【推荐】高三数学同步单元双基双测“AB”卷（江苏版）专题7.3立体几何中的向量法（B卷）Word版含解析

【推荐】高三数学同步单元双基双测“AB”卷（江苏版）专题7.3立体几何中的向量法（B卷）Word版含解析 班级 姓名 学号 分数 (测试时间:120分钟 满分:160分) 一、解答题(本大题共10小题，共160分(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 1(如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB?CD，AC?BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点( (1)证明:PE?BC; APB,?ADB,60?，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值( (2)若? 2【答案】(1)见解析 (2) 4 PABCD,PAB,2(四棱锥底面是平行四边形，面面 1。ABCDEF，ADPC，，,BAD60PAPBABAD,,,,,,分别为的中点. 2 P F BCADE EFPAB//面(1)求证:; (2)求二面角的余弦值. DPAB,, 5【答案】(1)证明过程详见解析;(2)二面角的余弦值为. DPAB,,5 【解析】 试题:本题主要以四棱锥为几何背景考查线面平行的判断和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.法一:第一问， 11先作辅助线，利用中位线证，由中点得，所以FGBCFGBC//,,AEBCAEBC//,,22 AEFGEFAG//EF//得，所以，是平行四边形，得到，所以得出结论面;PABFGAE// ，,DNB,第二问，先作二面角的平面角，先通过已知证明是二面角DPAB,,的平面角， ,DNBtan,cos,再证明是直角三角形，在这个直角三角形中求出，再求.法二:(1)先由 ,,,,222BDAB,余弦定理证明，得，由此建系，写出各点坐标，求，求出BDADAB,,EF ,,,,,,,,,,,, EF//PABPABPABDPA面的法向量，由得面;(2)先求面的法向量，面nEFn,,0n221 ,,,,,,,,,,,,,nn,112,,,,,cos,,,,,nn的法向量，由公式，由已知二面角为锐角得出结论. n122||||nn512 ,, nxyz,,,(2) 设平面PAD的法向量为 ，，1111,,,,,,,,AP,,1,0,3AD,,2,23,0 , ，，，，,,,,,,,nAPxz,,,，,30,1 ,,,,,,,nADxy,,,，,2230,1, ,, x,3n,3,1,1 令所以 ，，1 ,,, 平面的法向量 PABn,0,1,0，，2 ,,,,,51，即二面角的余弦值为 DPAB,,cos,,,,nn1255 考点:1.线面平行的判断定理;2.二面角的定义;3.法向量的求解方法;4.用空间向量证明 线面平行;5.夹角的余弦公式. 3(如图，在直棱柱 , ABCDABCDADBC,中，，//，,,,,,BADACBDBCADAA90,,1,3.11111 (I)证明:; ACBD,1 (II)求直线所成角的正弦值。 BCACD与平面111 321【答案】(I)见解析(II) ,,,sin77 ,EFPABCD,ABCDBC4(四棱锥底面是菱形，?平面，，、分别是、PA，,ABC60PC的中点. PADAEF(?)求证:平面?平面; PAHPDDEHAEF(?)若,3，设为的四等分点(靠近点)，求与平面所成角的正AB 弦值. 526【答案】(1)证明见解析;(2)( 52 AEa,3PAa,23(?)由(1)知，AE?平面PAD设AB = 2a，则， ,,,,,,,,,,,,以 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，)，E(，23a3aAEADAP、、 33310，0)，C(，a，0)，F(，，),H( 3aa3a(0,)，aaa2222 ,,,,,n,,AE0,设平面AEF的一个法向量为n = (,,,,x，y，z)，则 ,n,,AF0,, ,()(300)0xyza，，，，,,x,0,,,即 ,,313230xyz，，,()(3)0xyzaaa，，，，,,,,,22 , ?可取 n 031),(，-2， ,,,,33aaEHAEF,又，设与平面所成角为，则EHa,,(3,,)22 ,,,,,526 ,,,,,sin|cos,|nEH52 526？所求角的正弦值为 52 考点:1、面面垂直的判定;2、直线与平面垂直的判定;3、直线与平面所成的角( 【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、线线垂直，面面垂直，直线与平面所成的角，及空间向量的计算，属于中档题(解题时一定要注意中点这个条件的暗示作用，一般要考虑利用中点得到等腰三角形中直线垂直，然后利用线面垂直得线线垂直，进而得线面垂直，由线面垂直得面面垂直，求角时一般建空间直角坐标系，利用向量求解( BCDEABCABC,AA5(如图，三棱柱中，为的中点,为的中点. 1111 (1)求证:直线平面; BDCAE 1 ABC(2)若三棱柱 是正三棱柱， ,求平面与平面所ABCABC,ABAA,,2,4BDC11111成二面角的正弦值. 25【答案】(1)证明见解析;(2). 5 BDC0,0,0,0,2,2,3,1,4(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,,由已知得. ，，，，，，1,,,,,,,,,,？,,BDBC0,2,2,3,1,4BDCnxyz,,,.