公式法解一元二次方程与根的判别式
课题 公式法解一元二次方程与根的判别式
教学目标:
1、熟记求根公式,掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用,渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣,培养概括能力及严谨认真的学习态度.
4、能不解方程,而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点:
1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.
2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.
教学难点:
221、正确理解“当bac,,40时,方程无实数根. axbxca,,,,0(0)2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.
一、学习新知,推导公式
ax,b,0我们以前学过的一元一次方程(其中a、b是已知数,且a?0)的根唯一存
b2x,,ax,bx,c,0在,它的根可以用已知数a、b
示为,那么对于一元二次方程(其a
中a、b、c是已知数,且a?0),它的根情况怎样,能不能用已知数a、b、c来表示呢,我
们用配方法推导一元二次方程的求根公式.
2用配方法解一元二次方程 ax,bx,c,0(a,0)
2ax,bx,,c解: 移常数项
bc2x,x,, 方程两边同除以二次项系数(由于a?0,因此不需要分类讨论) aa
bbcb222x,x,(),,,() 两边配上一次项系数一半的平方 a2aa2a
2bb,4ac22(x,), 转化为的形式 (x,m),n22a4a
注:在我们以前学过的一元二次方程中,会碰到有的方程没有解。 因此对上面这个方程要进行讨论
2aa,,040所以因为
2bac,42(1)当时,。 bac,,40,04a
22bbac,4bbac,4利用开平方法,得 则 x,,,x,,,2224aa24aa
2,,,bbac4所以, x,2a
2bac,42(2)当时,。在实数范围内,x取任何值都不能使方程bac,,40,04a
2bb,4ac2(x,),左右两边的值相等,所以原方程没有实数根。 22a4a
22一元二次方程,当b,4ac,0时,它有两个实数根: ax,bx,c,0(a,0)
2,,,bbac42() x,a,0,b,4ac,02a
2这就是一元二次方程的求根公式. ax,bx,c,0(a,0)
2b,4ac,0问题:1、在求根公式中,如果时,根的情况如何,
2、如何用求根公式求一元二次方程的根,
解答:
b2xx,,,b,4ac,01、如果,那么方程有两个相等的实数根,即. 122a
2b,4ac,02、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式,如果,那么可代
2b,4ac,0入公式求出方程的根,如果,那么方程无实数根,这种解一元而次方程的方法
叫做公式法.
二、利用公式引导判别式:
2,,,bbac42x,利用求根公式,可以解任何一个一元二次方程. axbxca,,,,0(0)2a
22,,,,,,bbacbbac442bac,,40xx,,,(1)当时,方程的根是. 1222aa
b2xx,,,bac,,40(2)当时,方程的根是. 122a
2(3)当时,方程没有实数根. bac,,40
提问:究竟是什么决定了一元二次方程根的情况,
221、定义:我们把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用bac,4axbxca,,,,0(0)
2符号“?”表示,记作?=. bac,4
22、一元二次方程, axbxca,,,,0(0)
2当?=时,方程有两个不相等的实数根; bac,,40
2当?=时,方程有两个相等的实数根; bac,,40
2当?=时,方程没有实数根. bac,,40
例题精讲:
例1:用公式法解下列方程:
22(1)5610xx,,, (2) 2(1)(2)1xxx,,,,
)原方程中, 解(1abc,,,5,6,1
22bac,,,,,,4645116
,,,,61664 x,,2510,
1x,,1x,,即 或 5
1xx,,,,,1所以,原方程的根是 125
2(2)把原方程化为一般式,得 (21)2210,,,,,xx
其中 abc,,,,,,21,2,21
22 bac,,,,,,424(21)(21)8
,,,,,,2822212 x,,,
2(21)2(21)21,,,
x,1x,,,322即 或
注:用公式法解一元二次方程时,应根据方程的一般式确定a、b、c的值,并且注意a、b、
c的符号。
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例2、不解方程,判别下列方程的根的情况:
222(1); (2); (3). 2326xx,,4530xx,,,2430xx,,,
2解:(1)? ,,,,,,,,,(5)44(3)730? 原方程有两个不相等的实数根.
2(2)? ,,,,,,,,442380
? 原方程没有实数根.
2 (3)原方程可化为22630xx,,,
2 ? ,,,,,,,(26)4230
?原方程有两个相等的实数根.
2例3、关于的方程(其中是实数)一定有实数根吗?为什么, xmxmxm,,,,(1)0
2解: ,,,,,,,(1)41()mm
2,,,mm21
2 ,,(1)m
2,,0因为是实数,所以,即. m(1)0m,,
所以,此方程一定有实数根.
基础训练
2bac,4一、求下列方程中的值:
22xx,,,650xx,,,81601、 2、
22232xx,,22xx,,3、 4、
1122xx,,1xx,,05、 6、 42
227、 8、 xqpx,,,xx,,,,(23)60
二、不解方程,判断下列方程根的情况:
1221、 2、 2520xx,,,30xx,,,2
223、 4、 41290xx,,,xx,,,2230
11223330xx,,,5、xx,,,0 6、 22
222x,,507、 8、 xx,,,104
三、用公式法解下列方程:
22xx,,,2220xx,,221、 2、
222220xx,,,91220xx,,,3、 4、
2296610xx,,,4421xx,,5、 6、
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四、解答题:
21、当时,请你判断关于x的方程的根的情况。 q,0xpxq,,,0
22、关于x的方程一定有实根吗,为什么? xmxm,,,,(2)20
23、如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围。 kxx,,,690
能力提高
一、用公式法解下列一元二次方程:
2418xx,,1、 2、 3(34)1xx,,,
3、 4、 9(1)31xxx,,,4(23)10xx,,,
二、解答题:
21、关于x的方程一定有实数根吗,为什么, mxmx,,,,(3)30
22、关于x的一元二次方程 (4)210kxx,,,,
k(1)若方程有两个实数根,求的取值范围;
k(2)当是怎样的正整数时,方程没有实数根。
思维拓展
21、已知a、b、c是?ABC的三边,判断方程的根的情况。 cxabxc,,,,2()0
课后作业
一、用求根公式法解下列方程:
22xx,,525xx,,,2101、 2、
122,,,,xx320xx,,123、 4、 2
22235xx,,,5、 6、 81(31)(23)xxx,,,,
122xkxk,,,,,(21)320二、求证:不论k为任意实数,方程没有实数根。 2
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