一类具有非线性死亡率的时滞Nicholson飞蝇方程的持久性

一类具有非线性死亡率的时滞Nicholson飞蝇方程的持久性 黄祖达 ( ,415000)湖南文理学院 数学与计算科学学院湖南 常德 Nicholson , ,: 摘要研究了一类具有非线性死亡率的广义时滞 飞蝇方程在容许初值的条件下利用解的 ,,,延拓定理首先证明了该方程的所有解是正的并且是整体存在的然后利用微分不等式的技巧证明了该方 ,, 程所有解具有正的上下确界获得了该方程所有解具有持久性的充分条件由于所考虑的模型比同类文献 ,,,中的模型更加广泛从而改进和推广了已有文献中的相关结果并给出了一个具体的例子 : ; ; Nicholson 关键词变时滞持久性飞蝇方程 : A,839 5( 2012) 01 ,008 6 , 04: : 1001 中图分类号 文章编号 文献标志码 O175, 12 doi: 10, 3969 / j, issn, 1001 ) 8395, 2012, 01, 019 a,b ,0 ,其中常数 1预备知识 ,,6,针对上述问文 献研究了具有非线性密 ,1, ,2, icholsonurney NGA, J, S, 和 等提 出 Nicholson 度制约死亡率的 飞蝇方程 W, 了下面的时滞微分方程模型 a( t) x( t) ) ax( t ) ) +x'( t) = ) τ) x( t) + Px( t ) e, = ) x'( t) ( 1) δτ b( t) + x( t)) t) x( t ) ( t) ) ( γτ,x( t) t ,P 其中示种群在时刻 的数量表示生物卵 ) e, ( t) x( t ( t) ) τβ( 3) ,1 / a , 子的日生产率是种群以最大速率生产的规模( 3) 给出了式 在 容 许 初值条件下解持久的充分条 , ,δ 表示成年生物的日死亡率τ 表示孵化时间, 件进一步考虑如下具有非线性密度制约死亡率和 Nicholson 飞蝇方 程 作 为 一类描述生物系统的 Nicholson 多时滞的 飞蝇方程 ,, 微分方程近年来吸引了大量的注 意 力特 别 是 关 a ( t) x( t) = ) +x'( t) b( t) + x( t) 、、于模型正解的 存 在 性持 久 性振 荡 性 和 稳 定 性 等 m,,3 , 7,, 问题得到了广 泛 的 研 究见 参 考 文 献近 年 ) ( t) x( t ) γj) e( t) x( t ( t) ) ( 4) β τ jj?j = 1 ,L, Berezansky ,8,来等在文 献中指出种群动态系 ( t) ) τj,,b( t) ,( t) ( t) ,a( t) 其中 β和 γ均为正的有界连续 j j ,统的新研究表明具有密度制约死亡率的线性模型 ,( t) 0 =1 ,2,…,m,,j 函数τ?是有界连续函数 j ,对于低密度种群而言是比较精确的海洋生态学家 r = max sup( t) ,C =C ( ,,r ,0,,R)以下均设 τ j 1jn t???正构建具有非线性密度制约死亡率的新渔业模R , ,型但是很少有研究者关注具有非线性密度制约死 ,?是带最 大 模 范 数 ‖ ‖ 的连续函数空间并 且 设 Nicholson , ,L, Berezansky 亡 率的 飞蝇方程因此等C =C ( ,,r ,0,,R ) , , r + t,) x( t) ,如果 在σ有 + + 0 = ,t,,x( )RC,,x定义且连续σ?则定义 ?其中θ0 t t ,8,: 在 文献中提出了一个公开问题具有 非 线 性 密 x( t + ) ,,r ,0,,θ对所有的 θ? Nicholson 度 制约死亡率的 飞蝇方程有怎样的动力( 3) ,考虑到模型的实际生物意义只 有 正 解 是 ?学 行为呢 ) x( t ) ) , , τ有意义的和可容许的这样仅考虑可容许初始条件+ Px( t ) e, ( 2) ) x'( t) = )D ( x( t) ) τ ,0 , x= , C , ( 5) υυ ? t+ 0 ,D( x) 这里非线性密度制约死亡函 数 可 能 是 以 下 ( 0)υ 定义连续映射 ax,x = 1 : D( x)D( x)= a , be , 两种形式之一 或者 f: R × C ?R, b +x + b t+ 0 υ x( M( t) ) = max t) rst?? 0 mx( s) , ) ( t) ( ) ( t) )γυτ jj0, x'( M( t) ) ( t) ( ) ( t) ) , 从而 ?于βυτ?j j j = 1 是 a( M( t) ) x( M( t) ) e f Lipschitz ,C = ) +则当 υ?时 是局部 的这就保证了满0 ? + b( M( t) ) + x( M( t) )x'( M( t) )( 5) ( 4) ,足可容许初始条件的模型解的存在唯一性 x( t,) ( x( t; t,) ) 以下记 υυ为满足可容许初 m ( M( t) ) x( M( t) ) ×βτt 0 0 ?j j j = 1 ( 5) ( 4) , ,,t, 始条件 的 模 型 的 可 容 许 解同 时令( M( t) ) )0 exp( ) ) ( M( t) ) x( M( t) γ τ jj( ) ) x( t,) ,ηυ是解 υ的最大存在区间 t 0 ( M( t) ) ) ) , 因此 a( M( t) ) x( M( t) ) 2持久性 ? b( M( t) ) + x( M( t) ) m2, 1 引理 设 ( M( t) ) x( M( t) ) ×βτ?j j a( t) e j = 1 ( M( t) ) )inf,1 , m tR?