李尚志：数学建模是怎么回事

数学建模是怎么回事 李尚志(中国科技大学) 一提起数学竞赛,人们脑海里就会浮想起这样的场面:考场里鸦雀无声,监考老师警惕的目光扫视全场。年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前,时而冥思苦想,时而奋笔疾书,希望能找到那一道道数学难题的正确答案。而那正确答案早已经由出题的专家们做出来,正锁在某—个保险柜里。 数学建模竞赛,或称数学模型竞赛,是不是也是这样的场面呢?你最好还是先到它的考场去见识见识吧。且慢!它并没有一个固定的考场。那么,参赛的选手们在哪里做题呢?到哪里去找他们呢?你可以到图书馆去试试,他们也许正在那里查阅资料,在那堆积如山的书堆中翻来翻去,希望从浩瀚的书海中打捞到自己需要的宝贝,你也可以到计算机房去看看,或许他们正在熟练地操纵着键盘,聚精会神地注视着计算机屏幕,屏幕上闪烁着的那些枯燥无味的数字和符号,简直就像侦探片、武打片或世界怀足球赛那样能抓住他们的心,让他们或欣喜若狂,或目瞪口呆,或颓丧万分。旁边居然还有一个选手在打瞌睡,小心别吵醒他,他已经连熬了两个通宵了!那边是谁在吵架?不,那是另外一队的选手在讨论问题,七嘴八舌,各有各的主意,要把这些互相冲突的意见统—在同一份答卷里可真是不容易,交卷的时间快到了,不再有争吵的声音,打印机均匀的嚓嚓声在选手们的耳朵里好像是世界上最美妙的音乐,他们打着哈欠检查着打印机吐出的—页页印刷精美的作品。你要问他们现在最想干的事情是什么,他们一定异口同声地回答:“睡觉!” 这像是考试吗?像数学竞赛吗?又是翻书查资料,又是相互讨论,到处跑来跑去也没人管,哪里还有一点考试的体统呢?不像考试像什么?也许你会想到,这有点像是一个科研课题组在突击完成一项任务。这算说对了。参赛选手们自己也这样说:“这不像是在考试,而像是在干活。”但它确实也是考试,是另一种形式的考试,姑且说是干活的考试吧,就是考一考谁千活干得更好。 再来看一看竞赛的题目吧,看它出了些什么样的数学题。以1993年我国大学生数学建模竞赛为例,它出了两个题,让每个参赛队选作其中一个。一个题是要为我国12支甲级足球队排名次,做这个题的选手们面对这些足球劲旅的比赛成绩评头品足,俨然是国家体委的官员或体育界的专家。另一个题目是卫星通讯的频率设计,你会怀疑是不是把无线电知识竞赛题误寄到这里来当数学竞赛题了。再翻一翻以前各届国内外竞赛试题,就更是五花八门了。有动物保护、施肥、通讯网络、昆虫分类、药物扩散的规律、抓走私船的策略、飞机场的管理、蛋白质分子的结构、供电系统的修复、堆肥的制作、运煤车场的计划安排、应急设施的选址,等等。你说这是数学竞赛题呢,还是物理、化学、电子、生物、医学、农业、企业管理的竞赛题呢? 数学建模竞赛就是这样。它名曰数学,当然要用到数学知识,但却与以往所说的那种数学竞赛(那是纯数学竞赛)不同。它要用到计算机,甚至离不开计算机,但却不是纯粹的计算机竞赛,它涉及物理、化学、生物、医学、电子、农业、管理等各学科、各领域的知识,但也不是这些学科、领域里的纯知识竞赛,它涉及各学科、各领域,但又不受任何一个具体的学科、领域的局限。它要用到各方面的综合的知识,但还不限于此.选手们不只是要有各方面的知识,还要有驾驭这些知识,应用这些知识处理实际问题的能力。知识是无止境的,你还必须有善于获得新的知识的能力。总之,数学建模竟赛,既要比赛各方面的综合知识,也 要比赛各方面的综合能力。它的特点就是综合,它的优点也就是综合。在这个意义上看,它与任何一个学科领域内的纯知识竞赛都不相同的特点就是不纯,它的优点也就是不纯,综合就是不纯。 纯数学竞赛,如中学生的国际数学奥林匹克竞赛,或美国大学生的普特南数学竞赛,已经有很长的历史,也为大家所熟悉。特别是近若干年来我国选手在中学生国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩,更使这项竞赛在我国有很高的知名度,在全国各地的质量较高的中学中广泛开展。纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知识的掌握情况、逻辑推理及证明的能力和技巧、思维是否敏捷、计算能力的强弱等。试题都是纯数学问题,考试方式是闭卷考试。参赛学生在规定的时间(一般每试为三小时)内独立做题,不准交头接耳相互讨论,不准看任何书籍和参考资料,不准用计算机或计算器。考题都有答案。当然,选手的解答方法可以与标准答案不同,但其解答方法的正确与否也是绝对的,特别是计算题的得数一定要与标准答案相同。考试结果,对每个选手的答卷给出分数,按分数高低来判定优劣。尽管也要对参赛的团体(代一个国家、地区或学校)计算团体总分,但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的,在比赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助。因此,这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛。团体要获胜,主要先靠每名选手各自的水平高低,而不存在互相配合的问题(当然在训练过程中可以互相帮助)。这样的竞赛,对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路,对干培养数学家和数学专门人才,起了很大的作用。 随着社会的发展,数学在社会各领域中的应用越来越广泛,作用越来越大,不但运用于自然科学各学科、各领域,而且渗透到经济、军事、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。