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DVD在线租赁

2017-09-26 15页 doc 37KB 23阅读

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DVD在线租赁DVD在线租赁 —————————————————————————————————— DVD在线租赁 摘 要 本文是对DVD在线租赁的分配,购买方案的分析研究,采用了数学规划的方法建立线性规划即多目标规划模型,解决了DVD的分配和购买问题。既是商家获利大,又使顾客充分满意得出合理的经营方案,并对商家提出了一些优化性的意见.我们的主要工作有: 1.我们对现有DVD的分配问题进行分析处理,首先对订单进行分析处理.可以得到一个0--1规划分配线性模型,由于变量的数量相当的大(大于100000个)软件处理起不是很方便,于是我...
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DVD在线租赁 —————————————————————————————————— DVD在线租赁 摘 要 本文是对DVD在线租赁的分配,购买的分析研究,采用了数学规划的方法建立线性规划即多目标规划模型,解决了DVD的分配和购买问。既是商家获利大,又使顾客充分满意得出合理的经营方案,并对商家提出了一些优化性的意见.我们的主要工作有: 1.我们对现有DVD的分配问题进行分析处理,首先对订单进行分析处理.可以得到一个0--1规划分配线性模型,由于变量的数量相当的大(大于100000个)软件处理起不是很方便,于是我们就想到了启发式算法来对每位会员相应DVD的满意度进行降序排列,按行与列的要求一步一步的删除行列,使得矩阵越变越小从而可得出我们比较满意的答案,虽此方法思路和作法都相对来说比较简单得需手动统计,不是一种较好的运算方法于是我们又想出了另外一种方法蒙特卡罗方法通过仿真模拟产生随机数来运算通过多交的运算找出一个比较接近最优解的一个满意解,满意度为 852.3381 . 2.针对DVD的购量问题进行分析处理,在对DVD的购买时我们可通过对订单进行合理分配(利用上面的分配原理建立相应模型)再让总的购碟数最小来作为约束条件求出一个满意购买量.而DVD则需要考虑它的市场潜在能力,即它对未来市场的适应情况.为此我们通过查找相关资料得出一个规律即它们对市场的适应情况一般都满足f(x)函数,所以对一个DVD的购量则要参考此函数图,由于商家购碟是有一定的时间段的,而第二次和以后的多次的购量还会受市场的反馈信息的他前一段时间的购量的影响。所以我们可以在此将时间,市场的影响,等因素来建立一个数学模型,通过模型我们可行到一个让商家和顾客都满意的购量。 1. 问题的重述 此题主要考虑的就是DVD在线租赁过程中如何购买和分配以及对未来DVD的需求量的预测的问题,以达到一个对会员的满意度相对来说比较高同时又要满足商家的利益最大. 2. 名词和符号说明 DVD的紧张度:一种DVD碟子,需求量和现有碟子张数的比值,比值大说明紧张度大,反之,说明紧张度小,也反映了一种DVD的受欢迎程度。 偏爱度:会员对DVD的喜爱程度. 满意度:每个会员所有选责DVD对应的偏爱度和每位会员总的偏爱度的比值.。 我们将原始数据中反映偏爱度的非零数据全部转化为它的倒数,作为它的偏爱度。 符号说明: m----会员人数 n----DVD的数量种类 i----第i个会员 j----第j张DVD :示第i个会员需求第j种DVD. :表示第j种DVD的总需求量。 :表示第i个会员对j种DVD的满意程度。 表示一月内有X有愿意观看第i种DVD 表示3月内有X有愿意观看第i种DVD 表示第 i个会员对j种DVD的偏爱度。 表示每位会员总的偏爱度。,(1+1/2+1/3) 其中,* ,1,2,3…….1000 , (0表示会员没有分配到这种DVD,1表示分配到了这种DVD) 则 表示整个会员的满意程度 3. 模型的假设 会员都是同级别的(享受的待遇相同) 2.看完DVD的会员能够按时归还给网站以便下次租赁不延迟。 3.会员的人数在一个运做周期内保持不变。 4.网站购买DVD在一段时间批量购进,中途不再购买。 5.历史数据显示在任何时刻,会员中有60%的人每月可以看两次,40%的会员看一次。 6.网站每次邮寄给会员的DVD数为每次0张或者3张,不中途零送。 7.网站在分配DVD时首先考虑分配紧张度小的DVD的客户需求(员工工作效率一定),最后考虑紧张度大的DVD。 8.60%和40%的人群是随机的,事先并不确定每一个会员属于哪一类的。 9.会员定单都同时到达无先后顺序,网站在规定时间内收齐定单后统一对会员邮购DVD。 