恒成立问题

恒成立问题 756821737.doc 恒 成 立 问 题 恒成立问题是高中数学的一个综合性问题，涉及面广，处理难度大，经常考。处理恒成立问题的方法主要有:判别式法;数形结合法;重要不等式法;换元法;极值法等。 一、判别式法 2 此法适用于一元二次不等式ax+bx+c>0和可化为一元二次不等式类的恒成立问题，当x?R时，只需a>0且?<0;若x?[a,b],则需用求函数极值的方法或用根的分布的方法分类讨论解决。 2例1:已知不等式2x-1>m(x-1)， (1) 是否存在实数m，使不等式对任意x?R恒成立,说明理由; (2) 若对于m?[-2，2]不等式成立，求实数x的取值范围。 2解:(1)原不等式等价于mx-2x+(1-m)<0,若对于一切实数x恒成立， 当且仅当m<0且?=4-4m(1-m)<0，此不等式解集为空集， ? 不存在实数m使不等式恒成立。 2(2)设f(m)=(x-1)m-(2x-1)，当m?[-2，2]时，f(m)<0恒成立。 而f(m)=0,(m?[-2，2])时表示线段，当且仅当f(2)<0且f (-2)<0, 2 2x-2x-1<0, ? 2 -2x-2x+3<0 ? 1,31，3,1,7,1，7,x,x,,x,由?得，由?得， 2222 ,1，71，3,1，71，3,x,,x,取交集得，x的取值范围是{x|}。 2222 23x，px，6例2:是否存在实数x，使不等式-90, 24222? 原不等式等价于 -9(x-x+1)<3x+px+6?6(x-x+1), 22即 -9(x-x+1)<3x+px+6 ? 22 3x+px+6?6(x-x+1) ? 对一切实数x恒成立，即?,?对一切实数恒成立。 22由?得12x+(p-9) x +15>0恒成立，??=(p-9)-41215 < 0; ，，122由?得3x-(p+6)x?0恒成立，? ?=(p+6)?0, 2 将= -6代入?知此时?<0成立。 11 因此存在p= -6使原不等式对一切x恒成立。 二、重要不等式法 例3:已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1，且f(1)=1， *(1)若x?N，试求f(x)的表达式; *(2)若x?N，且x?2时不等式f(x) ?(a+7)x-(a+10)恒成立，试求实数a的取值范围。 解:(1)令y=1则f(x+1)=f(x)+2x+4， ? f(x+1)-f(x)=2x+4, 1 756821737.doc 2 ? f(x)=[f(x)-f(x-1)]+[f(x-1)-f(x-2)]+ … +[f(2)-f(1)]+f(1)= x+3x-3 2x,4x，72 (2)不等式可化为 x+3x-3?(a+7)x-(a+10), ? a?恒成立, x,1 2x,4x，74*因为 x?2, x?N ,=(x-1)+ ?2。 ? a?2. x,1x,1 三、极值法 ,3例4:设f(x)=x+x,x?R，当0?θ?时，f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，则实数m的取值范围是( ) 2 1 A (0,1) B (-?,0) C (-?,) D(-?,1) 23:若用函数解析式代入化简，问题变得相当复杂，如能考虑到函数f(x)=x+x,x?R是单调递增的奇 1函数，将原不等式化为f(msinθ)>f(m-1)，再脱去函数符号，可得，msinθ>m-1, 由m<恒成1,sin, 1,立，? 当0?θ?时,()=1, ?m<1.选D。 min21,sin, 由上述解法知此题可不给出函数解析式，只要给出函数在R上是单调的奇函数即可。例5:设 132f(x)=x-x-2x+5 2 (1)求函数f(x)的单调递增区间、递减区间; (2)当x?[-1,2]时，f(x)7. max 四、换元法 22例 6、已知对于满足等式x+(y-1)=1的一切实数x 、y,不等式x+y+c?0恒成立，则实数c的取值范围是( ) A (-,0] B [,+) C[-1,+) D [1-,+) ,,,,222 22分析:考虑到等式x+(y-1)=1的几何意义是坐标平面的圆，运用圆的参数方程进行换元，令x=cos ,θ，y=1+sinθ, θ?[0,π),则有cosθ-sinθ+c+1?0恒成立，即c?cos(θ+)-1恒成立,而当θ24 ,?[0,π)时，有cos(θ+)-1?-1，c?-1,选C 2224 此题还可用数形结合法解。 五、数形结合法 例7、若关于的不等式|x+3|+|x-1|>a恒成立,则a的取值范围是( ), A a?4 B a<4 C a>4 D a?4 分析:|x+3|和|x-1|分别表示数轴上动点P(x)到两定点A(-3)、B(1)的距离，当时|x+3|+|x-1|取最小值4，? a<4，选B。 2 756821737.doc 2008.11 3