数列递推公式

递推数列题型     各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列满足，，求。 变式:已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,  a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 类型2   解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列满足，，求。 例:已知， ，求。 变式:已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项   类型3 （其中p，q均为常数，）。 例:已知数列中，，，求. 变式:在数列中，若，则该数列的通项_______________ 变式:已知数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）若数列{bn}滿足：数列{bn}是等差数列； （Ⅲ）证明：     变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异． 类型4 （其中p，q均为常数，）。    （或,其中p，q,  r均为常数） 。 例:已知数列中，,，求。 变式:设数列的前项的和， （Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明： 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 例:已知数列中，,,，求。 变式:已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列； （II）求数列的通项公式； （III）若数列满足证明是等差数列  　 类型6 递推公式为与的关系式。(或) 解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。 例：已知数列前n项和. （1）求与的关系；（2）求通项公式. 变式: 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an   变式:已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式. 类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。 例:设数列：，求. 变式:已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…  (Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列 (Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出  若不存在,则说明理由 类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。 变式:已知数列 （1）证明 （2）求数列的通项公式an.（此种类型暂不要求） 变式:已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； （2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1  类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。 例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。 变式:已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ （1） 求数列｛an｝的通项公式； （2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！ 类型10 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。 例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式.  例：已知数列满足：对于都有 （1）若求（2）若求（3）若求 （4）当取哪些值时，无穷数列不存在？ 变式:数列 记 （Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和 类型11 或 解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。 例：（I）在数列中，，求 （II）在数列中，，求 类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法 变式:设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，… （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式  类型13双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,. 类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。 例：若数列满足，若，则的值为___________。 变式:已知数列满足，则=    （    ）     A．0    B．    C．    D．