10.每种DVD的价格在购买时都是一定的,相同的。 11(不考虑原始数据中的异常代码,认为每个会员只出现一次。 4. 问题分析 本题围绕网站如何经营管理DVD在线租赁以达到收益最大的问题进行讨 论,要让收益最大即要让投入成本最低同时又要让更多的人来注册会员,这就 需要最大程度的满足会员的需求量,即让会员的满意度最大,然而这两者又存 在相互对立此消彼长的关系,这就需要我们找出一个最优解来让二者达到一 个和谐,使得收益最大.下面我们就本题的4个 问题逐次来分析: 1. 此问给出的表1是一个调查样本表,我们可用这1000个样本来代替100000 个会员来解决问题最后进行数据的扩倍即可.DVD的出租动作在一个月内是 一个动态平衡.所以我们可以将它看成一个动态问题来处理.又因故60%的会 员每月会租赁2次而40%的每月只租一次,也就是说在这个月内能出租的碟子 量是现有碟子数量的1.6倍.又因每人与获得每类碟子数是一对一的关系.那 么就可以建立一个DVD张数与满足会员人数间的一个一元线性关系式..同理 3个月内也一样可建立一个DVD张数与满足会员人数间的一个一元线性关系 式.,它只是一个月的一个3次重复,因为月租是每个月到月底时必须还所租 碟子(只考虑一般正常情况下) (具体关系式见后模型的建立与求解中). 2. 此问给出的表2--------现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单规 定了每种DVD的现有量,并且上面分析了每次获得DVD数量只能为3张或0 张这不难让我们想到线性0—1规划问题即将每位会员得到DVD时就在相应位 置记为1否则为0.即可得到相应的线性模型.(相应模型在模型建立中会具体 说到).从中解出最优的分配方案使得会员获得最大满意度.对于此问题我们 还可以用启发式方法和蒙特卡罗法分别来求出满足条件的满意解.(具体方法 使用和说明在模型的建立与求解中有详细说明)。 3. 因为现在网站的DVD数量为零,所以我们可以假定网站现在要将所有的DVD换新,3.那么网站在购买新的DVD种类和数量的时候就需要考虑和会员需求的双向影响,如果满足购进的DVD越少,而会员的满意度越大,网站的运行就越成功.假如我们将未知的DVD数和会员的满意度作为两类变量建立双目标函数,考虑到会员的人数很多,这样产生的数组将有几十万.我们用计算机产生大量模拟数据,我们假定人数一定时,为满足95%的会员在一个月内看到DVD,考虑到最少需要的DVD的数量, 我们想到一种近视的由双目标向单目标转化的的方法,发现增加一些随机数,会员的满意度变化不大的一些值,()在计算 3. 4(办好一个网站需要考虑很多方面的因素:如在预测需求环节时要增加预测数据的可信度,就要在调查范围面上区域要广,覆盖年龄段宽,还要了解行业发展 规律和行业周期;在购买环节考虑怎样的购买DVD,价格比较便宜;在分配方面现实需要考虑会员的优先级别问题,可以依据会员的级别到DVD的紧张度等来考虑;回收机制的建立加快现有的DVD的流通速度。此外,网站网业的建设,会员的激励,新会员的吸收等都是网站要考虑的因素。我们在考虑了各个经营租赁环节,从预测到分配方案的实施,得出以下的解决方案。 5. 模型的建立 1 我们规定每个月购买量为,一个月内有60,的人要出租2次,则一个月内每一种DVD的能被出租的总量为: 要求希望看到该种DVD的会员中至少50,再一个月内能够看到该DVD。我们以来表示该DVD所对应的希望看到该DVD的人数。则有 在第二问中,我们以一个月为周期,在前3个月中,我们可以认为每个月与前面一个月是一种重复关系,那么前三个月内每种DVD能被出租的总量为 3×() 要求三个月内希望看到该DVD95,的会员能够看到该DVD,则有: 3×() 表1中有5种DVD,分别对每种DVD进行如上的分析,于是对应表1 我们得到的 数学模型如下: 3×() 1. 问题二的模型建立: 在问题2与目的明确相关的一个变量为 满意度,即顾客的偏爱度,首先我们得把顾客的偏爱度转换为我们直接能够应用的数据,由于偏爱度是用0到10之间的整数表示的,并且,数字越大,偏爱度越小,于是我们采取用它的倒数来表示每位会员的满意度。转换后的满意度用矩阵来表示。 :表示第i个会员对j种DVD的满意程度。 2. 模型一:优化模型 DVD在线租赁问题可以看成一个优化模型,在追求会员满意度和最大限度的利用网站购买的DVD,建立最有效的分配方案使会员和网站双方都能达到最好的效果,这个模型主要涉及到会员人数,每个会员对不同DVD的需求和喜爱程度,网站购买的DVD数量,这些关系可以构建模型的组要框架。(m和n的乘机表示组成一个m行n列的矩阵)。 1.问题二是满足以下的关系: ?.