) 0，x 1 ，g ( x ) e x ， 1，x 1 求 f [ g( x )] ，g[ f ( x )] ，并作出它们的图形 . 四、火车站行李收费规定如下: 千克以下不计费， 20 20,50 千克每千克收费 0.20 元，超出 50 千克超 出部分每千克 0.30 元，试建立行李收费 f ( x ) (元 ) 于行李重量 x (千克) 之间的函数关系，并作出图 形. 练习题答案 [ 一、1、基本初等函数; 2、 e , e 3 ] ; x2 3、 y e ; 4、 y sin u, u ln v , v 2 x ; 5、[-1,1],[2k , 2k ],[ a ,1 a ] , 1 [a ,1 a ] 0 a 2 . 1 a 2 e , x 1 1, x 0 三、 f [ g ( x )] 0, x 0 ; g[ f ( x )] 1, x 1 . 1, x 1 1 , x 1 e x 20 0 四、 y 0.2 x ,20 x 50 10 0.3( x 50), x 50 一、概念的引入 1、割圆术: “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 刘徽 播放 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 R 正 6 2 n 1 形的面积 An A1 , A2 , A3 ,, An , S 2、截丈问题: “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 X 2 2 ; 为 2 2 1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2 二、数列的定义 定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数 x1 , x 2 , , x n , (1) 称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项). 数列(1)记为{ x n } . 例如 2,4,8,,2 n ,; 1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2 {2 } 1 { n} 2 n 1,1,1, , ( 1) n 1 ,; {(1) n 1 } 1 4 n ( 1) n1 2, , , , ,; 2 3 n n ( 1) n1 { } n 3, 3 3 ,, 3 3 3 , 注意: 1.数列对应着数轴上一 可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. 个点列. x3 x1 x 2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n). 三、数列的极限 ( 1) 观察数列{1 n n 1 } 当 n 时的变化趋势. 播放 问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: ( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. xn 1 ( 1) n 1 1 1 n n 1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000 只要 n 1000时, 1 有 xn 1 , 1000 1 1 给定 , 只要 n 10000 , 有 x n 1 , 时 10000 10000 给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立. 定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切x n , a 不等式 x n a 都成立,那末就称常数 是数列 a x n 的极限,或者称数列x n 收敛于 ,记为 lim x n a , n 或 x n a ( n ). 就说数列是发散的. 注意:.不等式 x n a 刻划了x n与a如果数列没有极限, 的无限接近 1 ; 2. N与任意给定的正数有关. N定义 : lim x n a n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a . ; 其中 : 每一个或任给的 : 至少有一个或存在. 几何解释: a x2 x1 x N 1 2 a x N 2 x3 a x 当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外. 数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意: n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n 1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n 1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时, n ( 1) n 1 n ( 1) n1 1. 就有 1 即 lim n n n 例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C . n 证 任给 0 , 对于一切自然数n , xn C C C 0 成立, 所以, lim xn C . n 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小 的N. 例3 证明 lim q 0, 其中 q 1. n n n 任给 0, 若q 0, 则 lim q lim 0 0; 证 n n 若0 q 1, xn 0 q n , n ln q ln , ln 取N [ ], 则当n N时, ln q lim q n 0. n ln n , ln q 就有 q n 0 , 例4 设x n 0, 且 lim x n a 0, n 求证 lim x n a . n 证 任给 0, lim xn a, n N使得当n N时恒有 x n a 1 , 从而有 x n a xn a xn a 1 xn a a a 故 lim x n a . n 四、数列极限的性质 1.有界性 定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列x n 有界, 否则, 称为无界. n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间 [ M , M ]上. 定理1 收敛的数列必定有界. n 证 设 lim xn a , 由定义, 取 1, 使得当n N时恒有 x n a 1, 则N , 即有 a 1 xn a 1. M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 }, 记 则对一切自然数 ,皆有 x n M , 故xn 有界. n 注意:有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. n n 证 设 lim xn a, 又 lim xn b, 由定义, 0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ; x n b ; 取N maxN 1 , N 2 , 当n N 2时恒有 则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a ) x n b x n a 2. 上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一. 例5 证明数列x n ( 1) n 1 是发散的. 1 证 设 lim xn a , 由定义, 对于 , n 2 1 则N , 使得当n N时, 有 x n a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2 而xn无休止地反复取 , 1两个数, 1 不可能同时位于长度为1的区间内. 事实上, { xn }是有界的, 但却发散. 3.(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列 {xn } 收敛于a，那么它的任一 子数列也收敛，且极限也 是a 五.小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性唯一性. 思考题 指出下列证明lim n n 1 中的错误。 