ax+1=-x2+2x+2a（a＞0且a≠1）根的探究 - 温州中学

ax+1=-x2+2x+2a（a＞0且a≠1）根的探究 - 温州中学 探究方程的根所引发的教学思考 浙江省温州中学 徐兆丰 由于用一般的代数方法不能解决超越方程的求解问题，因此在高中阶段，仅局限于讨论超越方程解的个数。但是讨论超越方程解的个数并不是教学的真正目的，其真正目标应该是:通过寻找解决这一问题的方法，加深理解函数与其图像之间的本质联系，逐步渗透数形结合思想，培养学生的探究意识。数学软件“几何画板”能够为我们实现上述教学目标给予有力的支持 下面是探究方程的根的一例: x2提出问题:求关于x的方程a+1=-x+2x+2a,a,0且a?1,的实数解的个数。 学生忙乎了5分钟:“老师～解不出来。” 老师:“同学们～我们称这种方程为超越方程～用一般的代数方法是解不了的。目前我们仅了解它的实数解的个数就行了。请大家继续。” 学生继续忙乎～大部分还是不得要领。 学生1:“画图看一下。” 老师:“看什么,” 学生1:“看曲线的交点个数。” 老师:“画什么图呢,” x2学生1:“画函数y=a+1和y=-x+2x+2a的图像。” 1 老师:“好的～试试看。” 学生在练习本上画的过程中发现～由于参数a的变化～两条曲线具有不确定性～很难 把握问题的特征。 教师设法使学生明了:除了学生感到的难点之外～由于所选择的函数都含有参数～两 条曲线都在变化～也是难点之一。故要适当选择曲线。 x2对方程a+1=-x+2x+2a变形: x2a—2a=-x+2x—1～ x2a—2a=—,x—1,～ x2令y=a—2a～y=—,x—1,。 12 这样就发现函数y的图像是确定的～y的图像随着参数a的变化而变化。 21 用几何画板作图～拖动页面《变形》中的点“拖动”～变化参数a的值～观察交点的个数。 学生2:“可以发现有两个交点～说明方程有二个根。” 老师:“一定有二个根吗,当a?0时～请观察。” 学生4:“好像只有一个～但是a?0～所以很可能就有二个交点。” 老师:“从图象的变化过程～我们猜测方程可能有二个根～ 2 那么去呢,” 教师启发:“怎样才能使二条曲线有二交点,” 学生5:“哦～曲线1上至少有一点在曲线2的内部。” 老师:“对～怎么找这一点,” 经过讨论～学生找出曲线2的对称轴与曲线1的交点P,1～-a,～要证明点P在曲线1的内部很容易～只要-a,0即可～显然成立。 x2改变问题:求关于x的方程a+1=-x+2x+a,a,0且a?1, 的实数解的个数。 x2整理方程得:a—a=—,x—1,～由观察可以得到一个根为 x=1～但是是否还有其他根呢, 同样用几何画板探究:拖动页面《变式》中的点“拖动”发现a?1.5的时候二根的情形比较明显～a,1.5时候就看不大清楚了。 利用几何画板的#格#功能～观察数据变化～再根据函数图像的凹凸性质判断～也可以发现0,a,1.5且a?1时～仍然有二个根。 老师:“怎么从理论上来证明呢,” 老师:“我们能不能用代数的方法～譬如解方程来证明,” 由于高一学生知识所限～所以无从下手。老师可以向学生介绍一种解法: x2x设y=a—a～y=—,x—1,～可知y=a—a过点A,1～0,～B,0～1-a,～则直线AB121 3 22的方程为y=,a-1,x+1-a～与y联立得x+,a-3,x+2-a=0～?=,a-2,,0恒成立,所2 2以有两个交点A,1～0,、C,2-a～-,a-1,,, 当a=2时～B、C重合～即方程有二个根x=1和x=0, 当1,a,2时～0,2-a,1～即点C在A、B之间～ 而C,A之间指数函数在直线AB下方,二次函数在直线 上方,所以恒有两解, 老师:“同学们课后解决0,a,1和a,2时的情 形。” 提示:利用导数知识,高三,也可以解决这一问题。 教学反思:通过探究、交流、论证等过程，学生对函数本质的理解能力、对数学思想的把握能力、对数学学习方式的转变层次，都可以得到不同程度的提高。 数学实质上是人们常识的系统化。教师不必将各种规则、方法灌输给学生，要重视学生的亲身体验，用学生自己的思维方式，来认识数学知识。 信息技术可以为学生创造出图文并茂、丰富多彩、人机交互、及时反馈的学习环境，在这样的环境中，学生可以利用信息技术模拟现实情境，进行数学探究、交流等，这在传统的数学学习中是较难实现的，也是数学学习方式转变的具体体现。 4 5 6