每个会员对不同的DVD有不同的需求,它们的关系可以表示如下: :表示第i个会员需求第j种DVD. ?.网站分配给每个会员的每种DVD对应一个喜爱程度,它们的关系表达如下: :表示第i个会员对j种DVD的满意程度。 ?.假定网站购买DVD是瞬间的,不需要时间,则在一段时期内DVD数量就是一个定值,我们可以用以下的关系式来表示这个关系: :表示第j种DVD的总需求量。 ?.网站对会员提出的订单作出回答,分配会员需求的DVD,是满足一部分还是全部,满足的程度怎么样,我们将这个关系表达式表示如下: x= :表示第i个会员是否得到他想要的第j张DVD,如果得到A就是用1表示,如果没有得到,就用0表示。 ?.我们依据以上关系建立问题二的模型如下: 在此问题中,要让满意度最大,我们应当以满意度为目标函数: 目标函数:即总的满意度为: ……… ? 约束条件:…(取0或者3) ……? …………? ?表示所有每个会员全部满意度的汇总就是会员的总的满意度. ?考虑邮寄费用的因素,每个会员每次只能得到刚好3张DVD或责一张也没有得到。 ?在知道会员订单的情况下,所有会员对一种DVD的使用不超过网站存储量。 2.问题三在满足上述关系外还增加了一个未知变量,因此变成一个双目标函数,其关系如下: 目标函数:v1: (假设各种DVD购买价格相同且是,常数) V2: 约束条件: …(取0或者3) 1)需求购买预测: 假定我们是网站管理人员,要保持网站的新鲜度和吸引度,必须不断有新片购进。在购进新片的过程中,我们需要依据会员的订单信息就DVD种类和数量进行分类汇总,我们假定平均购买周期为t,以[0,t]时间内的反馈信息为基础.并且我们知道影视行业中影碟发行,DVD新片租赁有一种这样的规律,如果后期宣传与前期投入的比值在一段范围内很大的话,那么这种产品的需求就呈现在开始时增长很快,达到饱和期后就会逐渐降低,这里我们不考虑个别的情况,由以上机理分析可得这个规律可以用一个很相似的图形来表示,如下: (横坐标表示时间t,纵坐标表示DVD的需求量) DVD需求随时间变化的规律图.从图上可以看出由于上升部分和下降部分不是以最高点作为对称轴的,前面的部分变化很快,后面的部分降低速度相对很慢.我们可以用下面的数学模型对其进行描述: : 表示对一种DVD的需求量 :表示时间因子 :表示衰减系数,DVD的种类不同,衰减系数就不同 : 表示一个相关常数. 6. 模型求解 第1题、. 由前面对1题的分析可得到与模型对应的方 程为: X1(1+1.6)>=50%*200*100000/1000; X2 (1+1.6)>=50%*100000/1000*100; X3(1+1.6)>=50%*50*;100000/1000; X4(1+1.6)>=50%*25*;100000/1000; X5(1+1.6)>=50%*10;*100000/1000; 模型 对应的方程为: 3*X10(1+1.6)>=95%*200;*100000/1000;得到 3*X20(1+1.6)>=95%*100;*100000/1000; 3*X30(1+1.6)>=95%*50;*100000/1000; 3*X40(1+1.6)>=95%*25;*100000/1000; 3*X50(1+1.6)>=95%*10;*100000/1000; 表?表示这5种DVD满足50%会员在一个月内能够看到所要求的DVD DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 DVD数量 6250 3125 1563 782 313 表?表示这5种DVD满足95%会员在三个月内能够看到所要求的DVD DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 DVD数量 3959 1980 990 495 198 第2题、 我们依据如下模型: 目标函数:即总的满意度为: ……… ? 约束条件:…(取0或者3) ……? ………… ? 得到相应的目标函数为 ……… ? 约束条件:…(取0或者3) ……? 属于0或1 模型求解: 启发式方法: 用J表示DVD的类型(其中J为1到100间的整数),I表示第I位会员,N来表示DVD现有量(N为非负整数)。 步骤: 1、将现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单转化面现有DVD数和会员 对各类DVD的偏爱度表。并将所有会员对第J类DVD的偏爱度进行降序排列。 2、以第J类DVD现有数量为标准对第J类排序进行筛选,将第N个偏爱度以后 的数据删除保留第N个及它前面的偏爱度数据,以达到对第I类DVD分配的 满意度最高。