n n 1 证明 要使 n 1 , 只要使 ln n ln(1 ) n 1 ln(1 ) ln(1 ) 从而由 n ln n ln 2 得 0, 取 N ln 2 1 ln(1 ) 当 n N 时，必有 0 n n 1 成立 lim n n 1 n 思考题解答 1 n 1 ~ ln n ln(1 ) (等价) n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2 n ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n ln 2 反而缩小为 n ln(1 ) 从而 n N 时， ln 2 ln 2 仅有 ln(1 ) 成立， n ln n 但不是 ln(1 ) 的充分条件( n 练 习 题 一、利用数列极限的定义证明: 3n 1 3 lim ; 1、 n 2n 1 2 .... 2、 lim0.999 9 1 n 二、设数列 x n 有界，又lim y n 0 ， n 证明:lim x n y n 0 . n 一、自变量趋向无穷大时函数的 极限 sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x 播放 问题:函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A. 通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程. 1. 定义 : 定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式x X 的一切 x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A , 那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x 时的极限,记作 lim f ( x ) A 或 x f ( x ) A(当x ) " X " 定义 lim f ( x ) A x 0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A . 2.另两种情形: 10 . x 情形 : xlim f ( x ) A 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A . 2 . x 情形 : lim f ( x ) A 0 x 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A . lim lim 定理 : lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A. x 3.几何解释: y A sin x x X X 当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2 的带形区域内. sin x 0. 例1 证明 lim x x 1 sin x sin x 1 证 , 0 x X x x y sin x x 1 0, 取 X , 则当 x X时恒有 sin x 0 , x x sin x 故 lim 0. x x 定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x ) 的图形的水平渐 近线 . 二、自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A. f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; 0 x x0 表示x x0的过程. x0 点x0的去心邻域, x0 x0 x 体现x接近x0程度. 1. 定义 : 定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多 么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式 0 x x 0 的一切x ,对应的函数值 f ( x ) 都 满足不等式 f ( x ) A ,那末常数 A 就叫函数 x x0 f ( x ) 当 x x 0 时的极限,记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当 x x 0 ) 0, 0, 使当0 x x 0 时, " " 定义 恒有 f ( x ) A . 1 f ; 注意: .函数极限与 ( x )在点x0是否有定义无关 2.与任意给定的正数有关. 2.几何解释: 当x在x 0的去心邻 域时,函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y A为中心 线, 宽为2的带形区域内. A A y y f (x) A o x0 x0 x0 x 显然, 找到一个后, 越小越好. 例2 证明 lim C C , (C为常数). x x0 证 任给 0, 任取 0, 当0 x x0 时, f ( x ) A C C 0 成立, lim C C . x x 0 例3 lim x x0 . 证明 x x0 证 f ( x ) A x x0 , 任给 0, 取 , 当0 x x0 时, f ( x ) A x x0 成立, lim x x 0 . x x0 x 1 2. 例4 证明 lim x 1 x 1 2 证 函数在点x=1处没有定义. 任给 0, x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1 f ( x ) A , 要使 只要取 , x 1 lim 2. x 1 x 1 2 x2 1 当0 x x0 时, 就有 2 , x 1 例5 证明 : 当x0 0时, lim x x x0 x0 . 证 f ( x) A x x0 x x0 x x0 , x0 x x0 任给 0, 要使 f ( x ) A , 只要 x x 0 x 0 且不取负值. 取 min{ x 0 , x 0 }, 当0 x x0 时, 就有 x x 0 , lim x x x0 x0 . 3.单侧极限: 1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1. x 0 例如, x0 x0 y 1 x y 1 y x2 1 o x 分x 0和x 0两种情况分别讨论 x从左侧无限趋近 0 , 记作x x0 0; x x从右侧无限趋近 0 , 记作x x0 0; x 左极限 0, 0, 使当x0 x x 0时, 恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A. x x0 0 ( x x0 ) 右极限 0, 0, 使当x 0 x x 0 时, f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A. 恒有 注意 : { x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0} x x0 0 ( x x0 ) 定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A. x x0 x 例6 验证 lim 不存在. x 0 x x x lim lim 证 x 0 x 0 x x y 1 lim (1) 1 x 0 o 1 x x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x0 x 左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在. x 0 三、函数极限的性质 1.有界性 定理 若在某个过程下, f ( x ) 有极限,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以 后 f ( x ) 有界. 2.唯一性 定理 若lim f ( x )存在,则极限唯一. 3.不等式性质 定理(保序性) 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B . x x0 x x0 若 0, x U 0 ( x0 , ), 有f ( x ) g( x ), 则A B . 推论 设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B , 且A B x x0 x x0 0, x U 0 ( x0 , ), 有f ( x ) g( x ). 