多元函数的极值

多元函数的极值 第十七讲 教学内容: 多元函数的极值 教学过程: 一、多元函数的极值: (一)多元函数极值的概念: 定义:如果在的某一邻域内满足不等式 (或z,f(x,y)(x,y)f(x,y),f(x,y)0000 )称在处取得极大值(极小值),对应的叫做极大(小)值f(x,y),f(x,y)z,f(x,y)(x,y)(x,y)000000点,函数的极大值,极小值统称为极值( (二)结论: 定理1:设z,f(x,y)在处偏导数存在,且是极值点,那么: (x,y)(x,y)0000 ( f(x,y),f(x,y),0x00y00 定理2:设在处有连续的二阶偏导数，为驻点，记z,f(x,y)(x,y)(x,y)0000 则 A,f(x,y),C,f(x,y),f(x,y),B,xy00yy00xx00 2? 当时，在点取得极值，且当时，取得极小值，当 f(x,y)(x,y)B,AC,0A,0A,000 时，取得极大值. 2?当时，在点不取得极值. f(x,y)(x,y)B,AC,000 2 ?当时，情况不定. B,AC,0 (三)方法: (1)极值的求法:设在D内有二阶连续偏导数， z,f(x,y) D第一步:求出在内的偏导数及二阶偏导数; z,f(x,y) f(x,y),0,x 第二步:解方程组 求得驻点; ,f(x,y),0y, 2 第三步:计算驻点处的,根据判断极值情况( A,f(x,y),B,f(x,y),C,f(x,y)B,ACxx00xy00yy00 (2)条件极值的求法: 求函数在约束条件下的极值，可以先构造拉格朗日函数: u,f(x,y,z),(x,y,z)(Lagrange) ,,Ff,，,0,xxx,,,Ff,，,0,yyy,解方程组 . F(x,y,z;,),f(x,y,z)，,,(x,y,z),,,Ff,，,0zzz, ,F,,,0,, 其解就是可能的极值点，然后根据题意进一步判断即可. (3)最值问题: 多元函数的最值较为复杂。对于实际问题，如果由问题的性质能够判断最值的存在，且取在区域内部，而函数在区域内有唯一的驻点，则唯一的驻点就是所求的最值点( 最值问题一般解题步骤如下: 第一步:分析问题，设出变量，建立目标函数，并写出目标函数的定义域; 第二步:利用极值的知识，求出极值的可能点(如驻点); 第三步:分析、判断、作结论( (四)例题解析: 2x2例1 的极值( z,e(x，y，2y) ,z,z2x2x2解:?，,e(2y，2)(从而驻点为(1/2,-1) ( ,e(2x，2y，4y，1),y,x ?求 得A,B,C; ?用判定定理判别. z,z,zxxxyyy 111例2 求在条件，，,1下的极值( (x,0,y,0,z,0)u,x，y，zxyz 111F(x,y,z;,),x，y，z,,(，，,1)解:设辅助函数( xyz ,,F,1，,0x2,x,,F,1，,0,y2,y由 解得驻点为(3,3,3); ,,,F,1，,0z2z,111,F,，，,1,0,,xyz, 根据实际问题分析可知在(3,3,3)处取得极小值9. u,x，y，z 例3 求内接于半径为的球面内体积最大的圆柱体的高( R 2h222解:设圆柱体的底半径和高分别是，则，满足条件 r，,R(r,h,0)r,hV,,rh4 2h222作辅助函数. F(r,h;,),,rh，,(r，,R)4 ,,F,2rh，2r,0,x,h236,2 由， 解得. Fr,，,0h,R, r,R,,,y233,222,F,r，h/4,R,0,, 23因为最大体积的圆柱体存在，且驻点唯一，所以当时体积最大. h,R3例4 在斜边长为L的直角三角形中,求最大周长的直角三角形的直角边的边 长. 222解:设直角边长分别为和，则周长,满足条件.做辅助函数yL,x，y，lxx，y,l 222F(x,y;),x，y，l，(x，y,l) ,, ,Fx,1，2,0,x2,由，解得. Fy,1，2,0x,y,l,,y2222,Fxyl,，,,0,, 2最大周长的直角三角形存在，所以当时周长最大. x,y,l2 33例5 某工厂要用钢板制作一个容积为的无盖长方体的容器，若不计钢板的am 厚度，怎样制作材料最省? 解: 从这个实际问题知材料最省的长方体容器一定存在，设容器的长为，宽为xm ，高位，则无盖容器所需钢板的面积为 ymzm . A,2xy，2yz，2xz 33a2a(xy)，3zAxy又已知 ，于是把,代入A中，得. (x,0,y,0)V,xyz,a,，xyxy A求得偏导数,得 33,A2a,A2a， . ,y,,x,22,x,yxy 3,2ay,,0,,2,x求驻点，即解方程组 ,32a,x,,0,2,y, 33a23z因为，解方程组，得:，代入，得，于是驻点唯一，,x,0,y,0z,x,y,2axy2 323所以当长方体容器的长与宽取，高取时，所需的材料最省. am2am2 例, 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为10元与9元，生产单位x的产品甲与生产单位的产品乙的总费用是 y 22元. 400，2x，3y，0.01(3x，xy，3y) 求:取得最大利润时，两种产品的产量各多少? 解: 设表示产品甲与乙分别生产与单位时所得的总利润.因为总利润等L(x,y)yx 于总收入减去总费用，所以 22 L(x,y),(10x，9y),[400，2x，3y，0.01(3x，xy，3y)] 22. ,8x，6y,0.01(3x，xy，3y),400 L(x,y),8,0.01(6x，y),0,x由 解得驻点.又 (120,80),L(x,y),6,0.01(x，6y),0y, ， A,L,,0.06,0,B,L,,0.01,C,L,,0.06xxxyyy 222,3 ， B,AC,(,0.01),(,0.06),,3.5，10,0 所以，当与时，是极大值(由题意知，生产单位产品y,80L(120,80),320x,120120 甲与单位产品乙时所得利润最大( 80 例, 求内半径为,外半径为，密度均匀的圆环形薄板关于圆心的转动惯量( RR21 解: 先求转动惯量微元 22(为密度)， dI,(x，y),d,,0 将微元在圆环域内积分，则得 22， I,,(x，y)d,0,,D D用极坐标计算，表示为，，于是 R,r,R0,,,2,12 2,R12442( I,,d,rrdr,,,(R,R)021,,0R12 二、小结: 本节主要讲述了多元函数极值的概念和极值的求法，要求大家重点掌握二元函数极值的充分条件、条件极值拉格朗日乘数法，会解决极值的简单应用问题( 三、作业: ,(见《高等数学达标教程》 168页 四:4;六:6，7，8( ,(小结本章,并找出重点. 思考, 判断: f(x,y),f(x,y),0函数在处取得极值.则( , , z,f(x,y)(xy)xy0,0 填空: 33二元函数的驻点是 ( z,x，y,3xy选择: 1(在处有二阶连续偏导数,且, f(x,y),f(x,y),0(x,y)f(x,y)x00y0000 ,,以下判断正确的是( )( B,f(x,y)C,f(x,y)A,f(x,y)xy00yy00xx00 2,A, 时,在处取得极值( (x,y)B,AC,000 2,B,时,在处取得极值( (x,y)B,AC,000 2,C,时,在处不取得极值( (x,y)B,AC,000 2,D,时,在处不取得极值( (x,y)B,AC,0002.(0,0)点是函数的( )( z,xy,A,驻点, ,B,极大值点, ,C,极小值点, ,D,无法判断(