利率、外汇价格屈服疏散-腾踊过程的零息债券评价模型[精品]

利率、外汇价格屈服疏散-腾踊过程的零息债券评价模型[精品] 利率、外汇价格服从扩散-跳跃过程的零息债券评价模型利率、外匯價格服從擴散-跳躍過程的零息債券評價模型 徐保鵬1 1元培科技大學 財務金融系 摘要 近年來不論是利率市場或者是外匯市場的商品價格皆發生價格跳躍現象，有鑑於此，不少文獻提出擴散-跳躍過程修正評價模型。由於過去的文獻假設價格過程為連續，換言之，無法精確捕捉當價格大幅向上或是向下跳躍時的情況，而擴散-跳躍過程，假設價格過程包括連續及不連續點，除了更加符合實證資料之外，理論上也更具一般化。本文建構在一個跨國經濟體系之下，本國、外國的利率及兩國之間的匯率皆為levy過程的模型，假設利率期限結構分別為HJM模型，應用平賭測度轉換，推導出國外零息債券(ZCB)的價格。本文的貢獻如下:推導出排除外匯風險的債券價格，適用於跨國發行者及投資者(如台灣);得到風險中立下的債券過程，可應用於其他債券型衍生性商品，如可贖回型債券、路徑相依型債券。 關鍵詞: 擴散-跳躍過程、HJM模型、levy過程 元培科技大學 財金系 專任講師 徐保鵬 電話 03-5381183-8624 壹、前言 自從Das (2002)證實利率過程有跳躍現象以來，大量的文獻開始設定利率隨機過程符合擴散-跳躍過程，擴散-跳躍過程最初是由Metorn (1976)所提出，利用假設資產價格符合Compound Possion來修正價格過程中可能會出現的不連續點，由於價格過程同時包括連續及不連續點，擴散-跳躍過程較布朗運動(BM)更加一般化。Hardouvelis (1988)， Dwyer 和 Hafer (1989) ，Naik 和 Lee (1990)，Heston (1995) 及 Das (1995)等驗證加入跳躍考量的過程的確相較傳統的BM連續過程對於描述短期利率更為精確，Bj?rk, et al. (1997)，Glasserman 和 kou (2003) 及Shirakawa (1991)等論文假設利率服從擴散-跳躍過程，重新評價及分析。而這種隨機過程中包含不連續點性質可用marked point process來刻畫(見Cont 和 Tankov(2004))，levy process是Paul Levy在1934所提出的一種marked point process，因為levy process只要找到相對應的特徵triplet，即可被決定，運算上相當便利，並且涵蓋lognormal jump 擴散、variance gamma等許多跳躍過程，相當ㄧ般化，因此目前大量研究皆採用levy process，利用levy過程重新評價商品的文獻有Eberlein 和 Kluge (2006)，Eberlein 和 Raible (1999)。利率期限結構計有單因子模型、雙因子模型、HJM模型等，每一個模型都有其優缺點(見Strickland (1996))，在Brace, et al. (1997)中提出由LIBOR所構成的隨機過程，稱為BGM模型，不但評價標的物是LIBOR等相關衍生性商品準確度高，且封閉解可以對應Black和Scholes公式，不過如果在加上利率為擴散-跳躍的假設之後，運算上更為複雜，且評價不易找到封閉解，計算效率又比較差(見(Takahashi (2006))，另外Eberlein 和 Ozkan (2005)假設遠期利率為levy過程，找出如何從HJM模型出發，轉換成BGM模型條件，建構出BGM模型，因此本文選定HJM做比較基礎點。 Jiang (1998)，Johnson 和 SchneeWeis (1994)，Jorion (1989)等利用實證資料發現除了利率之外，匯率也具有跳躍的現象，由於目前的衍生性商品相當全球化，匯率風險相對重要，尤其是台灣等非債 券發行之大國，許多債券型基金，皆以美金或者歐元計價，加上匯率波動性又高，排除匯率風險的商品激增，也就是投資人不論投資何種商品收益皆以本國貨幣計價。Reiner (1992)在假設匯率過程為BM的情況之下，算初期出隱含匯率風險的商品價格，換言之，商品在定價時已經排除匯率風險，如同上述levy優於BM的原因，Koval (2005)、Huang 和 Hung (2005)等評價時都改採用levy過程。這一類的商品由於台灣在95年開放承做連結台灣股票市場外幣衍生性金融商品的關係，評價的相關文獻也逐漸增加(見黃玉娟和吳錦文(2007))，不過匯率過程多延續BM，國內有關利率的近期文獻也開始採用跳躍模型，如黃博怡、邱哲修和林卓民(2005)，不過在債券或者是利率商品仍舊相當缺乏。 本文的貢獻如下:推導出排除匯率風險的債券價格封閉解，便於跨國發行者如台灣等發行債券型商品及風險控管，再推導的過程中得到風險中立測度下參數的轉換及設定，提供利率過程的蒙地卡羅模擬，由於利率衍生性商品可能為美式或者是可贖回等，蒙地卡羅方法對於這一類型的商品評價，操作較為簡易且運用層面廣，藉此後續相關研究的參考。 貳、模型設定 假設存在一個於時段可連續交易的經濟體，且經濟體系中不確定性可以用機率空間來描述，其中為樣本空間，為-algebra，為原始機率測度，令為所產生的filtration。相對應維度的 Levy過程，描述如下: . (1) 其中為空間下的測度函數，使得當時且當時為可積分，、為中向量，為一個對稱且凖正定矩陣，使得且，代表Euclidean vector norm而可為任一矩陣的norm。公式(1)是Levy過程所對應的特徵函數，我們利用特徵函數來表述Levy過程是因為特徵函數與Levy過程是一對一關係，換言之定義的特徵函數，相當於定義。而滿足公式(1)的也可以用積分表之: (2) 其中是維度的布朗運動，測度跳躍幅度，是受補償函數，是的長度開根號。