反比例函数压轴
反比例函数 经典结论:
y 如图,反比例函数的几何意义: k
1 (I) ; SSk,,A,,AOBAOCC2
Box (II) 。 Sk,矩形OBAC
yy 下面两个结论是上述结论的拓展.
P(1) 如图?, PECCBE,。 SS,SS,,OPC,,OPAOCD梯形PADCAooxADx
(2)如图?,
,。 SS,SS,,,BPEACE梯形梯形OAPBOBCA图? 图?
kBCOABCyx,,(0)1.如图,已知双曲线经过矩形边的中点且交于点,四边ABFEx
k,OEBF形的面积为2,则 ;
AB、AB、2.如图,点为直线yx,上的两点,过两点分别作轴的平行线交双曲线y
122CD、BDAC,2yx,,(0)4OCOD,,于两点,若,则 . x
6y,3.如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交,那么A(x,y),B(x,y)1122x
值为 . (x,x)(y,y)2121
yy
B
AE CB
C FD
ooxAx
Ex2
ex1 ex2
m4. 如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A,,2,,5,,y,kx,by,x
y C,5,n,,交y轴于点B,交x轴于点D(
m(1) 求反比例函数和一次函数的表达式; y,kx,by,C x
D O x (2) 连接OA,OC(求?AOC的面积(
B A
Ex4
k1AB,yx,yk,,(0)5.如图,已知直线与双曲线交于两点,且点 y2x
的横坐标为( A4
Ak(1)求的值;
Ok xC?AOCyk,,(0)(2)若双曲线上一点的纵坐标为8,求的面x B积;
Ex5 kOlyk,,(0)(3)过原点的另一条直线交双曲线于两点(PQ,Px
点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标( ABPQ,,,24P
6.如图?,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形,sin?AOB=,反比例函数y=(k,0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F( (1)若OA=10,求反比例函数解析式;
(2)若点F为BC的中点,且?AOF的面积S=12,求OA的长和点C的坐标; (3)在(2)中的条件下,过点F作EF?OB,交OA于点E(如图?),点P为直线EF上的一个动点,连接PA,PO(是否存在这样的点P,使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形,若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请
理由(
Ex6
Ex6
7.如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E(3,4)( (1)求反比例函数的解析式;
1(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线过点D,与线段AB相交于yxb=-+2
点F,求点F的坐标;
(3)连接OF,OE,探究?AOF与?EOC的数量关系,并
(
Ex7
8.如图,将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xOy中,F是AB边上的动点(不与端点A、B重合),过点F的反比例函数y=(k,0,x,0)与OA边交于点E,过点F作FC?x轴于点C,连结EF、OF(
(1)若S=,求反比例函数的解析式; ?OCF
(2)在(1)的条件下,试判断以点E为圆心,EA长为半径的圆与y轴的位置关系,并说明理由;
(3)AB边上是否存在点F,使得EF?AE,若存在,请求出BF:FA的值;若不存在,请说明理由(
Ex8
k9.如图,过点P(,4,3)作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y,x(k?2)于E、F两点(
y (1)点E的坐标是________,点F的坐标是________;
B F (均用含k的式子表示) P
(2)判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论; A
O x (3)记,S是否有最小值,若有,E S,S,S,PEF,OEF
求出其最小值;若没有,请说明理由(
Ex9
k10.如图,已知正比例函数y = ax(a?0)的图象与反比例函致(k?0)的图象的一个交y,x
2点为A(,1,2,k),另—个交点为B,且A、B关于原点O对称,D为
y OB的中点,过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E(
B E (1)写出反比例函数和正比例函数的解析式; D
x O C (2)试计算?COE的面积是?ODE面积的多少倍( A
Ex10
11.如图,已知双曲线y=经过点D(6,1),点C是双曲线第三象限上的动点,过C作CA?x轴,过D作DB?y轴,垂足分别为A,B,连接AB,BC(
(1)求k的值;
(2)若?BCD的面积为12,求直线CD的解析式;
(3)判断AB与CD的位置关系,并说明理由(
Ex11
12.如图,已知一次函数y=kx+b图象与x轴相交于点A,与反比1
例函数的图象相交于B(,1,5)、C(,0)两点(点P(m,n)是一次函数y=kx+b的图象上的动点( 1
(1)求k、b的值;
(2)设,1,m,,过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D(试问?PAD的面积是否存在最大值,若存在,请求出面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)设m=1,a,如果在两个实数m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数,求实数a的取值范围(
Ex12
13.如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E(3,4)( (1)求反比例函数的解析式;
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线过点D,与线段AB相交于点
F,求点F的坐标;
(3)连接OF,OE,探究?AOF与?EOC的数量关系,并证明(
Ex13
14.如图,矩形AOBC的顶点坐标分别为A(0,3),O(0,0),B(4,0),C(4,3),动点
F在边BC上(不与B、C重合),过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E,直线EF
分别与y轴和x轴相交于点D和G(给出下列命题:
?若k=4,则?OEF的面积为;
?若,则点C关于直线EF的对称点在x轴上;
?满足题设的k的取值范围是0,k?12;
?若DE•EG=,则k=1(
其中正确的命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)(
Ex14