则 定理(保号性) 若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0), x x0 则 0,当x U 0 ( x0 , )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0). 推论 若 lim f ( x ) A, 且 0,当x U 0 ( x0 , )时, x x0 f ( x ) 0(或f ( x ) 0), 则A 0(或A 0). 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 设在过程x a (a可以是x0 , x0 , 或x0 )中 f ( xn ), 即f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ),为函数f ( x ) 当x a时的子列. 定理 有数列xn ( a ), 使得n 时xn a .则称数列 若 lim f ( x ) A, 数列f ( xn )是f ( x )当x a x a n 则有lim f ( xn ) A. , 时的一个子列 证 lim f ( x ) A x x0 0, 0, 使当0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A . 又 lim xn x0 且 xn x0 , n 对上述 0, N 0, 使当n N时, 恒有 0 x n x0 . f ( x n ) A , 从而有 故 lim f ( xn ) A. x sin x 例如, lim 1 x 0 x 1 lim n sin 1, n n y sin x x n2 n1 1 sin 2 1 lim n sin 1, lim n n 1 n n n 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等. 例7 证明 lim sin x 0 1 不存在. x y sin 1 x 1 证 取 x n , n lim xn 0, n 且 xn 0; 1 取 x , lim x 0, 且 x 0; n n 4 n 1 n n 2 1 而 lim sin lim sin n 0, n x n n 1 4n 1 而 lim sin lim sin n x n 2 n lim 1 1, n 1 二者不相等, 故 lim sin 不存在. x 0 x 四、小结 函数极限的统一定义 lim f ( n) A; n lim f ( x ) A; x x x0 x lim f ( x ) A; x x0 x lim f ( x ) A; x x0 lim f ( x ) A; lim f ( x ) A; lim f ( x ) A. lim f ( x ) A 0, 时刻, 从此时刻以后 , 恒有 f ( x ) A . (见下表) 过 时 程 刻 从此时刻以后 n x x x N n N x N x N x N f ( x) A f ( x) 时 程 刻 过 x x0 xx 0 x x0 从此时刻以后 0 x x0 0 x x0 x x0 0 f ( x) f ( x) A 思考题 1 x sin , x 0 x x 0 在 x 0处 试问函数 f ( x ) 10, 5 x2 , x0 的左、右极限是否存在,当 x 0 时， f ( x ) 的 极限是否存在, 思考题解答 x 0 lim f ( x ) lim (5 x 2 ) 5, x 0 左极限存在, 1 lim f ( x ) lim x sin 0, x 0 x 0 x 右极限存在, lim f ( x ) lim f ( x ) x 0 x 0 lim f ( x ) 不存在. x0 练 习 题 一、填空题: 1、当 x 2 时，y x 2 4，问当 取 ___时， 只要 0 x 2 ，必有 y 4 0.001 . x2 1 2、当 x 时，y 2 1，问当 z 取 ______ x 3 时，只要 x z，必有 y 1 0.01 . 二、用函数极限的定义 证明: 1 4x2 1、 lim1 2 x 2 2 x 1 sin x 2、 lim 0 x x 三、试证 : 函数 f ( x ) 当 x x 0 时极限存在的充分 必要条件是左极限、 右极限各自存在并且相等. x 四、讨论:函数 ( x ) 在 x 0 时的极限是否 x 存在? 练习题答案 一、1、0.0002; 四、不存在. 2、 397 . 一、无穷小 1.定义: 极限为零的变量称为无穷小. 定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数 值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) , 那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时 记作 为无穷小, x x0 lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0). x 例如, lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 . x 0 1 lim 0, x x 1 函数 是当x 时的无穷小 . x ( 1) n ( 1) n lim 0 数列{ , }是当n 时的无穷小. n n n 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 x x0 lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ), 其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小. 证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x 0 lim ( x ) 0, 则有 x x0 f ( x ) A ( x ). 充分性 设 f ( x ) A ( x ), 其中 ( x )是当x x0时的无穷小 , 则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A. x x0 x x0 x x0 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小); 2.给出了函数f ( x )在x 0附近的近似表达式 f ( x ) A, 误差为( x ). 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及是当x 时的两个无穷小 , 0, N 1 0, N 2 0, 使得 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N 当 x N 1时恒有 时, 恒有 , 2 2 0 ( x ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. , n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为 不是无穷小 1 . n 1 例如 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 ( x 0 , 1 )内有界， 则M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M . 又设是当x x0时的无穷小 , 0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M 取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定义 2 如果对于任意给定的正数M (不论它多么 小),总存在正数 (或正数X ),使得对于适合不等式 0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,所对应的函数 值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) M , 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作 x x0 lim f ( x ) ). lim f ( x ) (或 x 特殊情形:正无穷大，负无穷大( x x0 ( x ) lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ) x x0 ( x ) 注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在 . x x0 但是无 界变量未必是无穷大. 3. 