在此过程中我们会遇到这类情况即第N个偏爱度数与它后一个 或多个偏爱度数相等,这就要求我们对这几个数据进行一个选择。对此我们 采用了暂时保留所有与这个相等的偏爱度数据待后几步处理,然后统计出第 I列中偏爱度数的个数M。 3、在完成了第2步的基础上统计出第I位会员分配的DVD张数。然后针对每一 个会员每次只能同时得到3张DVD或不得到DVD的情况进行数据处理。即将 统计结果等于3的行数提出来作为满足条件的解。将大于和小于3的数据又 进行一次降序排列并根据此序列中大于3的对应行与M大于N对应列对应起 来共同作用(即使得大于3的数据变成等于3;M大于N变成M等于N)删除 第2步中留下来的相等偏爱度数。 4、在第3步中我们可以删除一此第2步中保留下来的数据,仍然还有一部分的 没有办法删除,也就是说第3步统计出来的结果仍有大于3的,M仍有大于N 的数,于是我们继续查看了统计采用了合理的调配即将统计结果大于3的行 中挑选出一个或几个DVD来对小于3的行进行填补(挑选和填补规则为:先 找出需要填补的地方(寻找原则为:先满足只需要一张DVD就能达到分配成 功然后在考虑需要2张的)在来对大于3对应行的数据进行挑选填补达到分 配成功)最后根据满意度来删除还多的数据即使得大于3的数据变成等于3; M大于N变成M等于N的条件得到满足。 5、经过上面的逐步的删除与筛选最后得到的矩阵列表就是我们要寻找的最优分 配方案。将此分配方案与对应的第一步得到的偏爱度矩阵列表进行点乘即可 得到我们的对应对大满意度。 采用蒙特卡罗法:(程序见附录程序1,2) 1、将现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单转化面现有DVD数和会员 对各类DVD的偏爱度表。 2、创建一个100行1000列的0矩阵用来存放分配方案。 3、针对每列来进行处理若一列的分配数与现有DVD数量相等的话就将这一列的 所有值附为0,然后找出其它那些一整列数不全为0的列项。针对每行来分 析即每个会员所在有DVD的数量大于3的我们就随机产生一个3张DVD的组 合,这样处理后我们将会员得到DVD的情况记为1(没得到的也就为0)。 4、根据分配情况可算出相应的总的满意度。 5、由于每个会员所在可有DVD的数量大于3的情况下,他们所得的3张DVD数 是随机产生的,不能得出一种满意度较大的一种分配方案,所以我们采用了 多次重复的处理,并将每次处理的结果与上一次处理的结果相比较要是这次 产生的结果比上次的好那么这次的分配方案和满意度 6、数就将把上次主生的对应数据覆盖了。这样依次下来就可得到一个比较接近 与最优解的满意解1了。重复次数越多就会越接近于最优解。 会员号 对应的DVD号 C0001 1 11 22 C0002 62 5 38 C0003 80 76 50 C0004 7 49 41 C0005 12 63 40 C0006 61 67 19 C0007 26 51 8 C0008 8 11 17 这是采用蒙特卡罗法的分配方案 C0009 17 21 65 这是启发式方法的分配方案: C0010 85 41 55 C0011 59 70 19 C0012 45 1 7 C0013 44 75 21 会员号 对应的DVD C0014 42 43 92 C0001 41 82 98 C0015 88 52 85 C0002 38 62 96 C0016 97 10 55 C0003 4 31 90 C0017 51 47 31 C0004 14 18 31 C0018 41 44 40 C0005 41 57 63 C0019 84 15 52 C0020 17 35 43 C0021 50 89 2 C0022 22 25 68 C0023 67 29 53 C0024 76 28 37 C0025 60 81 94 C0026 97 95 91 C0027 42 58 68 C0028 82 93 47 C0029 37 26 30 C0030 35 37 62 C0006 20 53 67 C0007 26 45 51 对应满意度为852(3381 C0008 31 35 71 对应满意度为 842(05 C0009 17 53 78 C0010 14 74 76 C0011 19 63 66 C0012 1 31 41 C0013 21 78 92 C0014 28 42 52 C0015 13 70 88 C0016 6 10 48 C0017 47 72 82 C0018 17 40 41 C0019 25 67 90 C0020 17 43 91 C0021 2 5 50 C0022 22 25 86 C0023 29 53 67 C0024 41 76 79 C0025 18 90 94 C0026 39 40 97 C0027 6 22 58 C0028 3 82 100 C0029 9 44 89 C0030 1 32 84 第3题的算法 在第2题的问题中,我们应用了蒙特卡罗法来随机产生可行解,此题中我们仍用此方法具体如下: 在历史数据调查中,有60%的会员每月租2次,40%的会员只租1次,我们假设这60%与40%这2个数据在任何情况下都有效。 