六年级奥数.-数论.质数、合数、约数、倍数.学生版

一、 质数与合数 一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。 一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 质数有无限多个。最小的质数是2。合数有无限多个。最小的合数是4。 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个； 除了2其余的质数都是奇数； 除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 二、 判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数 ，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数. 例如：149很接近 ，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017． 三、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1. 求最大公约数的方法 ● 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： ， ，所以 ； ● 短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： ，所以 ； ● 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数： ； ； ； ； ；所以1515和600的最大公约数是15． 2. 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 ． 3. 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b； 即为所求． 4. 约数、公约数最大公约数的关系 （1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 四、 倍数的概念与最小公倍数 1. 倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 1) 公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 2) 最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 分解质因数的方法； 例如： ， ，所以 ； 短除法求最小公倍数； 例如： ，所以 ； ． 3. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 4. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 ；求出各个分数分母的最大公约数 ； 即为所求．例如： 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如： 5. 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 （1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 五、 最大公约数与最小公倍数的常用性质 1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果 为 、 的最大公约数，且 ， ，那么 互质，所以 、 的最小公倍数为 ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ① ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是 、 、 、 及最小公倍数的约数． 2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如： ，210就是567的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如： ，而6,7,8的最小公倍数为 注：性质3不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。 六、 求约数个数与所有约数的和 1． 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为 ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如： ，所以21000所有约数的和为 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。 （1）特殊质数2、5，质数的个位数特征 （2）要注意观察约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （3）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 的结构，而且表达形式唯一” 【例 1】 在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（  ）. （A）  0    (B)  1    (C)  2    (D)  3 【巩固】 大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出 的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把 的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将 的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？ 【例 2】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为 ，其中 ，而且 和 都是质数( 和 是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？ 【巩固】 自然数 是一个两位数，它是一个质数，而且 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？ 【例 3】 一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为        【巩固】 三位数 满足：它的所有质因数之和是 。这样的三位数 有        个。 【例 4】 用数字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把6倒过来当作9，也不许把9倒过来当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________． 【巩固】 如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？ 【例 5】 都是质数，如果 ，那么           。 【巩固】 ， ， 都是质数，并且 ， ， ，那么 ____ 。 【例 6】 将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？ 【巩固】 将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？ 【例 7】 有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______。 【巩固】 万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？ 【例 8】 用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？ 【巩固】 将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？ A=（  ）+（  ）=（  ）+（  ）=（  ）+（  ）=（  ）+（  ） 【例 9】 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________. 【巩固】 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？ 【例 10】 两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？ 【巩固】 若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为          ，最小公倍数的最小值为          ，最小公倍数的最大值为                     ． 【例 11】 在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？ 【巩固】 恰有8个约数的两位数有________个． 【例 12】 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？ 【巩固】 加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行） 【例 13】 一次考试，参加的学生中有 得优， 得良， 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？ 【巩固】 一次考试，参加的学生中有 得优， 得良， 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？ 【例 14】 两个自然数a，b的最小公倍数等于50，问a＋b有多少种可能的数值? 【巩固】 已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。 【例 15】 如图，在长500米、宽300米的长方形广场的外围，每隔2.5米摆放一盆花，现要改为每隔2米摆放一盆花，并且广场的4个顶点处的花盆不动，则需增加___盆花；在重新摆放花盆时，共有___盆花不用挪动。 【巩固】 有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？ 【随练1】 炎黄骄子  菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如， 时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而        ，      ，        是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)． 【随练2】 用0-9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是      。 【随练3】 用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来． 【随练4】 三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为        ． 【随练5】 甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？ 【作业1】 图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中． 问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么? 【作业2】 从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？ 【作业3】 已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为          【作业4】 用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________． 【作业5】 某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来. 【作业6】 将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？ 【作业7】 少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有      个小朋友。 【作业8】 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长 千米，中圈跑道长 千米，外圈跑道长 千米.甲每小时跑 千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点? 【作业9】 甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? 【作业10】 如图，A、B、C是三个顺次咬和的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？