无穷大是一种特殊的无界变量, 1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大. (1) 取 x 0 1 2k 2 y( x0 ) 2k , 当k充分大时, y( x0 ) M . 2 1 ( 2) 取 x 0 ( k 0,1,2,3,) 2k ( k 0,1,2,3,) y 1 1 sin x x 无界， 大时, xk , 当k充分 但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M . 不是无穷大( 1 例 证明 lim . x 1 x 1 证 M 0. 要使 1 M , x 1 1 1 只要 x 1 , 取 , M M 1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1 1 y x 1 定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x 0是函数y f ( x ) x x0 的图形的铅直渐近线. 三、无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 设 lim f ( x ) . x x0 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x) 反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0. x x0 M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M 1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x) 1 当x x0时, 为无穷大. f ( x) 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论. 四、小结 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: (1) 无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的数混 淆，零是唯一的无穷小的数; (2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小. (3) 无界变量未必是无穷大. 思考题 若 f ( x ) 0 ，且 lim f ( x ) A ， x 问:能否保证有A 0 的结论 ,试举例说明. 思考题解答 不能保证. 1 例 f ( x) x x 0, 1 有 f ( x) 0 x 1 lim f ( x ) lim A 0. x x x 一、填空题: 练 习 题 1、 凡无穷小量皆以________为极限. 2、在 __________条件下, 直线 y c 是函数 y f ( x ) 的水平渐近线 . 3、lim f ( x ) A _______ f ( x ) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0 若 f ( x ) 是无穷大, , 4、在同一过程中 1 2x 二、根据定义证明: 当 x 0 时, 函数 y x 是无穷大,问 x 应满足什么条件, 能使 y 10 4 . 则 ______是无穷小 . 三、证明函数 y 1 1 sin 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 x x x 0 时 , 这个函数不是无穷 大 . 练习题答案 一、1、0; 3、 ; 1 二、0 x 4 . 10 2 2、 lim f ( x ) C ; x x 1 4、 . f ( x) 一、极限运算法则 定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则 (1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B 证 lim f ( x ) A, lim g( x ) B. f ( x ) A , g( x ) B . 其中 0, 0. 得 由无穷小运算法则, [ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B ) 0. ( 2)成立. f ( x ) A A A B A B A 0. g ( x ) B B B B( B ) 又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时, B , 2 1 1 B B B B B 2 2 1 2 1 2 2 , 有界， B( B ) B , 故 B( B ) B 2 ( 3)成立. 推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ). 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n . 二、求极限方法举例 x3 1 例1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5 lim x 2 lim 3 x lim 5 解 lim( x 3 x 5) x 2 x2 x2 2 x2 (lim x ) 2 3 lim x lim 5 x2 x2 x2 2 2 3 2 5 3 0, x 1 23 1 7 x2 x2 2 lim 2 . x2 x 3 x 5 3 lim( x 3 x 5) 3 x2 3 lim x 3 lim1 小结: 1. 设 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 a n , 则有 x x0 lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n x x0 n x x0 a0 x0 a1 x0 n 1 a n f ( x0 ). P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x0 ) 0, 则有 Q( x ) P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 ) x x0 x x0 lim P ( x ) 若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用 . 4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3 解 lim( x 2 2 x 3) 0, x 1 商的法则不能用 又 lim(4 x 1) 3 0, x 1 x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3 由无穷小与无穷大的关系,得 4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3 x 1 例3 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3 2 0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 ( 型 ) . 0 先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限. x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1) x1 1 . lim x 1 x 3 2 (消去零因子法) 2x3 3x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1 解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大( 型 ) . 5 x3 2. 1 7 x3 先用x 3去除分子分母 分出无穷小 再求极限. , , 3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x (无穷小因子分出法) 小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有 a0 , 当n m , b m m 1 0 a 0 x a1 x am lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m , 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例5 1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n n 时, 是无穷小之和( 先变形再求极限. 