变厚度开顶扁球壳大挠度理论的改进多重尺度法

变厚度开顶扁球壳大挠度理论的改进多重尺度法 康盛亮 ( )同济大学 应用数学系 ,上海 200092 摘要 : 综合利用近代分析和多重尺度法 ,讨论了大几何参数的变厚度的开顶扁球壳 ,在内边缘集中线布载荷 、外 边缘均布力矩作用下的非线性屈曲问题 ;求得了扁薄壳几何参数 k 值较大时这一问题的一致有效的渐近解 ; 分 析了集中激励引起的边界层效应和响应问题 . 关键词 : 改进多重尺度法 ; 变厚度扁壳 ; 非线性屈曲 () 文章编号 : 0253 - 374 X200107 - 0849 - 06 中图分类号 : O 302 文献标识码 : A Mo difie d Metho d of Multiple Sc ale s fo r Theo re m of Large Defle ctio n of Trunc at e d Shallo w Sp he ric al Shell of Varia ble Thic kne s s KA N G S hen g - l i a n g ()Depart ment of Applied Mat hematics , To ngji U niversit y ,Shanghai 200092 ,China Ab stra ct : U sing t he mo der n analytics and t he mo dified met ho d of multiple scales , t he no nlinear bending of a t runcated shallow sp herical shell of variable t hickness wit h a large geo met rical under linear dist ributed loads a2 lo ng t he interio r edge and unifo r m mo ment alo ng t he exter nal edge is investigated in t his paper . When t he geo2 met rical parameter of t he cap is larger ,t he unifo r mly valid asymp totic solutio ns of t his p ro blem are o btained , and t he effect of t he bo undary layer wit h a co ncent rated excitatio n is analysed. Ke y wo rd s : mo dified met ho d of multiple scales ; shallow shell of variable t hickness ; no nlinear buckling 随着近代工程科学的发展 ,变厚度扁薄壳非线性稳定问题的研究越来越引人注目. 但由于非均匀厚度 1 2 扁壳的大挠度问题是一个复杂的非线性问题 ,求出其精确解在数学上难度很大. 叶开源,叶志明 用修 正迭代法研究过变厚度圆薄板和壳的非线性弯曲问题 ,在壳体几何参数较小时 ,获得一些有益的结果. 而 对于几何参数 k 值较大的 、近代工程设计中经常使用的 、非均匀厚度的柔韧壳体的稳定性问题的讨论却 很少见 ,作者曾在文献 3 中 ,首先利用改进多重尺度法研究了均布载荷作用下大几何参数的变厚度开顶 扁球壳的屈曲问题. () 本文综合利用近代分析和改进多重尺度法 作者在文献 4 中称之为“近代分析摄动法”,研究当壳体 几何参数 k 值较大时 ,具有硬中心的变厚度开顶扁球壳 ,在内边缘集中线布载荷 、外边缘均布力矩作用下 的非线性稳定问题 ,导出了此边值问题的一致有效广义渐近解 ,它为计算临界载荷提供了较精确可靠的解 析公式 ,并可对集中激励引起的边界层效应和响应问题给出较确切的剖析. 1 基本方程和边界条件 考虑具有硬中心 ,外边缘受均布力矩 M 作用 ,大几何参数 k 的开顶扁球壳 . 