二项分布中方差的计算

第一种, 按定义 mnm,nnCCNN12E,mP(,m),m,,,,,nCmm,0,0N nN!N!112,m,, ,nm!(N,m)!(n,m)!(N,n，m)!Cm,112N nN(N,1)!N!112,,,n(m,1)!(N,1,m，1)!(n,1,m，1)!(N,n，1，m,1)!Cm,112N 令k=m-1, 则 n,1NNNN(1)!N,kn,,kn,111111上式= CC,C,,,n,,np,N,1NN,1nn12!N(1)!()!n,N,nNCCk,0NN !()!nN,n N1其中,为只抽一次抽到元素N的概率 p1N 因此放回抽样(二项分布)与不放回抽样(超几何分布)的数学期望是一样的. mnm,nnCCNN12EmmPmmm[(,1)],(,1)(,),(,1),,,,,nCmm,0,2N nN!1nm,1,,C,Nn2(m,2)!(N,m)!Cm,21N nNNN(,1)(,2)!nm,111,,C,Nn2mNm(,2)!(,2,，2)!Cm,21N nN(N,1)mnm,2(,2),(,2)11,CC,NN,2n12Cm,2N 令k=m-2, n,2NN,NN,(1)(1)k(n,2),kn,21111上式=CC,,C ,N,2NN,2nn12CCk,0NN N(N,1)N(N,1)n(n,1)(N,2)!1111,,, N!(n,2)!(N,n)!N(N,1) n!(N,n)! 因此 N(N,1)n(n,1)nN2111E,E[(,1)]，E,， ,,,,N(N,1)N 22N(N,1)n(n,1)nNnN221111D,E,(E),，,,,,,2N(N,1)NN 22N(N,1)n(n,1)N，nNN(N,1),nN(N,1)1111,,2N(N,1) nN[(N,1)(n,1)N，N(N,1),nN(N,1)]111,2N(N,1) 2nN[NnN,NN,nN，N，N,N,nNN，nN]11111 ,,2N(N,1) 2nN[,NN,nN，N，nN]111,,2N(N,1) nN[N(N,N),n(N,N)]nN(N,N)(N,n)11111,,22N(N,1)N(N,1) NNN,nN,n12,n,,,,npqNNN,1N,1 其中q=1-p 另有一种办法计算ξ的数学期望，假设ξ是第i次抽到第一类元素的个数，因为只是1次，i 当然不是1就是0，因此服从0-1分布，且有 NN12P,(,1),,p,P(,,0),,q,(i,1,2,...,n), iiNN N1E,,,p(i,1,2,...,n)则 iN ,,,,,,,E,E，，，,E，E，，E(？)？nn1212因此 N1,nE,,n,,npiN 整个方法同二项分布时的相应方法一样，只是各ξ间并非相互独立，但和的期望等于期望i的和这条性质并不要求和中各项的随机变量相互独立。 当N非常大时，远大于抽样数n时，记作N>>n超几何分布可以用二项分布来近似。 为这一点，首先给出一个近似式如下: nNnC,当N>>n时，有 Nn! N(N1)(N2)(Nn1),,？,，nC,Nn!这是因为当N很大时，后面每个括号的值近似为1，nN12n,1(1)(1)(1),,,？,n!NNN 因此上面近似式成立，N越大越准确，当N趋于无穷时，约等于可以变为等于。 而当超几何分布中总元素的个数N非常大时，N>>n, 在保持N/N不变的情况下N和N也112 会很大，也有N>>m, N>>n-m, 因此有 12 mn,mNN12,mn,mmn,mCCNNnmn,m!!()!,,,,NN1212P,m,,,(),,,,,nn mn,mNNCN!()!,,,,N n! mmn,m,Cpqn 当N趋于无穷时，近似式就成为准确式。 4.3 普哇松分布 普哇松分布的来源是这样, 有时候要在一个单位长的时间段内进行大量的二项分布试验, 但希望在这个单位长的时间段内事件A发生的平均数量为指定值λ, 因此将单位长度的时间段平均划分为n段, 在每一段做一次独立试验, 使事件A发生的概率为p, 而因为单位时间长度内, 即n次试验中A平均要发生给定值λ次, 而二项分布的均值已知为np, 也就是满足 λ=np, 或者说在给定试验次数n和均值λ的情况下, p=λ/n 那么, 当n很大时, p必然很小, 这时候的二项分布就很接近普哇松分布, 当n趋向于无穷大时, 必有p趋向于无穷小, 即在每个"无穷小"的时间段内都做一次独立试验, 事件A发生的概率也是"无穷小", 但积累起来, 单位时间内A发生的平均数量还是λ. 在推导时, 要用到近似公式 ,,,x e,(1,x) 当x趋向于无穷小时等式严格成立. 当给定λ=np, 且n很大, p=λ/n很小时 kkn,k P(,,k),Cpqn knk,C假设k<函数

excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载