解 1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2 sin x 例6 求 lim . x x 解 1 当x 时, 为无穷小, x y sin x x 而 sin x是有界函数. sin x lim 0. x x 1 x, 例7 设 f ( x ) 2 x 1, 解 x 0 x0 , 求 lim f ( x ). x 0 x0 x 0是函数的分段点两个单侧极限为 , x 0 lim f ( x ) lim (1 x ) 1, y 1 x y x2 1 y x 0 lim f ( x ) lim ( x 1) 1, 2 x 0 1 左右极限存在且相等, o x 故 lim f ( x ) 1. x 0 三、小结 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分 出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 思考题 在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限，那么 f ( x ) g( x ) 是否有极限,为 什么, 思考题解答 没有极限( 假设 f ( x ) g( x ) 有极限， f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知: g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) 必有极限， 与已知矛盾， 故假设错误( 练 习 题 一、填空题: x3 3 1、 lim __________. x 2 x 3 x 1 2、 lim 3 __________. x 1 x 1 1 1 1 3、 lim (1 )( 2 2 ) __________. x x x x ( n 1)( n 2)( n 3) 4、 lim __________. 3 n 5n 1 2 5、 lim x sin __________. x 0 x cos x 6、 lim x __________. x x e e 4x4 2x2 x 7、 lim __________. 2 x 0 3x 2x ( 2 x 3) 20 ( 3 x 2) 30 8、 lim __________. 50 x ( 2 x 1) 二、求下列各极限: 1 1 1 1、 lim (1 ... n ) n 2 4 2 ( x h) 2 x 2 2、 lim h 0 h 1 3 3、 lim ( ) 3 x 1 1 x 1 x 4、 lim x 8 1 x 3 2 3 x 5、 lim ( x x x x ) x 2x 1 6、 lim x x 4 1 xm xn 7、 lim m xn 2 x 1 x 练习题答案 一、1、-5; 5、0; 二、1、2; 1 5、 ; 2 2、3; 6、0; 2、2 x ; 6、0; 3、2; 1 7、 ; 2 3、-1; mn 7、 . mn 1 4、 ; 5 3 30 8、( ) . 2 4、-2; 一、无穷小的比较 1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x lim 0, x 2比3 x要快得多; x0 3 x 观 察 sin x sin x与x大致相同; 各 lim x 1, x0 极 1 2 x sin 限 x lim sin 1 lim 不存在. 不可比. 2 x 0 x0 x x 2 2 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0. (1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ; ( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说是的k阶的 无穷小. 例1 证明: 当x 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 . 4 x tan 3 x tan x 3 解 lim 4 lim( ) 4, 4 x 0 x 0 x x 故当x 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 . 例2 当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数. tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x tan x sin x为x的三阶无穷小 . 常用等价无穷小: 当x 0时, sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 x ) ~ x , arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e 1 ~ x, x 1 2 1 cos x ~ x . 2 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim 1, lim 0, 即 o( ), 于是有 o(). 1 2 sin x x o( x ), cos x 1 x o( x 2 ). 例如, 2 二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim lim . tan 2 x 例3 求 lim . x 0 1 cos x 1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2 注意 2 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. tan x sin x 例4 求 lim . 3 x 0 sin 2 x 错 解 当x 0时, t an x ~ x, sin x ~ x. x x 原式 lim x 0 3 0. (2 x ) 解 当x 0时, sin 2 x ~ 2 x , 1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 2 1. 原式 lim x 0 ( 2 x )3 16 例5 解 tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x tan x 5 x o( x ), sin 3 x 3 x o( x ), 1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2 1 2 5 x o( x ) x o( x 2 ) 2 原式 lim x 0 3 x o( x ) o( x ) 1 o( x 2 ) 5 x x 2 x 5. lim x 0 o( x ) 3 3 x 三、小结 1.无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗, 思考题解答 不能( 例当 x 时 1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x 故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较. 一、填空题: tan 3 x 1、lim =__________. x 0 sin 2 x arcsin x n 2、 lim =________. x 0 (sin x ) m ln( 1 2 x ) 3、lim =_________. x 0 x 1 x sin x 1 4、lim =________. 2 x0 x arctan x x n 5、lim 2 sin n =________. n 2 练 习 题 (1 ax ) 1 6、lim =_________. x 0 x 1 n 7、当 x 0 时， a x 3 a (a 0) 对于 x 是_______阶无穷小 . 8、当 x 0 时，无穷小 1 cos x 与 mx n 等价，则 m _______,n _______ . 二、求下列各极限: tan x sin x 1、lim ; 3 x 0 sin x e e 2、 lim ; sin x sin x 3、lim ; x 0 x tan x tan a lim 4、 ; x a xa 三、证明:若 , 是无穷小，则 ~ 0( ) . 四、设 f(x)= lim 2 n x 2n 1 求:1、 f ( x ) 的表达式 . 