但是,社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才,而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题,取得经济效益和社会效益。他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就像在学校里做数学应用题),而是为了解决实际问题而需要用到数学。而且不止是要用到数学,很可能还要用到别的学科、领域的知识,要用到工作经验和常识。特别是在现代社会,要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。可以这样说,在实际工作中遇到的问题,完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题,不是“干净的”数学,而是“脏”的数学。其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决,而是暗藏在深处等着你去发现。也就是说,你要对复杂的实际问题进行分析,发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律,把这个实际问题化成一个数学问题,这就称为数学模型,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。模型这个词对我们来说并不陌生,它可以说是对某种事物的一种仿制品。比如飞机模型,就是模仿飞机造出来的。既然是仿造,就不是真的,只能是“假冒”。是“假冒”,但不能是“伪劣”,必须真实地反映所模仿的对象的某一方面的属性。如果只是模仿飞机的模样,这样的飞机模型只要看起来像飞机就行了,可以摆在展览馆供人参观、照相,但不能飞。如果要模仿飞机的飞行原理,就得造一个能飞起来的飞机模型,比如航空模型比赛的作品,它在空气中的飞行原理与飞机有相似之外,但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行,外观上也不必那么像飞机、至少不必有真的飞机那么大。可见,模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性。而数学模型,就是用数学语言(可能包括数学公式)去描述和模仿实际问题中的数量关系、空间形式等。这种 模仿当然是近似的,但又要尽可能逼真。实际问题中有许多因素,在建立数学模型时你不可能、也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑,只能考虑其中的最主要的因素,舍弃其中的次要因素。数学模型建立起来了,实际问题化成了数学问题,就可以用数学工具、数学方法去解答这个实际问题。如果有现成的数学工具当然好。如果没有现成的数学工具,就促使数学家们(也包括建立数学模型的人)寻找和发展出新的数学工具去解决它,这又推动了数学本身的发展。例如,开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律(这就是行星运行的数学模型),牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它,但当时已有的数学工具是不够用的,这促使了微积分的发明。求解数学模型,除了用到数学推理以外,通常还要处理大量数据,进行大量计算,这在电子计算机发明之前是很难实现的。因此,很多数学模型,尽管从数学理论上解决了,但由于计算量太大而没法得到有用的结果,还是只有束之高阁。而电子计算机的出现和迅速发展,给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。而在现在,要真正解决一个实际问题,离了计算机几乎是不行的。数学模型建立起来了,也用数学方法或数值方法求出了解答,是不是就万事大吉了呢?不是。既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律,到底反映得好不好,还需要接受检验,如果数学模型建立得不好,没有正确地描述所给的实际问题,数学解答再正确也是没有用的。因此,在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验,看它是否合理,是否可行,等等。如果不符合实际,还应设法找出原因,修改原来的模型,重新求解和检验,直到比较合理可行,才能算是得到了一个解答,可以先付诸实施。但是,十全十美的答案是没有的,已得到的解答—定还有改进的余地,还可以根据实际情况,或者继续研究和改进;或者暂时告一段落,待将来有新的情况和要求后再作改进。 上面所说的建立数学模型来解决实际问题的过程,是各行各业各领域大量需要的,也是我们的学生在走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事情,所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力,而需要多方面的综合知识和能力。社会对具有这种能力的人的需求,比对数学专门人才的需求要多得多。因此,作为教育部门,在学校里就应当努力培养和提高学生在这方面的能力。当然有多种形式来达到这个目的。比如开设数学模型方面的课程;让学生多接触实际工作,得到锻炼,等等。但是,既然开展数学竞赛能促进数学研究专门人才的培养,那么为什么不可以开展一项竞赛来促进数学应用人才的培养呢? 数学建模竞赛就是这样的竞赛。 正是由于认识到培养应用型数学人才的重要性,而传统的数学竞赛不能担当这个任务,从1983年起,在美国就有一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性。