( t) β exp( ) ) ( M( t) ) x( M( t) ( 9) γ τ j jj? ( M( t) ) ) ) , ( t)γ j = 1 j a( t) ,b( t) ,( t) ( t) 根据函数 β和 γ的连续性和有界 +? t,t,( ) ) ,x( t,) C ,ηυ解 υ解那么对所有的 ?? 0 t 0 + ,{ T } 性可以选取子列 使得 n n = 1 = + { x( t,) : t ,t,( ) ) } ,集υ?η υ有 界则 η t 0 0 lim T = ( ) ,= + ,lim x( M( T) ) ηυ? nn n?+ ? n?+ ? ( )υ,0 , tt,x( t; t,),, ? 而且对 ?υ 0 0 * * lim a( M( T) ) = alim b( M( T) ) = b ,, n n n?+ ? n?+ ? C ,,9,5, 2, 1证明 由 υ?利用文献中的定理+ * lim ( M( T) ) = , ββ j n jx( t,) C ,t,t,( ) ) , x( t)有 υ?对所有的 ?ηυ设 t 0 + 0 n?+ ? * , =x ( t; t,) ,( 3) tR,x0,lim ( M( T) ) = υ由方程及对所有的 ??( 10) γγ 0 j n jn?+ ? a( t) x a( t) x都 1 , γ( t) u ,有的事实得到 ? ( 9) sup ue = 由于式和有 b( t) +x u?0( t) e γ a( t) x( t) b( t) a( M( T ) ) x( M( T ) ) +x'( t) = ) nn?b( t) + x( t) b( M( T) ) + x( M( T) ) n n ma( t) ) ( t) x( t ) ( t) )γτ jj m ( t) x( t ) ( t) ) ) +βτ? ?j j b( t) ( M( T) ) x( M( T) ) ×βτ?j n n j ej = 1 x( t) ( M( T) ) ) n j = 1 ) ( t) x( t ) ( t) )γτ jj ( t) x( t ) ( t) ) ,exp( ) T) ) x( M( T) ) ( M( T) ) ) ) ( M( βτ( 6) γτ?m j j n n j n j = 1 m? e 1 t) = 0) ,0,( 6) tx( ( t 由于 υ对式从 到 进行积分有 0 0 ,β( 11) ?j ( M( T) ) eγ j = 1 t 0j n a( u) ( M( T) ) exp( ) +? du) x( t )n x( t) 0 n? + ,( 10) ( 11) 令 ? 和式表明 b( u) 0 m t 0 1 * a( u) ?a? , ?j exp( ) * ×du)e γ j = 1 jb( u) 0 *β m t s0即 a( v) ? ×dv) s) x( s ) ( β τ * ?jj? a e b( v)a( t) e t 0 j = 1 0 inf? ? mm*tR? ( t) β β exp( jjexp( ) ( s) x( s ) ( s) ) ) ( s) )γτ,0 , ( 7) j j 1,? ?? γ dsγ= 1 j j = 1 jj* t,t,( ) ) ,, 1 2对所有 ?ηυ成立与引理 条件 0 t,t,r ,( ) ) , 任取 ηυ定义a( t) e ? 0 = ax{ : t,mM( t) ξξ ? = max ,1 inf mt) rst?? 0 tR? ( t) β x( s) } , j x( )ξ ?x ( t) ,t,, ,( ) ) 下面证明 在η υ上有界相反地注意 0 γ j = 1 jt?( ) ,M( t) ?( ) 到当 ηυ时ηυ有, x ( t ) ,t ,( , ) ) 矛盾这 表 明 在η υ 上 有 界由 文 献 0 +? a( t) e t} { 现在选取子列使得 n =1 n inf,1 , mtR?( t) β j= + ,lim x( m( t) ) = 0,li tm ? n n? n?+ ? n?+ ? ( t)γ j = 1 j li a( m( t) ) = a, li b( m( t) ) = b,mm n * n * mn?+ ? n?+ ? b( t)( t) β jinf,1 , ( 12) ? lim = , β ( m( t ) ) β* j njtR ?a( t) j = 1n?+ ? ,= lim ( m( t) )( 20) γ( 3) ,k K,γ* 则系统是持久的即存在两个正的常数 和 jj n n?+ ? 使得( 18) 根据式有 mk lim infx( t) lim ( 13) ? ? ? a( m( t) ) n t?+ ? t?+ ? ? × ( m( t ) ) ?jnKsupx( t) b( m( t) ) j = 1 n , 成立β x( m( t)) ( m( t) ) )× τ n j n 2, 1,{ x( t,t ,t,) : 证明 由 引 理 解 集 υ ? t 0 0 exp( ) ( m( t) ) x( m( t) ) ( m( t) ) ) ) / x( m( t) ) γτj n n j n n + ) } ,K ? 是有界的则存在正的常数 使得 ? 0 ,x ( t) ? ( 14) ( m( t) ) x( m( t) ) ×βτ ?mj n n j j = 1 K, t ,t ,对所有 成立即有 0 ( m( t) ) )n exp( ) ( m( t) ) x( m( t) ) ( m( t) ) ) ) γτj n n j n lim supx( t)( 15) ? t?