2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x ) f (1) ， x 1 x 1 x 2 n 1 sin x cos(a bx ) lim f ( x ) f ( 1) . 练习题答案 3 一、1、 ; 2 0, m n 2、1, m n ;3、2; , m n a 6、 ; n e ; 2、 4、 ; 5、 ; 1、 ; 2 1 二、 x 7、3; 1 8、 , 2. 2 ; 4、sec 2 a . 3、 sin 2 x x , x 1 1 cos(a b) , x 1 2 1 cos(a b ) , x 1 2 cos(a bx ), x 1 四、1、 ; 2、a 2k ( k 0 , 1, ) , b 0 . 一、函数的连续性 1.函数的增量 设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在 点 x0的增量. y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量. y y f ( x) y y y y f ( x) 0 x x0 x 0 x x x 0 x0 x 0 x x 2.连续的定义 定义 1 设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函 lim 数的增量y 也趋向于零,即x 0 y 0 x 0 或 lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点. 设 x x0 x, y f ( x ) f ( x0 ), x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ). 定义 2 设函数 f ( x ) 在U ( x 0 ) 内有定义,如果 函数 f ( x ) 当 x x 0 时的极限存在,且等于它在 点 x 0 处的函数值 f ( x 0 ) ,即 lim f ( x ) f ( x0 ) x x 0 那末就称函数 f ( x ) 在点x 0 连续. : " " 定义 0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) . 1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x 0, x 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x 又 f (0) 0, lim f ( x ) f (0), x 0 由定义2知 函数 f ( x )在 x 0处连续. 3.单侧连续 若函数f ( x )在(a , x 0 ]内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数f ( x )在[ x 0 , b)内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续. 定理 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0 处既左连续又右连续 . x 2 , x 0, 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性. 解 lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0), x 0 x 0 lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0), x 0 x 0 右连续但不左连续 , 故函数 f ( x )在点 x 0处不连续. 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如,有理函数在区间(,)内是连续的. 例3 证明函数 y sin x在区间( ,)内连续. 证 任取 x (,), x x cos( x ) 2 2 x 则 y 2 sin . 2 y sin( x x ) sin x 2 sin x cos( x ) 1, 2 对任意的, 当 0时, sin , 有 x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续 的. 二、函数的间断点 函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 : (1) f ( x )在点x0处有定义; ( 2) lim f ( x )存在; x x 0 ( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ). x x0 要有一个不满足 则称 , 函数 f ( x )在点 x0处不连如果上述三个条件中只 续(或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点). 1.跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极 限都 存在, 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x )的跳跃间断点. x, 例4 讨论函数 f ( x ) 1 x , x 0, 在x 0处的连续性. x 0, y 解 f (0 0) 0, f (0 0) 1, f (0 0) f (0 0), x 0为函数的跳跃间断点 . o x 2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 , 但 lim f ( x ) A f ( x0 ), 或 f ( x )在点 x0处无定 x x 0 义则称点 x0为函数 f ( x )的可去间断点 . 例5 讨论函数 2 x , 0 x 1, f ( x ) 1, x 1 1 x , x 1, 在x 1处的连续性 . y 2 1 y 1 x y2 x 1 o x 解 f (1) 1, f (1 0) 2, x 1 f (1 0) 2, lim f ( x ) 2 f (1), x 0为函数的可去间断点 . 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 注意 如例5中, 令 f (1) 2, 2 x , 0 x 1, 则 f ( x) x 1, 1 x , 在x 1处连续. y 2 1 o 1 x 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 函数在点x0处的左、右极限都存在 . 特点 3.第二类间断点 如果 f ( x )在点 x0处的左、 右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 例6 讨论函数 f ( x ) x , x 0,在x 0处的连续性. x , x 0, y 解 f (0 0) 0, f (0 0) , o x x 1为函数的第二类间断点 . 这种情况称为无穷间 断点. 1 例7 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x 解 在x 0处没有定义, 1 且 lim sin 不存在. x0 x y sin 1 x x 0为第二类间断点 . 这种情况称为的振荡间 断点. 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. ? 狄利克雷函数 1, 当x是有理数时, y D( x ) 0, 当x是无理数时, 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. ? x , 当x是有理数时, f ( x) x , 当x是无理数时, 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ? 1, 当x是有理数时, f ( x) 1, 当x是无理数时, 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续. 判断下列间断点类型: y y f x x1 o x2 x3 x 例8 当a取何值时, cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0, 解 f ( 0) a , lim f ( x ) limcos x 1, x 0 x 0 lim f ( x ) lim(a x ) a , x0 x0 要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1, , 函数 f ( x )在 x 0处连续. 