经过论证、争论、争取资助的过程,终于在1985年开始有了美国的第一届大学生数学建模竞赛,简称MCM(1987年以前的全称是Mathematical Competition in Modeling,1987年改为Mathematical Contest in Modeling,其缩写均为MCM)。竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办。从1985年起每年举行一届,在每年的二月下旬或三月初的某个星期五到星期日举行,到1996年已举行了12届。 这项竞赛的宗旨是鼓励大学生运用所学的知识(包括数学知识及其他各方面的知识)去参与解决实际问题的全过程。这些实际问题并不限于某个特定领域,可以涉及非常广泛的、并不固定的范围。这样来促进应用人才的培养。 比赛的形式:比赛是真正的团体赛,每个参赛队由三人组成,在规定的三天时间内共同完成一份答卷。每个参赛队有一个指导教师,在比赛前负责并接 受考题,将考题在规定的时间发给学生,然后由学生自行做题,教师不得参赛。每次的考题只有两个题,都是来自实际的问题或有强烈实际背景的问题,没有固定的范围,可能涉及各个非常不同的学科、领域。每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题。参赛队的三名队员可以相互讨论,可以查阅资料,可以使用计算机和计算机软件。一言以蔽之:可以使用任何非生命的资源,但不允许三人以外的其他人(包括指导教师)帮助做题。参赛队的答卷应是,一篇完整的,包括对所选问题的重新阐述、对问题的条件和假设的阐明和必要补充甚至修改、对为什么要用所述模型的分析、模型的设计、对模型的测试和检验的讨论、模型的优缺点等,还要有一个不超过一页的论文内容的摘要。 比赛的结果:专家们在评卷时并不对论文给出分数,也不采用“通过”、“失败”这种记分,而只是将论文分成一些等级:Outstanding(中国人称它为特等奖)、Meritorious(一等奖)、Honorable Mention(二等奖)、Successful Participation(成功参赛奖)。评卷的标准并不是看答案对不对,而主要看论文的思想方法好不好,以及论述是否清晰。Outstanding的论文作为优秀论文在专业杂志上发表。而所有参赛的队员和教练都能得到一张奖状。 翻开已发表的MCM的优秀论文,你会发现:同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样,却同样都优秀;优秀论文甚至被专家的评阅意见指出一大堆毛病,却仍不失为优秀。在这里,正确和错误是相对的,优秀和不优秀也是相对的。这在纯数学竞赛中是不可思议的。但既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力,那就一切都以解决实际问题的过程为准。解决实际问题需要查资料,需要使用计算机,需要课题组的人相互交流和讨论,因此数学建模竞赛也就允许使用这些“非生命的资源”。同样,实际问题的解决,常常没有绝对的正确与错误,也没有绝对的优秀,数学建模竞赛也就这样,但这并不是说数学建模竞赛就没有是非和好坏的标准。论文中各种不同意见、不同答案可以并存,只要能够言之成理。但如果你像解答纯数学题那样去做,只有数学公式和计算,而不讲清实际问题怎么变成数学公式,也不让计算结果再接受实际检验,即使答案正确,论文也很难评上好的等级。这是因为,它不是数学竞赛,而是数学建模竞赛,它看重的是三个步骤: 1、建立模型:实际问题→数学问题; 2、数学解答:数学问题→数学解; 3、模型检验:数学解→实际问题的解决。 如果你只重视中间一个步骤(一般初参赛的时候容易犯这个错误),而对第一和第三这两个步骤不予重视,那就违背了数学建模竞赛的宗旨,当然就不能得到好的结果了。为什么要叫数学建模竞赛?就是因为它赛的是建立数学模型,而不只是比赛解答数学模型。—般也把它叫做数学模型赛,这也没有什么不对。但“模型”是“建模”的结果,而“建模”是建立模型的过程。竞赛的宗旨更强调的是建立数学模型这个过程,认为过程比结果更重要。所以,在竞赛中允许将未能最后完成的建模过程、未能最后实现的想法写成论文,参加评卷。虽然你的模型还没能最后建立起来,但只要想法有价值,己经开始了的建模过程有合理性,就仍然是有可取之处的论文。这充分体现了竞赛对建模过程的重视。从这点上说,把它称为“数学建模竞赛”比“数学模型竞赛”更贴切些。何况,它的英文名称MCM中的最后一个M是Modeling而不是Model。如果用Model,是名词,是指建立起来的模型。而Modeling是由动词Model变成的动名词,是指建立模型的过程,因此翻译成建模也更恰当些。(注:关于“模型”与“建模”的区别,这里采用的是 北京理工大学叶其孝教授的观点。) 美国的MCM虽然只是美国的国内赛,但它欢迎其他国家的大学组队参加,而且有越来越多的国家的大学参加这一竞赛。因此,在某种意义上它已经是国际性的竞赛,我国最早是在1989年有北京的三所大学组队参加美国的MCM竞赛。到后来,我国参加MCM的学校越来越多。经过酝酿、筹备和在一些城市试办,从1992年开始由中国工业与应用数学学会举办我国自己的全国大学生数学模型竞赛(CMCM),国家教委对这项活动十分重视,决定从1994年起由国家教委高教司和中国工业与应用数学学会共同举办,每年一次,我国自己的MCM虽然举办的时间还不长,但发展非常迅速。在1995年的竞赛中,全国就共有259所高校、1234个队、3702名学生参加。可以预料,MCM在我国将得到更加蓬动、健康的发展。