+ ? / =t)) ( m( t) ) )x( m( τ n j n K, mk 下面证明存在正的常数 使得 ( m( t) ) exp( ) βγ×?j n j lim infx( t) ( 16) ? t?+ ? ( m( t) )k, n x( m( t)) ( m( t) ) ) ) ,( 21) τ =0 , ,liminfx( t) 假设上式不成立则有n j n j = 1 t? + ? n? + ,( 21) ,( 19) 令 ? 式表明 tt,对任意 ?定义 0 m bβ* j*ax{ : t,= mm( t) = min x( s) } , ξξ ? ? ?tst?? 0 a * j = 1 jx( )ξ 1, t? + + m( t) ? ,注意到当 ?有 ? 因此 , ,( 16) , 2, 2 ,( 12) 因此式成立定理 证完 与式矛盾 lim x( m( t) ) = 0,( 17) t?+ ? 3应用举例 然而 x( m( t) ) = min x( s) ,3, 1例 考虑下面具有非线性死亡率的 t?s?t0 Nicholson 飞蝇方程 0, ( 14) x'( m( t) ) 所以 ?根据式有 a( m( t) ) x( m( t) ) ( 3 + | s in 2t |) x( t)槡 = ) +0 ? x'( t) = ) + t b( m( t) ) + x( m( t) ) ( 5 + ) + x( t) x'( m( t) )2 t+ 1 m ( m( t) ) x( m( t) ) ×βτ2 | arctan t| ?j j ( 1 + cost) x( t )2 e) × j = 1 | arctan t| ( m( t) ) ) exp( )( 1 + | a rctan t |) x( t )2 e ) ) + exp( ) ( m( t) ) x( m( t) ) ( m( t) ) ) ) γτj j 2 | arctan 2t| ( 1 + cos 2t) x( t )2 e ) × a( m( t) ) x( m( t) ) ? ) +|a rctan 2t| b( m( t) ) ) exp( )( 1 +| arctan 2t |) x( t )2 e) ) ,( 22 ) π /2 mr =2 e 从而 且 ×( m( t) ) ) ( m( t) ) )βτ ?j 2 j ( t) β j = 1 j sup = ?x( m( t) t?R exp( ) ( m( t) ) ) ( m( t) ) ) ) ,a( t) ( t)γτγ j = 1 jj j 2 x( m( t) 1 + cos t 于是 sup( +t?R + | s in 2 t | ) ( 1 + | a rctan t |) ( 3 a( m( t) ) x( m( t) ) 槡 ? 2 b( m( t) ) ) 1 + cos2t) ,e , m( 3 + | sin 2t |) ( 1 + |arctan 2t |) 槡 ( m( t) ) ×) ( m( t) ) )βτ ?j j t j = 1 5 + 2 x( m( t)2 ( t) b( t) β exp( ) ( m( t) ) x( m( t) ) γτ( 18) t + 1 j j j inf = inf ×( m( t) ) ) ) , ,3 ,8 ,11 ,1 5,icholsons 2, 2 N’且文献及其引用的参考文献中的结 这说明 飞蝇方程满足定理 的 所有 ,,2,2 ,( 22) ,, ,,6,( 22) 条件因此由定理 模型是持久的 另 外文 献 果都无法说明 模 型 的 持 久 性 3, 1 Nicholsons ,’注 本 文 关 于 飞 蝇 方 程 的结果显然可以归结为本文结果的特殊情形这说 ,,6,2, 1 明本文的结果是创新的并且包含了前面已有的结果 持 久 性的证明是通过深化文献中定理 的证 ,明方 法而获得的目前尚未见考虑具有非线性死亡 率和 参考文献 ,1, Nicholson A J, An outline of the dynamics of animal populations,J,, Aust J Zool,1954,2: 9 , 65, ,2, urney S,lythe S ,isbet , icholsons bloflies,J,, ature,1980,287 17 , 21,GW BPNR MNwN:’ ,3, Kocic V L,Ladas G, Oscillation and global attractivity in the discrete model of Nicholson’s blowflies,J,, Appl Anal,1990,38: 21 ,31, ,4,Lenbury Y,Giang D V, Nonlinear delay differential equations involving population growth,J,, Math Comput Model,2004,40: 583 ,590,,5, Liu B, lobal stability of a class of icholsons blowflies odel with patch structure and ultiple tie , varying delays,J,, on- linear GNmmmN’ Anal: Real World Applications,2010,11( 4) : 2557 , 2562, ,6, Liu B, Permanence for a