故当且仅当a 1时 三、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 间断点 第二类间断点:无穷型,振荡型. (见下图) 第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点 y y 可去型 y 跳跃型 o x0 x o y x0 x o x0 x o x 振荡型 无穷型 思考题 x0 连续，则| f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 0 是 x 若 f ( x)在 f 2 ( x ) 在x0 连续， f ( x ) 在 否连续,又若| f ( x ) | 、 x0 是否连续, 思考题解答 lim f ( x ) 在x0 连续， x x f ( x ) f ( x0 ) 0 且 0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ) x x0 lim f 2 ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) f 2 ( x0 ) x x0 x x0 x x0 f ( x ) 在x0 都连续. 故| f ( x ) |、 2 但反之不成立. 1, x 0 例 f ( x) x0 1, 在 x0 0 不连续 但 | f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在x0 0 连续 练 习 题 一、填空题: 1、指出 y 断点;在 2、指出 y x2 1 在 x 1 是第_______类间 2 x 3x 2 x 2 是第_____类间断点 . x2 x 在 x 0 是第________类间 2 x ( x 1) x 1 是第______类间断点;在 x 1 断点;在 是第_____类间断点 . x, x 1 二、研究函数 f ( x ) 的连续性，并画出函数 1, x 1 的图形 . 三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些 间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变 函数的定义使它连续 . x 1, x 1 x R 1、 f ( x ) 在 上 . 3 x , x 1 x 2、 f ( x ) ,在x R 上 . tan x 1 x 2n lim 四、讨论函数 f ( x ) n 2 n 的连续性，若有间断 1 x 点，判断其类型 . ex b a, b 五、试确定 的值,使 f ( x ) ， ( x a )( x 1) x (1)有无穷间断点 x 0 ; (2)有可去间断点 1 . 练习题答案 一、1、一类,二类; 2、一类,一类,二类. 二、 f ( x )在( ,1)与( 1,)内连续,x 1 为跳跃间 断点. 三、1、 x 1 为第一类间断点; , 2、 x k 为可去间断点 2 x k( k 0) 为第二类间断点. x , x k, k f1 ( x ) tan x 2 1, x 0 ( k 0, 1, 2, ) , x, x 1 四 、 f ( x ) 0, x 0 x 1 和 x 1 为 第 一 类 间 断 点 . x, x 1 a 0, b 1; a 1, b e 五、(1) (2) . x tan x , x k, k 2 f2 ( x) ( k 0,1,2,) . 0, x k 2 一、四则运算的连续性 定理1 若函数 f ( x ), g ( x )在点 x0处连续, f ( x) 则 f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x ), ( g ( x0 ) 0 ) g( x ) 在点 x0处也连续. 例如, sin x, cos x在(,)内连续, 故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 . 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. , 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续 2 2 故 y arcsin x 在[1,1] 上也是单调增加且连续 . 同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续 ; y arctan x, y arc cot x 在[,]上单调且连续 . 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理3 若 lim ( x ) a , 函数 f ( u)在点a连续, x x0 x x0 则有 lim f [( x )] f (a ) f [ lim ( x )]. x x0 证 u a连续, f (u)在点 0, 0, 使当 u a 时, 恒有 f ( u) f (a ) 成立. 又 lim ( x ) a, x x 0 对于 0, 0, 使当 0 x x0 时, 恒有 ( x ) a u a 成立. 将上两步合起来: 0, 0, 使当0 x x0 时, f ( u) f (a ) f [ ( x )] f (a ) 成立. lim f [ ( x )] f (a ) [lim ( x )]. x x x x 0 0 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换( u ( x ))的理论依据 . ln(1 x ) . 例1 求 lim x 0 x 解 原式 lim ln(1 x ) x 0 1 x ln[lim(1 x ) ] ln e 1. x 0 1 x 例2 解 ex 1 求 lim . x 0 x 令 e x 1 y, 则 x ln(1 y ), 当x 0时, y 0. lim y0 y 0 ln(1 y ) y lim 原式 同理可得 1 ln(1 y ) 1 y 1. ax 1 lim ln a . x 0 x 定理4 设函数 u ( x ) 在点 x x0连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f ( u) 在点 u u0 连续, 则复合函数 y f [( x )]在 点 x x0也连续. 注意 定理4是定理3的特殊情况. , u 在 ( , 0) (0, )内连续, x y sin u 在(, )内连续, 1 例如 1 y sin 在 ( , 0) (0, )内连续. x 三、初等函数的连续性 ? 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. ? 指数函数 y a x (a 0, a 1) 在(,)内单调且连续 ; 对数函数 y loga x ? (a 0, a 1) 在(0,)内单调且连续; ? y x a log ax y a , u loga x. u 在(0, )内连续, 讨论不同值, (均在其定义域内连续 ) 定理5 定理6 续的. 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连 定义区间是指包含在定义域内的区间. 注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如, y cos x 1, D : x 0,2,4, 这些孤立点的邻域内没有定义. y x ( x 1) , 2 3 D : x 0, 及x 1, 在0点的邻域内没有定义. 函数在区间 1,)上连续. [ 注意 2. 初等函数求极限的方法代入法. x x0 lim f ( x ) f ( x0 ) 求 lim sin e x 1. x 1 ( x0 定义区间 ) 例3 解 sin e 1 1 sin e 1. 原式 1 x2 1 . 例4 求 lim x 0 x ( 1 x 2 1)( 1 x 2 1) 解 原式 lim x 0 x( 1 x 2 1) x 0 0. lim 2 x 0 1 x 1 2 四、小结 连续函数的和差积商的连续性. 反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续 性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法. 