垂心的特性

垂心的特性 垂心的特性 当 为三角形 之垂心时， 1. 2. 3. 为的垂心. ,ABCOA,OB,OB,OC,OC,OA,O 证明 1 公式: 公式导出: 由1.2.得知: 又 2 公式: 公式导出: 同理: OA,OB,OB,OC,OC,OA,4. 3为的垂心. ,ABCO 证明:如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD 垂直BC， D、E是垂足. A OA,OB,OB,OC,OB(OA,OC),OB,CA,0 E ,OB,ACO同理， OC,ABOA,BC BDC为的垂心 ,,ABCO 小练习: 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足PA、B、CO ABAC， ，则点的轨迹一定通过的，P,,,0,，,OP,OA，,(，),ABC ABcosBACcosC ( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 分析:如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. A ABAC (，),BCEABcosBACcosC AB,BCAC,BC，= ABcosBACcosCBDC ,ABBCcosBACBCcosC =， ABcosBACcosC +=0 =,BCBC ？点P的轨迹一定通过的垂心，即选D. ,ABC 扩展:欧拉定理 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外 心、重心、垂心的位置关系: ——“” (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线欧拉线;(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第 2倍。 一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 在?ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。 【证明】:以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、 B(x,0)、C(x,y)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有: 122 xxxyxy，112222 D(、、,0)(,)(,)EF22222 xxxy，1122由题设可设, G(,)QyHxy(、,)(,)324332 xxy212， BCxxy,,(,)？,,,,AHxyQFy(,)(,)，212243222 AHBCAHBCxxxyy,,,,,，,()0y 22124,y) C(x22 xxx(),221？,,y4yH 2 F E xxy212QFACQFACxyy,,,,,，,,()()0G 223222Q x xxxy(),2212？,，y3A D B(x,0) 122y2 xxxxxxy23(),,1212212( ？,,,,,,QHxyy(,),)24322y222 xxxyxxyxxxy，,,2()21122122212？,,,,,,QGy(,),)(33236322y2 23()23()xxxxxyxxxxxy,,,,11212212212212 (,)(,),,,,,,,QH66632223yy22 即，故Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2 QHQG=3