delayed Nicholson’s blowflies model with a nonlinear density , dependent mortality term,J,, Annales Polonici Mathematici,2011,101: 123 , 129, ,7, Liz E,Rst G, Dichotomy results for delay differential equations with negative Schwarzian derivative,J,, Nonlinear Anal: Real World Applications,2010,11( 3) : 1422 , 1430, ,8, Berezansky L,Braverman E,Idels L, Nicholson’s blowflies differential equations revisited: main results and open problems ,J,,A ppl Math Modelling,2010,34: 1405 , 1417, ,9, Smith H L, Monotone Dynamical Systems,M,, Providence RI: Math Surveys Monogr,1995, ,10, Hale J K,Verduyn Lunel S M, Introduction to Functional Differential Equations,M,, New York: Springer , Verlag,1993,,11, Liu B,Gong S, Permanence for Nicholson , type delay systems with nonlinear density , dependent mor , tality terms,J,, Non- linear Analysis: Real World Applications,2011,12( 4) : 1931 , 1937, ,12, Liu B, Global stability of a class of non , autonomous delay differential systems,J,, Proc Am Math Soc,2010,138: 975 , 985,,13, Zhou H,Wang W,Zhang H, Convergence for a class of non , autonomous Nicholson’s blowflies model with time , varying coef- ficients and delays,J,, onlinear nalysis: eal orld pplications,2010,11( 5) : 3431 , 3436, NARWA ,14, ang , Exponential convergence for a class of icholsons blowflies odel with ultiple tie , varying delays,J,, onlinearYMNmmmN’ Analysis: Real World Applications,2011,26( 12) : 2245 , 2251, ,15, Wang W,Wang L,Chen W, Existence and exponential stability of positive almost periodic solution for Nicholson , type delay systems,J,, Nonlinear Analysis: Real World Applications,2011,28( 12) : 1938 , 1949, Permanence for a Delayed Nicholsons Blowflies Model ’ with a Nonlinear Density-dependent Mortality Term HUANG Zu- da ( College of Mathematics and ComputSecri ence,Hunan College of Arts and Science,Changde 415000,Hunan) Abstract: In this paper,we study a generalized Nicholsons blowflies model with a nonlinear density-dependent mortality term, ’ Under the admissible initial conditions,by using continuous dependenceth eorem,some criteria to guarantee the positivity and global existence of solutions are obtained, Then,by applying differential inequality techniques,we give the positive lower bound and upper bound of solutions,and get the permanence of this model, Moreover,we present an example to illustrate our main results, Key words: time-varying delays; permanence; Nicholsons blowflies model’ ()