思考题 设 f ( x ) sgn x ， g ( x ) 1 x ，试研 2 究复合函数 f [ g ( x )]与 g[ f ( x )]的连续性. 1, x 0 2 f ( x ) 0, x0 g( x ) 1 x 1, x0 2 f [ g ( x )] sgn(1 x ) 1 f [ g( x )]在( , ) 上处处连续 思考题解答 2, g[ f ( x )] 1 sgn x 1, 2 x0 x0 g[ f ( x )]在( ,0) ( 0, ) 上处处连续 x 0 是它的可去间断点 一、填空题: 1、lim x 2 3 x 4 ____________. x 11 ____________. 2、lim x0 x 3、 lim ln( 2 cos 2 x ) ____________. x 6 x0 练 习 题 2 2 cos x ____________. 4、 lim 2 tan x x et 1 ____________. 5、 tlim2 t e x , x 0 , 当 a _____时，f ( x ) 在 6、设 f ( x ) a x , x 0 ( , ) 上连续 . 4 x4 x 1 7、函数 f ( x ) 2 的连续区间为 x x6 ________________. x cos ,当 x 1时 2 8、设 f ( x ) 确定 x 1 ,当 x 1时 x 1 2 x 1 lim f ( x ) __________; lim f ( x ) ___________. 二、计算下列各极限: sin x sin a 1、lim ; x a xa 2 x 3 x 1 ) ; 3、lim ( x 2 x 1 2、lim (1 3 tan 2 x ) cot x ; x0 a x 2 , x 0 三、设 f ( x ) 1 , x 0 已知 f ( x ) 在 ln( b x x 2 ), x 0 x 0 处连续，试确 定 a 和 b 的值. 四、设函数 f ( x ) 在 x 0 处连续，且 f ( 0 ) 0 ,已知 g( x ) f ( x ) ， 试证函数 g ( x ) 在 x 0 处也连续. 练习题答案 一、1、2; 1 2、 ; 2 3、0; 4、0; 1 1 5、 ( 2 1) ; 6、1; 2 e 7、( ,3), ( 3,2), ( 2,) ; 2 8、 ,0,不存在. 2 1 二、1、cos a ; 2、1; 3; 2 . e a 1, b e 三、 . 一、最大值和最小值定理 定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ), 如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有 f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值. 例如, y 1 sin x , 在[0,2]上, ymax 2, ymin 0; y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1; 在(0,)上, ymax ymin 1. 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. 若 f ( x ) C [a , b], 则 1 , 2 [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( 1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ). y y f ( x) o a 2 1 b x 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. y y f ( x) 1 y y f ( x) o 2 x o 1 2 x 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数 f ( x )在[a, b]上连续, x [a , b], 有 m f ( x) M , 取 K max{ m , M }, 则有 f ( x ) K . 函数f ( x )在[a, b]上有界. 二、介值定理 定义: 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数 f ( x )的零点. 定理 3(零点定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 a, b 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ), 那末在开区间a, b 内至少有函数f ( x ) 的一个零 点,即至少有一点 (a b ) ，使 f ( ) 0 . 即方程 f ( x ) 0在 (a, b)内至少存在一个实根. 几何解释: y 连续曲线弧 y f ( x )的两个 端点位于x轴的不同侧, 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 . a o y f ( x) 1 2 3 b x 定理 4(介值定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 a, b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a ) A 及 f (b) B , C 那末，对于A 与B 之间的任意一个数 ，在开区间 a, b 内至少有一点 ，使得 f ( ) C (a b) . 证 设 ( x ) f ( x ) C , 则 ( x )在[a, b]上连续, y M B y f ( x) C a o x1 1 A m 且 (a ) f (a ) C A C, (b) f (b) C B C , (a ) (b) 0, 2 3 x2 b x 由零点定理, (a, b), 使 ( ) 0, 即 ( ) f ( ) C 0, f ( ) C . 几何解释: 连续曲线弧 y f ( x )与水平 直线 y C至少有一个交点. 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m之间的任何值. 例1 证明方程 x 4 x 1 0在区间(0,1)内 3 2 至少有一根. 证 令 f ( x ) x 3 4 x 2 1, 则f ( x )在[0,1]上连续, 又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理, (a, b), 使 f ( ) 0, 3 2 即 3 4 2 1 0, 方程x 4 x 1 0在(0,1)内至少有一根 . 例2 设函数 f ( x )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a , f (b ) b. 证明 (a , b ), 使得 f ( ) . 证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续, 而 F ( a ) f ( a ) a 0, F ( b ) f ( b ) b 0, 由零点定理, (a, b), 使 F ( ) f ( ) 0, f ( ) . 即 三、小结 四个定理 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1(闭区间; 2(连续 函数( 这两点不满足上述定理不一定成立( 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理; 思考题 下述命题是否正确, 如果 f ( x ) 在[a , b] 上有定义，在(a , b ) 内连续，且 f ( a ) f (b ) 0 ，那么 f ( x ) 在 (a , b) 内必 有零点. 思考题解答 不正确. e , 例函数 f ( x ) 2, 0 x1 x0 f (0) (1) 2e 0. f ( x ) 在(0,1) 内连续, f ( x ) 在(0,1) 内无零点. 但 练 习 题 一、 证明方程 x a sin x b ，其中 a 0 , b 0 ，至 少有一个正根，并且它不超过 a b . 二、若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， a x1 x 2 x n b 则在 [ x 1 , x n ] 上必有 三、设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， a c d b ,试证 p和q ;至少有一点 [ c , d ] ,使 明:对任意正数 pf ( x ) qf ( x ) ( p q ) f ( ) . f ( x ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ...... f ( x n ) . n ，使