收稿日期 :2000 - 10 - 25 ( ) 作者简介 :康盛亮 1937 - ,男 ,福建长汀人 ,教授. ( ) 设壳体厚度为 h r, 中曲面半径为 R , 跨度为 2 a , 内缘半径为 b , 在内边缘集中线布载荷 p 作用下 , 轴 1 ,2对称变厚度圆底扁球壳大挠度理论的基本方程为 2 ν d w d w d 1 d d w d D r d w b δ( )+ pD r + = r -b + - N r 2r d r d r r d r d r d r R d r d r r ( )1 2 2 ( ) d rN 1 d 1 d d w 1 d w 1 d h 2 r r rN ( ν) r r + + = - 1 + rN2r Eh d r r d r d r 2 d r d r R d r Eh 假定球壳外边缘受均布力矩 M 的作用 、而内边缘固定在可上下移动的无变形的硬中心上 ,则 w , N r 满足下列边界条件 2 ν dw d w 3 m = 0 ,N 当 = a 时 , r + = r 2d r r d r ( )2 d N rd w ( ν) 当 = b 时 , 0 , = 0 = r w = 0 , 1 - N +r r d r d r 3 2 3 ( ) ( ν) 式中 : D = Ehr/ 12 1 - ; νm = - M / D ; w 为球壳中曲面挠度 ; N 为径向薄膜内力 ;为泊松比 , r δ( ) δE 为弹性模量 ;x 为 Dirac - 函数. 设壳体的厚度函数为 2 2 r- b( ) β( ) 3 h r= h 1 + 02 a β式中 : h为硬中心处的壳厚 ;为变厚度参数 . 0 为了简化计算 ,引进量纲为 1 的量 2 2 w d z 1 r b 2 ( ν)( ν)ρ α 3 1 - θ λ 1 + = ,= , z,= ,== 2 2 ρ d2 h aa0( )4 2 2 2 2 2 ( ν ) ( ν ) 3 1 - a 3 1 - a a pb 2 ( ν)= N,P = 3 1 - S , k = r 32 R hD h Eh 000 () () 将方程 1及边界条件 2化为量纲为 1 的边值问题 2 θ dd 22 3 2 β(ρ α)ε(θρ) εβ β(ρ α) ρ θλ + 31 + - + -1 + - 2ρ dρd 2 2- 1 εθ ερδ(ρ α)S- S = P- 2 2 ( )5 εd 2 2 εβ(ρ α) θβ(ρ α) θ (ρ)1 + - + 1 + - + +S 2 2 ρd (ρ)d S - 1 2 - 1 2 β(ρ α)βε εβλβ(ρ α) - 1 + - 1 + - S= 0 ρ d 2 2 2( ν)ε3 1 - 式中 : = 2 R h/ a 0 αθ ρ ( λ) ρ 当 = 时 , = 0 , d S / d+ 1 - S = 0 ( )6 3 θρ ( λ)θ ρ 当 = 1 时 , S = 0 , d/ d+ 1 - = m () ε( ) 这样 ,问题就化为在边界条件 6下求解带小参数 > 0 的变系数的非线性微分方程组 5,其自由项 δ含有 Dirac - 函数. δ2 含 函数的非线性摄动问题的求解 () () δ利用文献 4 中提出的“近代分析摄动法来求解这类含” 函数的非线性摄动问题 5和 6. θ dd S ρ () () ρ ,= y ,则问题 5和 6可化为x 令 =ρρ dd θ dd S - 1 - 1 ρ ρ = x , = y ρ ρ dd d x2 2 - 1 - 1 2- 1 2 - 1 - 3 2- 1 - 1 εερβ(ρ)εβ(ρ)θλ ε(ρ) θ (ρ) ερ(ρ) δ(ρ α) ( )= - + 3G x - 3G+GS+ GS +G P- 7 ρ d 1 d y2 - 1 - 1 2 2 2 - 1 2 ερ)θρ)θ εβ(ρ) ( λ) ((εερβ(ρ)y - G - G - G 1 - S= - + G ρ 2 d 第 7 期 康盛亮 :变厚度开顶扁球壳大挠度理论的改进多重尺度法 