1:我们先用表示第 种DVD 的购买量,因为60%与40%都有效,假设每个月每种DVD第一次全部借出,有60%的DVD会还回来,则一个月有+60%张DVD可以出租,并且每位会员的定单可以包10张DVD而网站给每位会员一次提供张3DVD ,用最理想的算法(每个月第一次的DVD全部发放出去)则应该有: +60%>=95%*0.3*期望购买第种DVD的人数 2:此时解出的解为完全理想的情况下的解,而实际却不会这么理想,所以我们以此时解出的解为基准解,在此基础上,用问题2中的算法来产生一种分配方案,使它能满足95,的会员能够看到他们想看到的DVD。 3:若不能产生这样的分配方案,则增加DVD的总数,随机产生多种购买的方案,在对每种方案采取如问题二的处理方式。若此仍然不能得到一种能满足的95,的会员的看到他们想要看的DVD,则继续增加购买DVD的总数。 4:依次按照上面的步骤来随机的产生方案,直到DVD的总数能够满足95,的会员所想要看到的DVD。再在此种购买DVD数量的情况下,找出所有会员满意度最大的一种购买方案与分配方案。 100种DVD的数量依次为: 9 10 9 11 8 9 9 11 10 10 10 10 9 11 9 10 11 10 11 12 10 11 12 10 10 11 9 9 10 10 11 9 10 9 12 10 10 10 9 9 13 11 10 10 11 10 10 9 10 10 11 10 10 10 10 11 11 8 9 11 10 11 11 11 10 11 10 10 11 11 10 11 9 9 10 9 9 11 9 10 11 8 8 9 10 8 10 8 10 10 11 10 10 10 11 8 10 11 9 9 7. 模型的评价与推广 在0—1规划中,它的运用比较简单,且产生的解为最优方案,但是由于数据的增多,变量的增多,它运算的时间和空间复杂度将会成指数倍增长。由于本题的数据较多,用次方法解,它的时间度和空间度非常大,所以我们不采用0—1规划求解,但是它可以应用于变量叫少的线形规划求解。 启发式算法它的时间度和空间度远比0—1规划小,但是求解的结果有很大的误差,它只能粗劣的产生一种方法,不能最大限度的靠近最优结果,我们处理的现实问题是一个商业问题,它要求有较高的精确度,所以此中算法不令另人太满意。 蒙特卡罗法是用计算机随机模拟足够多的的次数,则当样本量趋于无穷时,样本中心最优解在理论上将无限接近总体最优解产生的解与最优解相差不大,但还是比较令人满意。同时此算法思路简单,时间度小,虽然模拟次数比较多,但对于计算机而言,这基本上可以忽略对计算机速度的影响。在解此题此方法,基本让人满意。 8. 参考文献 [1]赵静 但琦 数学建模与数学实验(第二版)高等教育出版社 2003 [2]姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 高等教育出版社 2003 [3]汪国强 数学建模优秀选编 华南理工大学出版社 2001 [4]姚东 王爱民 冯峰 王朝阳 MATLAB命令大全人民邮电出版社 2000 9. 附 录 程序1:function [sol,z0]=montb(ccc,bt) load ccc.mat; load bt.mat; b=bt; cc=ccc; %DVD的数量 n1=100; %会员数量 n2=1000; sol=zeros(n2,n1); z0=0; for i=1:n2 y=sum(sol); cc(:,find(y==b))=0; C=find(cc(i,:)>0); if length(C)>=3 sam=randsample(C,3); sol(i,sam)=1; end end z0=sum(sum(ccc.*sol)); 2(function[sol0,z0]=solend(n) load ccc.mat; load bt.mat; [sol0,z0]=montb(ccc,bt); for i=1:n [sol,z]=montb(ccc,bt); if z>z0 sol0=sol; z0=z end end
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