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在紧致拓扑空间上的下侧二重指数级数

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在紧致拓扑空间上的下侧二重指数级数在紧致拓扑空间上的下侧二重指数级数 尤秀英 ()广东工业大学 应用数学系 , 广东 广州 510643 摘 要 : 定义了双侧或下侧二重 Dirichlet 级数 ,讨论了它们的几对相关收敛横坐标 ;建立了下侧二重 Dirichlet 级数的相关一致有界收敛引理及 Valiron 推广公式 ;通过引入一个紧致拓扑空间 ,根据二重随机 Dirichlet 级数 的 a . s 增长性 ,建立了该指数级数的 q. s 增长性 . 关键词 : 下侧二重 Dirichlet 级数 ; 二元整函数 ; 相关有界收敛横坐标 ;...
在紧致拓扑空间上的下侧二重指数级数
在紧致拓扑空间上的下侧二重指数级数 尤秀英 ()广东工业大学 应用数学系 , 广东 广州 510643 摘 要 : 定义了双侧或下侧二重 Dirichlet 级数 ,讨论了它们的几对相关收敛横坐标 ;建立了下侧二重 Dirichlet 级数的相关一致有界收敛引理及 Valiron 推广 ;通过引入一个紧致拓扑空间 ,根据二重随机 Dirichlet 级数 的 a . s 增长性 ,建立了该指数级数的 q. s 增长性 . 关键词 : 下侧二重 Dirichlet 级数 ; 二元整函数 ; 相关有界收敛横坐标 ; 相关一致有界收敛横坐标 ; 相关绝对 : O174152 ,O18913 中图分类号 文献标识码 : A 收敛横坐标 ; 拟必然 Lo wer side bitangent exponential series in close topological space YOU Xiu2ying ()Dept . of Applied Mathmatics , Guangdong University of Technology , Guangzhou 510643 , China Abstract : Defines bilateral or lower side bitangent Dirichlet series , discusses three pair dependent conerge abscissa of this series , establishes the dependent bound convergence uniformly lemma and Valiron formula of the series. By introducing one close topological space a quasi2sure growth of exponential series is established from almost2sure growth of the bitangent random dirichlet series. Key words : lower side bitangent Dirichlet Series ; binary in analytic function ; abscissa of dependent bound con2 verge ; abscissa of dependent bound converge uniformly ; abscissa of dependent absolute converge ; quasi2sure ) ( Ω,推广文献 1 . 首先引进一个紧致拓扑空间 如果集 A < 中任何收敛点列的极限点 ( n) ( )n + ? ωω) ω ( 属于 A , 即 Π{ } ?A , ? n ? ? , ? Π ΩΩ ΩΩ设 = { - 1 , 1} , 令 = , ?, 并记 - kl- kl k , l = 1 ) ( ΩA , 则称 A 为闭集 ; 如果集 B < 的余集为闭 (ωω) ω ωΩ中的元素为 = ,, ?,其中 ? - kl- 11 - 12 - kl( ) Ω集 , 则称 B 为开集 ; 又 B < 为开集的充分必 Ω ?中的区间 I 定义为 : ϖ n ? N , 使 ω ( ) ω要条件是 Π?B , ϖ I < B I 含有. 这样引进 n + ? Π Π Ω) ( Ω ΩI = Α . I × , I 拓扑后 ,称为紧致拓扑空间. - kl - kl - kl - kl k , l = 1 k , l = n +1 ( ) ( ) ( ) nnnωω(ω) (设实 值 或 复 值 函 数 q = q ,, - 11 - 12 ωωωω Ω(已给 中的点列{ } = { ,, - 11 - 12 ( ) ( )nn 3 ) ωω ω Ω ?在 上有定义 , 如果 Π 及 , ? ) (ωω) ω ?} 及一点 = ,?, 如果当 n ?+ ? - 11 - 12 ( ) 3 n3 ( )( )n n ω( ) ω) ω) ω) (((n ? ?时有 q ? q , 则称 q 在 ω( ) ω 时 ω?k , l = 1 , 2 , ?, 则称点列{ } - kl - kl ( ) nΩ (ω) Ω 上连续. 可以 , 如果 q 在 上连续 , 则 ( ) ωωω收敛于极限点 , 记为 ?n ?+ ?. 可以 证 ( ) nω ω) (Π a ? R 或 C , { | | q | ?| a | } 为闭集 , ωωω明{} 收敛于 的充分必要条件是对于含 ( ) nω (ω) { | | q | > | a | } 为开集. ω的任何区间 I , 当 n 充分大时 ,? I . (ω) Πω Ω 设是关于 ?