深圳电大高起专数学试题及答案

深圳电大高起专数学试题及答案 命题：深圳青年学院汪老师 第Ⅰ卷（选择题  共50分） 一、选择题（共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数，，若，则的值为(    ) A．              B．            C．              D． 2．若，则正数的值为(    ) A．0                B．1              C．0或          D． 3.函数的定义域是 (    ) A．       B．        C．        D．[] 4.平面向量，的夹角为，，， 则（  ） A．          B．            C．           D． 5. 已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（  ） A.           B.         C.         D. 6. 若 则（  ） A.               B．          C.         D． 7. 设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为(  ) A.1                B.2                C.3            D.4 8．已知数列是等差数列，若，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（　 ）    A．4029          B．4028          C．4027          D．4026 9. 在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意，；    （2）对任意，． 关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数 为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中正确说法的序号为（    ） A．①            B．①②                C．①②③              D．②③ 10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在方向的投影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　） 第Ⅱ卷（非选择题  共100分） 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置) 11.设集合，，若,则的值是          ． 12.若函数且,若是偶函数，且在 内是减函数，则整数的值是__________． 13.已知函数的部分图像如图， 令则          ． 14. 定义域为的偶函数满足对任意，有，且当 时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是        ．  三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分） 15. (1)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆在点处的切线方程为        ． (2)（不等式选讲选做题）已知函数．若不等式的解集为，则实数的值为        ． 四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知向量，向量，函数. (1)求的最小正周期； (2)已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，， 且恰是在上的最大值，求，和的面积. 17. (本小题满分12分) 已知函数（）在区间上有最大值和最小值． 设． （1）求、的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 18．（本小题满分12分） 2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 169 178 166 175 180 75 80 77 70 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素满足，且,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。 19 ．（本小题满分12分） 如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上． （1）求证：⊥ （2）若，，为的中点， 求二面角的余弦值. 20.（本小题满分13分） 已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，，成等差数列； （1）求数列的通项公式； （2）已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围。 21．（本小题满分14分） 已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）在区间内任取两个实数,若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）求证：（其中）. 参考答案 四、解答题 16. 解: (1) ………………3分 因为，所以    ……………………5分  (2) 由(1)知：    当时, 由正弦函数图象可知,当时取得最大值。  …………8分 所以, …………………9分 由余弦定理，  ∴∴ ………10分 从而 ……………………12分 17. 解：（1），因为，所以在区间上是增函数， 故，解得． ………………5分 （2）由已知可得，所以可化为， 化为，令，则，因，故， 记，因为，故， 所以的取值范围是．……12分 18. 解：（1）乙厂生产的产品总数为；…………………2分 （2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；…………4分[] （3）， ……………………5分    ，…………8分 的分布列为 0 1 2                                                       ………………11分 均值…………………12分 19 ．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）证明：三棱柱 为直三棱柱， 平面，又平面， -平面，且平面，                        .  又  平面,平面,， z 平面， 又平面， ⊥  …………………………5分  （Ⅱ）由（Ⅰ）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系 平面，其垂足落在直线上, .     在中，，AB=2，, 在直三棱柱 中，. 在中， , 则(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）, （0，2，2） 设平面的一个法向量 则  即        可得    设平面的一个法向量  则  即 可得      平面与平面的夹角的余弦值是 ………12分 （或 在中，，AB=2, 则BD=1  可得D(   平面与平面的夹角的余弦值是 ………12分） 20.解：（1） …………4分 （2），    ………10分 若对于恒成立，则， ，    ， 令， 所以为减函数，          …………13分 21．解：（1） 得    上递减，上递增。 .  …………………………………4分 （2）， 表示点与点连成的斜率，又， ，即函数图象在区间任意两点连线的斜率大于1， 即内恒成立……………………….6分 所以，当恒成立.    设 若 当上单调递减；当上单调递增……8分 又        故    ……………………… 9分