定義特徵函數，而可表為特徵函數的指數函數形式，如下: . (3) 也就是透過公式(2)可得 (4) 根據Huang和 Hung的論文得知，如果可以用適當的 函數表示為, 則the Levy-Khintchine formula可以改寫為 . (5) 接著利用(2)所定義的Levy過程建構一個跨國經濟體，右上標為d表示國內，右上標為f表示國外，符號定義如下: 表現在時間為，時間瞬間借/貸的國內遠期利率， 到期日為時支付1元的國內零息債券(ZCB) 時間時國內瞬間無風險利率， 同理，國外的瞬間遠期利率、瞬間短期利率、國外ZCB，分別為、、，假設在機率測度之下，國內外瞬間遠期利率的動態行為遵循下列隨機過程: , (6) . (7) 其中 與 皆為有界且在為一給定的數值;同時、 及 、 前者為空間中被給定之函數，後者為空間中被給定之函數，而定義域為。根據國內外債券與瞬間遠期利率滿足的關係，在機率測度之下ZCB過程可表為 , 其中 and ，至於匯率過程假設為以下形式: 以下我們先將所有隨機過程由原始機率測度轉換至國內風險中立測度，換言之我們必須推導出滿足轉換至測度的漂移項。 定理一:當、、分別滿足下列公式(8)、(9)、(10)，可使得經濟體系 內在原始機率測度之下的所有資產過程轉換至國內風險中立測度之下資產過程 . (8) . (9) . (10) 證明: 定義，不論國內外債券與瞬間遠期利率滿足的關係且短期利率與瞬間遠期利率具有關係。設，則當的漂移項為零時，即為轉換至國內風險中立測度的條件，而此時(8)要被滿足，同理可得匯率及國外債券價格必須滿足的條件分別為(9)、(10)。更詳細的証明見附錄。 故此在國內風險中立測度之下的國內ZCB可以表成 在測度之下的匯率過程可表為 在測度之下的國外ZCB表為 (11) 引理一:假設則相對應的短期利率過程為，其中表示對函數的第二個變數偏微分，也就是。 證明: 因為遠期利率與債券價格具有關係，將(11)先取ln然後再取，又因為短期利率與遠期利率滿足，將T設為t代入即可得之證明。 定理二:假設國內外遠期利率過程皆符合HJM模型，並且假設，其中是嚴格遞增函數，則時國外ZCB價格可以表為，其中 (12) (13) 證明: 根據(11)可推論 並且可將(11)寫為 (14) 又 令，並且計算，可得 帶回(14)，可得 設 故可得証。 伍、結論 由於目前金融市場價格變化過大，傳統的BGM無法解決這種峰態偏誤，為此近年來文獻研究轉向levy過程，在本文中利率及匯率皆採用levy過程，並且考慮不同利率模型的選取，先推導出HJM模型的國內風險中立測度轉換，進一步得到零息債券價格的過程及封閉解，由於債券或者利率結構型商品相當全球化，可以預見未來台灣券商發行跨國債券結構型商品可能性大增，排除匯率風險的需求也會相對應增加，或許在未來的研究上，可以將本文的結論近一步應用在可以提前贖回債券或者利率商品上。 參考文獻 1. 黃玉娟和吳錦文，2007，「外幣計價之台灣連動保本型票券訂價」，臺灣金融財務季刊，第8卷3期，1-21。 2. 黃博怡、邱哲修和林卓民，2005，「短期利率之動態條件變異與預 測績效之探討」，金融風險管理季刊，第二期，17-32頁。 3. Bj?rk, T., Kabanov, Y., and Runggaldier, W. 1997. "Bond Market Structure in the Presence of Marked Point Processes," Mathematical Finance, 7,211-223. 4. Brace, A., Gatarek, D. and Musiela, M., 1997, "The Market Model of Interest Rate Dynamics," Mathematical Finance 7, 127-147. 5. Cont, R., and Tankov, P. 2004. "Financial Modelling with Jump Processes,"CRC Press. 6. Das, S. R. 1995. "Jump-Diffusion Processes and the Bond Markets," Working paper, Santa Clara University. 7. Das, S. R. 2002. "The Surprise Element: Jumps in Interest Rates," Journal of Econometrics, 106, 27-65. 8. Dwyer,G. P., and Hafer, R. W. 1989. "Interest Rates and Economic Announcements," Technical report, Federal Reserve Bank of St. Louis. 9. Eberlein, E., and Kluge, W. 2006. "Valuation of Floating Range Notes in Levy Term-Structure Models," Mathematical Finance, 16, 237-54. 10. Eberlein, E. and Raible, S., 1999, "Term Structure Models Driven by General Levy Processes," Mathematical Finance 9, 31-53. 11. Eberlein, E., and Ozkan, F. 2005. "The Levy Libor model," Finance and Stochastic, 9, 372-348. 12. Glasserman, P., and Kou S. G. 2003. "The Term Structure of Simple Forward Rates with Jump Risk," Mathematical Finance 13, 383-410. 13. Hardouvelis, G. A. 1988. "Economic News, Exchange Rates and Interest Rates,"Journal of International Money and Finance 7, 23-35. 