的一个命 , 如果在 Ω Π(ω) 中可数个稠密开集的交集上 ,成立 , 则称 第 4 期 尤秀英 :在紧致拓扑空间上的下侧二重指数级数 ?47 ? r?R} . 2 1 下侧二重指数级数的收敛性 () 设式 4满足 文献 [ 2 、3 ] 已研究了二重 Dirichlet 级数 l n m l n n ′ ′ ( )= lim > - lim D> - ? 6 λ ?, D= μ λμ? ? m ??n ?? - m- nλ μ- s - t m n( σ τ ( ) f s , t= ae s = + i, t, = m n) (λλ 6 6 - < + ?, 及 lim )( - m - m +1m = 0 n = 0 m ?? ξ ηστξη + i,,,,? R, a)( )?C 1 (μμ) ( ) m n lim - < + ?m , n ? N . ) ( - n - n +1n ?? λλ, 其中 0 < < ? < ? +的收敛性与增长性 1 m ln | a | 又令 - m n )(? 7 lim > -μμ?, 0 < < ? < ? + ?. 推广文献 [ 4 , 5 , 得 λθ θ μ 1 n m ?? co s + sin - m - n 到双侧与下侧二重指数级数. ( )ln m n 及 D′= lim , θ λθ μθm + n ??co s + sin - m - n 定义 1 级数? ? π λ μ- s - t ( θ )() 8 0 < < , m , n ? N . m n( ) ae = F s , t =mn2 6 6 m = - ?n = - ? - 1 - 1 ? ? 推广文献 6 得到如下定理 . λ μ -s - t- λ s - μ tm n m n ae + a e + m nmn 6 6 6 6 ( ) στξ 引理 1 若式 3对 s= + i, t= +1 1 1 1 m = - ?n = - ? m = 0 n = - ? ? ? - 1 ? η(τη ) ( ) i,? R相关一致有界收敛 , 则它对 R s= λ μ -- λ s - μ ts - t m n m n ( ) a ae +2 e mn mn?? ? ? m = 0 n = 0 m = 0 n = - ? σ σ( ξ ξ) < , R t= < , 即 r < r+ D′时也一致 有界θ 1 1 1 ( )称为双侧二重 Dirichlet 级数 , 为方便起见 , 式 2 收敛 . 右端第一个级数称为下侧二重 Dirichlet 级数 , 记 ()定理 1 Valiron 推 广 公 式( ) 3, 若 式 对 式 为 ( ) () 6, 7成立 , 对应文献 [ 2 ] 有 ? ? l n | a | - m n λμ - ts - - m - n ) = , )( ( )1lim a e 3 f s , t + D′? r′ ? - mn1 θ a 6 6 λθ μθm + n ??cos+ sin - m- n m = 1 n = 1 l n | a | 其中 - m n )( r′? r′? lim 9 , uc λθ μθm + n ??co s + sin - m - n λλ> ? > ? - 0 > ?, - 1- m )2 若 D= D= 0 , 则 λ μ μ> μ( ) 0 > ? > ? - ?m , n ? N . - 1 - n l n | a | - mn r′= r′= r′= lim , () 4 cua λθ μθm + n ??cos + sin - m- n () () 与式 1一样 ,式 3也有成对相关的有界收敛 、一 π ′′′′′()( θ ) 10 m , n ? N ,0 < < . σσσ ξξ致有界收敛 、绝对收敛横坐标 : 与,与,c c u u a 2 ′′′σ σξ() ( ) ( ) ( ) ξξ 与 . = 与= 为式 3的相关一致有界证 明当 式 4满 足 式 6、7时 , 由 文 献 a u u ′′() ( [ 2 ] 可导出式 3有 r′ ? r′ ? r′, 符号与文献 σξ ξ) σ 收敛横坐标轴 , 当< ,< 时 , 式 3相关一a u c u u μ( ) λ[ 2 ] 相反是因为 ,, D′< 0 , 于是式 9中 σ σξξ ξσ, 当 ′< < ′,′< < ′时 , 致有界收敛 - m - n θ u c u c ′ 间不等式成立 . ( ) σ 式 3相关一致有界收敛 . 推广文献 [ 5 , 当 =u ′ () ) σ( 再证 式 9右 端 不 等 式 , 设 R s= = ( ξ) ( 00 = + ?时 , 式 3定义了一个二元整函数 f s , 1 u θ) ξθ( ) ( rco s , R t= sin 时 , 式 3有界收敛 , 于是 000 ) t. 为了便于表示这三对相关收敛横坐标 , 采用文 λμ - ts - - m 0 - n0 ( ) ϖ K> 0 K有 限 , 使 | < a e |1 1 - mnσξξ σθ(献 [ 2 ] 的方法 , 在,平面上作直线= tg0 < ( ) Km , n ? N , 则有 1 π θ σ θξ )< ,则直线上的点可表示为 = rcos ,=λ μ μ λ- s - t s +t 2 - m 0 - n 0 - m 0 - n 0 e e? | a | = | a | < - mn - m n π λ μ λ θμ θ) (s +t r co s +sin - m 0 - n 0 0 - m - n θ(θ )eK e ,rsin 0 < < , 于是前面三对相关收敛横坐K | | = 1 1 2 ′′′(λθμθ) 从而 ln | a | < ln K+ rcos +sin , - mn 1 0 - m- n (σξ) ( θ 标可用此直线上的点表示 ,如 ,记为 rcos ,u u u ′ l n | a | - m n θ) sin , 与这三点对应的参数是 ru () 故 lim ? r, 则式 9右端 0 λθ μθm + n ??co s + sin - m - n ′ ′ ′ ′ ′ ′ (θ) (θ) (θ) = r, r= r, r= r, rc c u u a a 不等式成立 . π 最后证左端不等式 , 只考虑 D′θ > - ?