851 αθ α( λ) ρ 当 = 时 , = 0 , + 1 - S = 0y ( )8 3 ( λ)θ m ρ 当 = 1 时 , S = 0 , x + 1 - = ρ)β(ρ α) (式中 : G = 1 + - .T T θ() () = , S ] , Y = x , y ] , 则式 7、8可化成向量方程组边值问题的形式 若令 X d X ρε)( =P X , Y ,; ρ d( )9 d Y 2 2 ( ρε) εδ(ρ α)εQ X , Y ,;+ R- =ρ d (α) (α) a X + a Y= 0 1 2 ( )10 2 ( ) ε( ) μbX 1+ bY1= 1 2 T - 1 T T 2 3 ( ) ρ( ρε) ε( ) X , Y, 式中 : P = [ P, P] =Y; R = [ P , 0 ] ; Q = [ Q , Q ] , Q X , Y ,;=Q X , Y+ L 1 2 1 2 1 1 1 1 - 1 hk3 2 3 3 1 1 (ρ) ( ) ( ) (ρ)ε( ) ( ) ( ) G XY, h = 1 , 1, k = 0 , 0, Q = - G Q =Q X , Y+ L X , Y, Q X , Y= 2 2 2 1 1 1 2 2 2- 1 - 3 hk2 2 ελβ(ρ) (ρ)( ) ( ) ( ) αβα- 3G , G β= 2 , 0 , k = 0 , 0 , L X , Y= X + Y , =, =XY, h 2 1 1 1 1 1 22 - 1 - 1 2- 1 ε(ρβ(ρ) ) ( ) αβα(ρ) εβ( λ) (ρ)β+ 3G , 0 L X , Y= X+ Y , - G , - 1 - G , = - = 2 2 2 22 0 0 1 0 0 0 0 1 2 - 1 - 1 ε(ρβ(ρ) ) μ , - +G ; a = 0 = ; = ; a = b ; b; 1 2 21- 2 ( λ) α ελ1 - 1 - 0 0 1 0 0 3T 0 , m . ( ) ( ) 设式 9- 10的广义解形如 )( (ρ α) (ρ α)11 X = X+ U H - , Y = Y+ V H - 1 1 1 , x ?0 ( ) 其中 : H x = 为 Heaviside 函数. 0 , x < 0 [ 4 ] ( ) ( ) ( ) δ将式 11代入式 9和 10, 并利用函数的性质, 可得下列两定解问题 : d Yd X 11 2 ( ρε) ε( ρε)= P X, Y,;, = Q X, Y,; 1 1 1 1 ρρ dd( )12 2 (α) (α) ( ) ε( ) μa X+ a Y= 0 , bX1+ bY1= 1 1 2 1 1 1 2 1 和 d U - 1 (α) ρ (ρ) = V , U = 0 ρ d( )13 d V2 ( 1) ( 1) ε( θρε) (α) = K U , V , S ,,;, V = R ρ d( ) ( ) T T T 11(ρ) (ρ) ( θρε)其中 : U = u, u] , V = v , v ] , R = P , 0 ] , K U , V , S ,,; = 1 2 1 2 ( )( ) 2 - 1 2 - 1 121- 1 2 - 1 - 1 ε(ρ) ε(ρ) ( βλ) (εθ) (ρ) ε(ρβ(ρ) G uu+ G S - 3u+ + 1G u- + 3G v 1 2 1 2 1 2 . ε( )2 1 2 2 - 1 2 - 1 - 1 ρ) ( εθ ) εβ( λ) (ρ) ε (ρ βρ) ((- u+ G 2+ 1u- 1 - G u- + G v 1 1 2 22 ( ) 利用文献 [ 5 , 6 ]的方法 , 可求得问题 12的一致有效渐近解为 ( ) ( ) ( ) ( ) 11T 11T θ( ), S ] ,x , y ] = 14 X= Y 1 1 1 1 ρ) ( 2 u ( 1)3- ρ)2ρ)((2 u 2 u 4 2 