14. Heston, S. L. 1995. "A Model of Discontinuous Interest Rate Behaviour, Yield Curves and Volatility," Working Paper, University of Maryland. 15. Huang, S.C., and Hung, M. W. 2005. "Pricing Foreign Equity Options under Levy Processes,"The Journal of Futures Markets 25 , 917-944. 16. Jiang, G. J., 1999, "Jump-Diffusion Model of Exchange Rate Dynamics Estimation Via Indirect Inference," Issues in Computational Economics and Finance. edited by S. Holly and S. Greenblatt, Amsterdam: Elsevier. 17. Jorion, P., 1988, "On Jump Processes in the Foreign Exchange and Stock Markets," Review of Financial Studies 1, 427-445. 18. Johnson, G. and Schneeweis, T., 1994, "Jump-Diffusion Processes in the Foreign Exchange Markets and the Release of Macroeconomic News," Computational Economics 7, 309-329. 19. Koval, N. 2005. "Time-inhomogeneous Lévy Processes in Cross-Currency Market Models," Dissertation. Universit?t Freiburg 20. Merton, R. C. 1976. "Option Pricing when Underlying Stock Returns are Discontinuous," Journal of Financial Economics 3, 125-144. 21. Naik, V., and Lee, M. 1990. "General Equilibrium Pricing of Options on the Market Portfolio with Discontinuous Returns," Review of Financial Studies 3, 493-521. 22. Park, K., Kim, M. and Kim, S., 2006, "On Monte Carlo Simulation for the HJM Model Based on Jump," Lecture Notes in Computer Science, 38-45. 23. Raible, S. 2000. "Lévy Processes in Finance: Theory, Numerics, and Empirical Facts," dissertation, Universit?t Freiburg. 24. Reiner, E. 1992. "Quanto Mechanics," Risk 5, 59-63. 25. Shirakawa, H. 1991. "Interest Rate Option Pricing with Poisson-Gaussian Forward Rate Curve Processes," Mathematical Finance 1 , 77-94. 26. Strickland, C., 1996, "A Comparison of Models of the Term Structure," Journal of European Finance 2, 261-287. 27. Takahashi, A., Takehara, K. and Yamazaki, A., 2006, "Pricing Currency Options with a Market Model of Interest Rates under Jump-Diffusion Stochastic," CIRJE Discussion Papers. 28. Vasicek, O. 1977. "An Equilibrium Characterization of the Term Structure," Journal of financial Economics, 5, 177-188. 29. Zhang, B. 2006. "A New Levy Based Short Rate Model for the Fixed Income Market and Its Estimation with Particle Filter," Dissertation, University of Maryland. 附錄 A: 假設 及在國內風險中立測度之下，與的漂移項要為零且的漂移 項要為。 首先我們證明將從測度轉換為測度，所必需滿足的條件，根據本 文的假設Levy過程可以表為(A1) . (A1) 將(A1) 帶入，可改寫為 . (A2) 將(A2) 及 帶入，可得 . (A3) 設，將(A3)以微分的方式表示如下 . 測度之下，當滿足下式，則的漂移項為零 . (A4) 接著，求出將從轉移至，其漂移項所必需滿足的條件，假設 且 . (A5) 將 (A5) 帶入 , 可重新寫成 . (A6) 設 . 則(A6)的微分形式可以表為下式 . 測度之下，當滿足下式，則的漂移項為 . (A7) 最後求出將從轉移至，其漂移項所必需滿足的條件，假設 . (A8) 將 (A8) 帶入,可得 . . 測度之下，當滿足下式，則的漂移項為零 . (A9) 將 (A7) 帶入 (A9),可得 . (A10)