设平面的一个法向量为,则，，，，，，11 ,,,,,,,,,,, . nBDnBC,,,1 ,220yz，,,,x,3,,,取,解得.是平面的一个法向量. z,,1？,,n3,1,1BDC？，，,,1y,1340xyz，，,,,,, 由已知易得 ,, ABCABC,是平面的一个法向量. 设平面和平面所成二面角的大小为,m,0,0,1BDC，，1则 ,,, mn 525,,,,,,,,？,？cos.0,sin. ,,,55mn 25ABC平面和平面所成二面角的正弦值为. BDC？15考点:空间直线与平面的位置关系和空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用( ABCDABCD//6(如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，ABE ,,,,,,,, ABBC,ABCDBC,,,222EAEB,，，，点满足. AFFE,2F EC//(1)求证:直线平面; BDF DBFA,,(2)求二面角的余弦值. 6【答案】(1)详见解析;(2). 6 考点:1.线面平行的判定;2.空间向量求二面角( ABCD//ABBC,ABBCCD,,,22APPB,,37(四棱锥PABCD,中，，，，， PC,5。 ABCD(?)求证:直线平面; PD, AEC(?)E是棱PB的中点，求直线PA与平面所成的角的正弦值。 4【答案】(?)证明见解析;(?)。 9 考点:直线与平面垂直的判定定理和空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用。 8(如图(1)，在等腰梯形中，是梯形的高，，AB,22CBDA,CDEFAEBF,,2， CBABCDEF现将梯形沿，折起，使且，得一简单组合体如 图(2)EFAB//DAEFAB,2 示，已知，分别为，的中点( NMAFBD CD C D N BAMFEA E F B 图(1) 图(2) MN//(1)求证:平面; BCF 2ABCD(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成的锐CDEFDEADE2 二面角大小( π【答案】(1)见解析;(2) 3 【解析】 试题分析:(1)由题为折叠问题(注意折叠中的变与不变)，证明线与面平行，可运用线面平 AC行的判定定理或运用面面平行的性质来证明。结合题中的条件可连接选择证明，MNCF//MN//，而证得平面( BCF PEF,设且，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则 ABAPAD,,APEF,xyz,, ADEF(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(32,2,0), ,,,,,,,,,,,,,,,, ADAEDEDC,,,,,,,(0,0,2),(2,2,0),(2,2,2),(22,0,0) ,,, CDFE设分别是平面与平面的法向量 mxyznrst,,(,,),(,,)ADE ,,,,,,,,,,,,,mADnDC,,,,00,,令,， ,,,,,,,,,,,,,mAEnDE,,,,00,,,, ,,20220zx,,,,即, ,,,，,,，,,2202220xyxyz,,,, ,,,,,,,,,mn,1取则 cos,,,,,mnmn,,(1,1,0),(0,1,1),,,2mn, πCDFE平面与平面所成锐二面角的大小为( ？ADE3 考点:(1)线与面平行的证明;(2)线面角的概念及运用空间向量算二面角。 PABCD,OOA,4OB,39(如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线ACBD,交于点，，， ,,,,,,,,,,OP,4OP,ABCDM，底面，设点满足( PMMC,,,,(0) P M DC O AB 1(1)当时，求直线与平面所成角的正弦值; ,,PABDM2 ,MABC,,,(2)若二面角的大小为，求的值( 4 110【答案】(1);(2)( 310 考点:1(二面角的平面角的求法;2(直线与平面所成的角;3(利用空间向量求空间角( SABCD,610(如图，已知正四棱锥的底面边长为2，高为，P是棱SC的中点( (1)求直线AP与平面SBC所成角的正弦值; (2)求二面角B,SC,D大小的余弦值; PQ,(3)在正方形ABCD内是否存在一点Q，使得平面SDC,若存在，求PQ的长;若不存在，请说明理由( 27【答案】(1)直线AP与平面SBC所成角的正弦值为;(2)二面角B,SC,D大小的余7 1弦值为,;(3)不存在满足条件的点Q. 7 【解析】 试题分析:(1)设正方形ABCD的中心为O，建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AP与面SBC所成的角的正弦值;(2)分别求出平面SDC的法向量和平面SBC的法向量，利用向量法能求出二面角B,SC,D; ,,,(2) 设平面SDC的法向量=(x,y,z),则 n2222 ,,,,,,,20,y,,,,,,nDC,,0,2,,26,即,可取=(,,0,1), n,,,,,,,,,2,，,,xyz60,,nSC,,0,,222,2 ,,,,,,11所以cos<>==, nn,1277，7 1又二面角B,SC,D为钝角二面角,故二面角B,SC,D大小的余弦值为,. 7 ,,,,116(3)设Q(x,y,0),则, PQxy,，,,(,,)222 ,,,,,,,若平面SDC,则//,所以 PQ,PQn2 1,1,y,,0,y,,,,2,,2,解得, ,,516,,x,x，,，6,,,2,22 5但>1,点Q不在正方形ABCD内,故不存在满足条件的点Q. 2 考点:与二面角有关的立体几何综合问题;直线与平面所成的角.