ρεβ( α) ε其中 : S - 2 2 m [ 1 + 1 - ] exp + 2exp ? = sin - - ε 2εε22 (ρ)(ρ) 3 2 u 2 u (ε) + O , (ρ) (ρ) B co s- A sin εε 22 1 (ρ) 2 u ( )3ρ)ρ)((1 2 u 2u 2 4 θεβ( α) εco s = - 2 2 m [ 1 + 1 - ] exp + 2exp ? - - ε ε2ε22 3 ρ)ρ)(( 2 u 2 u (ε) + O , (ρ) (ρ) B sin+ A co s εε 22 ( )( )1 1 θdd S( )( )1 1 ρ ρ = x , y = , ρρ dd 1 1 1 1 7 3 4 44 8 (ρ) ( λ)ρβ(ρ α) (ρ) = 4 m 1 - [ 1 + - ] , B β(ρ α) ( ) β( α) A= 1 + - ] B t [ 1 + t - ] d t ,? ρ 1 591 3 42 3 - - 1 - 1 3 - ) β( α) ( B t = [ 1 + 1 - ] 4 4 m t β( β( α) + 1 + t - ] + 2 t 3 2 m t + 4 2 5 3 - 1 - 4 (λ )ββ( α) 2 2 m - 1[ 1 + t - ] t . [ 3 ]( ) 下面采用改进多重尺度法求解式 13. 0 0 ααρ ρ u容易求得外部解 = 0 , u = 0 . 显然 , 它不满足 = 处的边值 , 从而在= 近旁出现边界层. 应 1 2 αρ 用“两变量展开”程序在 = 的邻域内构造边界层校正项. αρ在=的邻域内引进两变量 (ρ) u ξ η ρ =, = ε ( ) 可以把式 13变换成 2 2 - 1 2 - 1 (1)()- 1 21 ( εε) ε(η) ε(η) ( (εθ) (η) D+D+Du- Guu- GS βλ) + 1Gu= 0 - 3u- 0 1 21 1 2 2 1 1 2 2 2 2(1) 2- 1 ( εε) ε(η) η) (εθ) εβ(λ) (η) (D+D+Du+ G u- G 2+ 1u +1 - Gu = 0( )15 0 1 22 1 1 2 2 αu| =u| = 0 , u′| = - P/ , u′| = 0 ηα ηα ηα ηα 1 =2 =1 =2 = 9 - 1 - 1 δδηδηηβ(η) δδηβη(η) δδ其中 : D = , D = + [ 2 + G ], D = + [ 2 + G ],= u′ ,= 0 2 , 0 1 2 , 1 1 , 0 2 2 , 2 1 , 1 1 , 0 1 , 1 ξ9 2 2 2 999 9 9 2 δ( ) δδ,= u′,= 2 u′+ u″ ,=. 2 , 2 2 , 0 2 , 1 2 2 ηξη ξ9999 ηξ99 αρ设在=的邻域内边界层校正项的 N 阶近似式为 N N ( )( )0 0 n +1 n +1 ε(ξη) ε(ξη)h ,, U v , ( ) U = = 16 1 n 2n ? ? n = 0 n = 0 αρ其中 : v 和 h 是在= 的邻域内的待求的边界层型函数 . n n ( ) ( ) ε把式 16代入式 15, 并逐次地比较 的同次幂的系数 , 得 - 1 ( )17 (η) D h- G v = 0 0 0 0 - 1 (η) ( )D h- G v + D h= 0 18 0 1 1 1 0 ( ) ( )- 1 - 1 1- 1 1(η) (η)θ(η) ( D h- G v + D h+ D h- G v - G S - 0 2 2 1 1 2 0 0 ( ) - 1 1βλ) (η)θ3h- G v = 0 ( )19 0 0 ? n - 4 - 1 - 1 - 1 ( )1 (η) ( (η) (η)G S D h -G v + D h + D h - G - v h -n - 1 1 n - 2 2 n - 3 0 n - 1 k n - 4 - k ? k = 