以矩形为背景的综合题

以矩形为背景的综合题 第十讲以矩形为背景的综合题 例1.如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，联接AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y( (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域( Q (2)当点P运动时，?APQ的面积是否会发生变化, 如果发生变化，请求出?APQ的面积S关于x的函数解 析式，并写出定义域;如果不发生变化，请说明理由( A D (3)当以4为半径的?Q与直线AP相切，且?A与 ?Q也相切时，求?A的半径( E B C P 如图，在矩形ABCD中，AB,12cm，BC,8cm(点E、F、G分别从点例2. A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均 为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合) 2时，三个点随之停止移动(设移动开始后第ts时，?EFG的面积为Scm( (1)当t,1s时，S的值是多少, (2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围; (3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶 点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似,请说 明理由。 A D E G B C F 练习: 1.如图，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延长AD到点E，使AE=15，连结BE交AC于点P( (1)求AP的长; (2)若以点A为圆心，AP为半径作?A，试判断线段BE与?A的位置关系并说明理由; (3)已知以点A为圆心，r为半径的动?A，使点D在动?A的内部，点1 B在动?A的外部( 求动?A的半径r的取值范围; ?1 ?若以点C为圆心，r为半径的动?C与动?A相切，求r的取值范22围( BC P AED 2.如图，在矩形ABCD中，AB,12厘米，BC,6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动( 如果P、Q同时出发，用t(秒)示移动的时间(0?t?6)，那么: (1)当t为何值时，?QAP为等腰直角三角形, (2)求四边形QAPC的面积;提出一个与计算结果有关的结论; (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与?ABC相似, 例1. 解:(1)在矩形ABCD中， ?AD?BC，??APB=?DAP( 又由题意，得?QAD=?DAP，??APB =?QAD( ??B=?ADQ=90?，??ADQ??PBA(………………………………(1分) y4DQAD，即( ?,,ABBP3x，4 ? 12(………………………………………………………………(1分) y,x，4 定义域为 (……………………………………………………………(1分) x,0 (2)不发生变 化(…………………………………………………………………(1分) 证明如下: ?QAD=?DAP，?ADE=?ADQ=90?，AD=AD， ? ADE??ADQ( ?? ? DE=DQ=y(………………………………………………………………(1分) ? x114812SSSQEADQEPC(…(3分) ,，,,，,,，,12,AQE,PQExx22，4，4 (3)过点Q作QF?AP于点F( ?以4为半径的?Q与直线AP相切，?QF=4(…………………………(1分) ?，?S,12 AP=6(………………………………………………………(1分) 在Rt?ABP中， ?AB=3，?? BPA=30?(…………………………………………………(1分) ??PAQ=60?( ? 83AQ=(………………………………………………………………(1分) 3 设?A的半径为r( ??A与?Q相切，??A与?Q外切或内切( 83(i)当?A与?Q外切时，AQ=r+4，即=r+4( 3 ? 83r=(………………………………………………………………(1分) ,43 83(ii)当?A与?Q内切时，AQ=r-4，即=r-4( 3 ? 83r=(………………………………………………………………(1分) ，43 8383 综上所述，?A的半径为或( ,4，433 例2.解:(1)如图(甲)，当秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，t,1 CG=2 由 111SSSSEBCGBCEBBFFCCG,,,,，,,,,,(),,EBFFCG梯形EBCG222 1112 = ，，，,，，,，，,(102)81044224 ()cm222 2)?如图(甲)，当时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD(02,,t 上移动， 此时 AEtBEtBFtFCtCGt,,,,,,,21224842，，，， 111SSSStttttt,,,,，，,，,，,,，,8(1222)4(122)2(84),,EBFFCG梯形EBCG222 2,,，83248tt 2Stt,,，83248 即() 02,,t?如图(乙)当点F追上点G时，，解得( 428tt,，t,4 当时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移24,,t 动( 此时CF=(CG=( 48t,2t 2(48)82ttt,,,,FG=CG-CF= 11 SFGBCtt,,,,,,,，(82)883222 即 () St,,，83224,,t (3)如图(甲)，当点F在矩形的边BC上移动时，( 02,,t 在?EBF和?FCG中，?B=?C=90?( EBBF1224,tt2?若(即，解得。 ,t,,FCCG3842,tt 22又满足，所以当时，?EBF??FCG( 02,,tt,t,33 EBBF1224,tt3?若(即，解得。 ,t,,CGCF2284tt, 33又满足，所以当时，?EBF??GCF( 02,,tt,t,22 23综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、t,t,32 G为顶点的三角形相似。 BC练习1.解:(1)?四边形ABCD是矩形，?AE?BC， P?AB,8， BC,6，?AC,10， APAEAP15EAD,?,，即 ……106,APCPCB ……………………………………………………(2分) 解得: 50AP,(………………………………………………………………………7 BC……(2分) P (2)?AB,8，AE,15，?BE,17( AED作AH?BE，垂足为H， ABAEBEAH,,,则，? ABAE,，815120AH,,,( ………………………(2分) BE1717 50120,?，??A与BE相717 交( ……………………………………………………(2分) (3)? ， ……………………………………………………………………68,,r1 (2分) ?，或24,,r2 ( …………………………………………………………(2分) 1618,,r2 练习2.解: (1)对于任何时刻t，AP,2t，DQ,t，QA,6,t( 当QA,AP时，?QAP为等腰直角三角形， 即:6,t,2t，解得:t,2(秒)， 所以，当t,2秒时，?QAP为等腰直角三角形( (2)【方法一】在?QAC中，QA,6,t，QA边上的高DC,12， 1 ? S,QA?DC ?QAC2 1 ,(6,t)?12,36,6t( 2 在?APC中，AP,2t，BC,6， 1 ? S,AP?BC ?APC2 1 ,?2t?6,6t( 2 2 ? S,S，S,(36,6t)，6t,36(厘米)( ??QAPCQACAPC 由计算结果发现:在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(也可提出:P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变) 【方法二】提示:也可用矩形ABCD的面积减去?QDC和?APC的面积来计算( (3)根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中: QAAP, ?当时，?QAP??ABC，那么有: ABBC 6,t2t6 ，解得t,,1.2(秒)， ,1265 即当t,1.2秒时，?QAP??ABC; QAAP ?当时，?QAP??ABC，那么有: ,BCAB 6,t2t ，解得t,3(秒)， ,612 即当t,3时，?QAP??ABC; 所以，当t,1.2秒或3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与?ABC 相似(