42,m15.如图,已知一次函数y,kx,b的图象交反比例函数(x>0) y,x图象于点A、B,交x轴于点C(
(1)求m的取值范围;
BC1(,2)若点A的坐标是(2,,4),且,求m的值和一次函数AB3
的解析式;
Ex15
16.如图,点A(m,6),B(n,1)在反比例函数图象上,AD?x轴于点D,BC?x轴于点C,DC=5(
(1)求m,n的值并写出反比例函数的表达式;
(2)连接AB,在线段DC上是否存在一点E,使?ABE的面积等于5,若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由(
17.平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在函数y=(x,0)与y=,(x,0)的图象上,12A、B的横坐标分别为a、b(
(1)若AB?x轴,求?OAB的面积;
(2)若?OAB是以AB为底边的等腰三角形,且a+b?0,求ab的值; (3)作边长为3的正方形ACDE,使AC?x轴,点D在点A的左上方,那么,对大于或等
于4的任意实数a,CD边与函数y=(x,0)的图象都有交点,请说明理由( 1
Ex17
ky 23y,(x,0)18.如图1,反比例函数的图象经过点A(,1),射线x
AB与反比例函数图象交与另一点B(1,),射线AC与轴交于点C,B ay
,轴,垂足为D( ,BAC,75,AD,y
A D k(1)求的值;
tan,DAC(2)求的值及直线AC的解析式; O x (3)如图2,M是线段AC上方反比例函数图象上一动点,过M作直线
C l,x,CMN轴,与AC相交于N,连接CM,求面积的最大值(
Ex18图1
y l
B
M A D
N
O x
C
Ex18图2
19.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为对角线OB的中点,点E(4,n)在边AB上,反比例函数(k?0)在第一象限内的图象经过点D、E,且tan?BOA=( (1)求边AB的长;
(2)求反比例函数的解析式和n的值;
(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩形折叠,使
点O与点F重合,折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G,求线段OG
的长(
Ex19
220.在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x+x,1)的图象交于点A(1,k)和点B(,1,,k)(
(1)当k=,2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k
应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当?ABQ是以AB为斜边的直
角三角形时,求k的值(
Ex20
21.如图,等边?OAB和等边?AFE的一边都在x轴上,双曲线y,(k,0)经过边OB的中点C和AE的中点D(已知等边?OAB的边长为4(
(1)求该双曲线所表示的函数解析式;
(2)求等边?AEF的边长(
Ex21
22.(2012•乐山)如图,直线y=2x+2与y轴交于A点,与反比例函数(x,0)的图象交于点M,过M作MH?x轴于点H,且tan?AHO=2(
(1)求k的值;
(2)点N(a,1)是反比例函数(x,0)图象上的点,在x轴上是否存在点P,使得PM+PN最小,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由(
Ex22
k 23.(2012甘肃兰州) 如图,定义:若双曲线y,(k,0)与它的其中一条对称轴y,x相交于x
k A、B两点,则线段AB的长度为双曲线y,(k,0)的对x
径(
1 (1)求双曲线y,的对径; x
k (2)若双曲线y,(k,0)的对径是102,求k的值; x
k (3)仿照上述定义,定义双曲线y,(k,0)的对径( x
Ex23
24.如图11,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,正方形OABC的边OA、OC分别在x
ky,轴、y轴上,点B的坐标为(2,2),反比例函数(x,0,k?0)的图像经过线段BCx的中点D.
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动(不与点D重合),过点P作PR?y轴于点R,作PQ?BC所在直线于点Q,记四边形CQPR的面积为S,求S关于x的解析式并写出x的取值范围.
Ex24
25.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合(A,C分别在坐标轴上,
1k点B的坐标为(4,2)(直线交AB,BC分别于点M,N,反比例函数的图像经y,y,,x,3x2
过点M,N.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P在y轴上,且?OPM的面积与四边形BMON的面积
相等,求点P坐表标(
Ex25
kAB=4,双曲线26.如图,已知矩形OABC中,OA=2,(k,0)与矩形两边AB、BC分别y,x
y交于E、F。
(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;
E(2)若将?BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG?OC,BA垂足为G,证明?EGD??DCF,并求k的值。 F xODCG
Ex26
OABC27.如图,矩形的顶点分别在轴和轴上,点的坐标为。双曲线xAC,(2,3)yB
kBC的图像经过的中点,且与交于点,连接。 yx,,(0)DEABDEx
k(1)求的值及点的坐标; E
FBCDEB(2)若点是边上一点,且,求直线的解析式 FFB
Ex27
28.如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,,2)( (1)求反比例函数的解析式;
(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;
(3)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC的形状并证明你的结论(
Ex28
29.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+b(b,0)与坐标轴交于A,B两点,与双曲线y=(x,0)交于D点,过点D作DC?x轴,垂足为G,连接OD(已知?AOB??ACD( (1)如果b=,2,求k的值;
(2)试探究k与b的数量关系,并写出直线OD的解析式(
Ex29
m30.如图13,已知直线y=4,x与反比例函数y= (m>0,x>0)的图象交于A、B两点,与x轴、x
y轴分别相交于C、D两点.
m(1)如果点A的横坐标为1,利用函数图象求关于x的不等式4,x< 的解集; x
(2)是否存在以AB为直径的圆经过点P(1,0),若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
Ex30