0 - 1 ( )1 βλ) (η)θ( )3h - G v 20 = 0 , n = 4 , 5 , 6 , ? n - 3 n - 3 ( ) 21η) (D v - G h= 0 0 0 0 ( )η) 22 (D v - G h+ D v = 0 0 1 1 1 0 ( 1) - 1 (η) (η)θβ( λ) (η) D v - G h- 2 G h- 1 - G v + D v + Dv ( ) = 0 23 0 2 2 0 0 1 1 2 0? n - 4 1 ( )1 (η)θ(η) (η) hh - D v -G h + Dv +G h -2 G 0 n - 1 n - 1 2 n - 3 k n - 4 - k n - 3 ? 2 k = 0 - 1 ( )β( λ) (η) 24 1 - G v = 0 , n = 4 , 5 , ? n - 3 9h 0 P | = 0 ,v h | =n = 0 , 1 , ?, N , | = - ηα ηα n =n =ηα =α(α)ξ 9u′ ( )25 9h 9h n 1 n - 1| = -| , n = 1 , 2 , ? ηα ηα ==ξ (α)ηu′ 9 9 9v 9v 9v n0 1 n - 1)( | , n = 1 , 2 , ?| = 0 , | = -26 ηα ηα ηα === (α)ηξ ξ u′ 9 99 第 7 期 康盛亮 :变厚度开顶扁球壳大挠度理论的改进多重尺度法 853 ( ) ( ) 由式 17和式 21可化为 4 9 h02 4η( ) ( ) u′ h = 0 27 - 0 4ξ9 1 - 2 ( ) η在方程 27中 , 若取 u′= , 即取 1 1 2 2η) ηα( ( )u = 2 - 28 则得 4 9h 0( )h= 029 - 0 4ξ9 ( ) 容易求得式 29具有边界层性质的解为 (η) ( ξ)( )h= Cexp - 30 0 0 ( ) ( ) 把式 30代入式 17可得 ( )31 (η) η) ( ξ)(v = CG exp - 0 0 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 将式 30和 31代入式 18和 22, 并由消除 h, v 中的长期项和边界条件 25, 可得 1 1 1 - 1 2 (η) αη) (C= P [G ]0 2 从而 1 - 1 2 α(η) ( ξ) h= P [G ] exp - 0 2 ( )32 1 1 - 1 2 2 α (η) ( ξ) v = PG exp - 0 2 于是 , 关于 h, v 的方程化为 1 1 - 1 (η) D h- G v = 0 0 1 1 η) (D v - G h= 0 0 1 1 容易求得具有边界层性质的解为 (η) ( ξ))( (η) (η) ( ξ)h= Cexp - 33 , v = CG exp - 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 将式 33代入式 19和式 23, 并由消除 h, v 中出现的长期项以及边界条件 25取 n = 1得 2 2 3/ 4 α 1 - 3/ 2 β(η α) (η) β [ 1 + - ] + C= - P1 4 η η - 3/ 2 3/ 2 3 3/ 4 β( α) ( ) ()+t - ]B t d t 34 t 1ηβ(η α) [ 1 + - ]? α 1 1 1 ( ) 3 - 1/ 2 - 1 1- 1 - 1/ 2 - 3/ 2 - 1 2- 1/ 2 - 5/ 2 ( ) α( )θβ( λ) α( ) βα( ) 其中 : B t = PG t t + 1 - PG t t -G t -2 4 2 1 - 1/ 2- 3/ 2 - 1 (α) β( ) β( ) ( ) β( α) P t 2 +t G t = 1 +t - t G [ t G , .8 ( ) ( ) 将式 34代入式 33中 , 得 3/ 4 α 1 - 3/ 2 β h= - Pβ(η α) [ 1 + - ] + 1 η 4 η - 3/ 2 3/ 4 3/ 2 3 ξ- β( α) ( ) t [ 1 + t - ]B t d t e η( β(η α) ) 1 + - ? α()35 3/ 4 α 1 - 3/ 2 β v = - Pβ(η α) [ 1 + - ] + 1 η 4 η - 3/ 2 3/ 4 3/ 2 3 ξ- β( α) ( ) η)(t [ 1 + t - ]B t d t e G η( β(η α) ) 1 + - ? α ( ) ( ) ( ) 将式 32和式 35代入式 16得 3/ 4 ρ)(1 u α 1 - 3/ 2 - 1/ 22 εα(ρ) εββ(ρ α) u= P [G ] exp+ - P [ 1 + - ] + - 1 ερ 2 4 ρ (ρ)- 3/ 2 u 3/ 4 3/ 2 3 3 β( α) ( ) (ε)t [ 1 + t - ]B t d t exp + O - ρ( β(ρ α) ) 1 + - ε? α 3/ 4 (ρ)u 1 α 1 - 3/ 2 2 - 1/ 2 εαβ(ρ α) (ρ) εβ P[ 1 + - ] + + - P - u= G exp2 ερ 2 4 ρ (ρ)- 3/ 2 u 3/ 4 3/ 2 3 3 β( α) ( ) (ρ) (ε)t [ 1 + t - ]B t d t G exp + O - ρ( β(ρ α) ) 1 + - ε? α d u 1ρ v = 1 ρd d u 2ρ v = 2 ρd ( )36 ( ) ( ) 最后 , 得到式 7、8的一致有效广义渐近解为 ρ α) (ρ α)(( )X = X+ U H - , Y = Y+ V H - 37 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 其中 : X, Y由式 14给出 , U , V 由式 36所确定. 1 1 3 结语 δ从本文的结果可以看出 ,不论在点上或线上的集中载荷引起的响应问题 ,只有用 Dirac - 函数方能 δ确切地表现出来 ,而方程中一旦含有 函数 ,就应该在广义函数空间中进行讨论 ,否则就可能会出现奇异 7 () 性 例如 ,在古典意义下的无解性等,王泉 ,王大钧讨论过弹性力学中集中力下的奇异性问题. 本文利 δδδ用 函数作为奇型广函的特性 ,巧妙地把原含 函数的问题转化为两个不含函数的带小参数的非线性 初边值问题 . 然后 ,利用改进多重尺度法 ,求得此类非线性摄动问题的一致有效渐近解 ,最终得到的原问题 () δ的解的表达式 37中含有 Heaviside 函数 ,它不是连续函数 ,其一阶导数是广函空间的 Dirac - 函数 ,故 所求得的是广义解. 它能正确地解释板壳力学中集中载荷引起的响应是客观存在这一事实 ,同时 ,也清楚 地显示出集中激励产生的边界层效应 . 参考文献 : 1 叶开源 ,王新志. 变厚度圆薄板大挠度理论的修正迭代法A . 钱伟长. 国际非线性力学论文集C . 北京 :科学出版社 ,1985 . 398 - 403 . 2 ( ) 叶志明. 变厚度圆底扁球壳的非线性稳定问题J . 力学学报 ,1984 ,16 6:634 - 638 . 3 ( ) 康盛亮. 大几何参数的变厚度开顶扁薄壳的非线性屈曲问题的奇摄动解J . 数学物理学报 ,1998 ,18 2:206 - 216 . 4 ( ) 康盛亮. 带有集中激励的一类非线性边值问题的奇摄动J . 应用数学学报 ,1997 ,20 2:255 - 261 . 5 ( ) 康盛亮 ,陈 琪. 非线性向量边值问题的奇摄动J . 应用数学和力学 ,1988 ,9 9:873 - 880 . 6 ( ) 康盛亮 ,张安江. 无穷区域上非线性向量方程初值问题的解的渐近性质J . 应用数学和力学 ,1987 ,8 8:669 - 688 . 7 ( ) 王 泉 ,王大钧. 弹性力学中集中力下的奇异性问题J . 应用数学和力学 ,1993 ,14 8:673 - 677 .