情形 , ( θ ) ( )0 < < .5 2 设 () () 定义 2 对式 3有 : r′= sup { r| 式 3在 c 0 l n | a | - m n (θ) = lim l l = , r < r内相关有界收敛 , r? R} ; r′= sup{ r| 0 0 u 1 λθ μθm + n ??co s + sin - m - n π ( ) 式 3在 r ? r上相关一致有界收敛 , r? R} ; ( θ ) 1 1 ( )m , n ? N , 0 < < ,11 2 () r′= sup { r| 式 3在 r ? r上相关绝对收敛 , a 2 2 ?48 ? 哈 尔 滨 工 业 大 学 学 报 第 32 卷 λμ) σθ)( ( ( 简记为 0 < | | ?+ ?, 0 < | | ?+ ? l 为有限数 , 又设 R S = = rco s , R t m , = m n 11 11 ε ( ) ) n ? Z, 序列 12满足 ξθ(ε ) = rsin , r= > 0.l + D′+ θ 1 1 1 2 l n | m | D= lim< + ?, D= λ μ () ε 由式 11, Π> 0 , ϖ N > 0 , m + n > N 时 | m| 1 1 λ | m| ?? | | ()m + m ε l n | n | ) (λθμθ) ( ln | < l - co s +sin , 从而a |- m - n - mn )( lim ( )13 < + ?, m , n ? Z 2 | n| μ| n| ?? | | ( ) n +λ μ λ θμ θ)(s - t r cos +sin n - 1 - m - n- m 1 - n 1 a |a e e | | = |< - mn - mn | m| λ)( 及 lim | λ? , | - | | < + ( m + )m ε ε m | m| ?? θμ θ)( ) (λ θμ θ) ( λ ) (co s +sin l - co s +sin - l + D′+ θ - m - n - m - n 2 2 e = | n| ε) (λ θμ θ) ( - D′+co s +sin ( μμ( )) lim | | - | | < + ? m , n ? Z, ( ) n +n θ- m - n e ,n | n| ?? ( ) 又由式 8, ϖ N > 0 , m + n 时 , > N 2 ()2 14 ε( ) l n m n 令 ln | m n | ,D′- > lim θ D = , θ λθ μθ4 co s + sin m + n ?? λθ μθ- m - n | co s + sin | m n ( ) l n m n π λθ μθ , 于是 co s + sin < )( ( θ ) 15 - m - n m , n ? Z , 0 < < , ε 2 D′- θ 4 由文献 2 ,4 及定理 1 得如下定理 . λμ - s - t- m 1 - n 1 故 m + n > max{ N, N} 时 , | a e | < 1 2- mn)( () 定理 2 Valiron 推广公式 2、条件 对式 ( )ln mn 1 - ( D′+ε) - (1 +β) θε (β ) ( ) e = m n> 0.= ββ1 +1 +D′- () () 13、14成立 , 则 θ4 mn ln | a| m n 从而 lim ? r ? r ? r ? r′ ? c u a a | m + n| ??λθ μθco s + sin m n ? ? 1 λ μ -s - t - m 2 - n 2 l n | a| |a e m n | ? K ? - mn β β 1 +1+? ? r′? r′? lim D, + θ m ?n u c m + n = N m + n = N λθ μθ| m + n ??| co s + sin m n ? ? 1 1 ()( ) 16 m , n ? Z. K β ) (< + ?, > 0, β 1 +β 1 +? ? m n m = 1 n = 1 () 证明思路 : 式 16的左半部分由文献 [ 2 ] 可 () 由引理 1 知式 3当 s = s, t = t时一致有界收 1 1 () 推出 , 式 16的右半部分由定理 1 可推出 , 中间的 敛 , 即 r> l + D′, 一致有界收敛 , 而 r′? r′, 故 1 θ a u r?r′由文献 [ 4 ] 推广可得到 . 其中的 m , n 同为 a a () r′? l + D′, 即式 9左端不等式成立. l = + ? θ a 正整数或负整数. 时 , 不等式仍然成立. () ) 综上所述式 9成立. 结论 2显然成立 . 2 下侧二重指数式的拟必然增长性 ( ) σ推广文献 [ 2 , 4 , 式 2有相关收敛横坐标 :c (στξη) | f + i, + i| , 1 ( θθ) 令 Mrcos, rsin= sup , 1 σσσσξξξσξξξ与,与,与及′与′,′与′,′与 ′等 , 若只考虑式 a c u u a a c c u u a τη ,?R cos + sin ) r θ μ θ (λ -( () () σξ ξ) σ 1与式 3, 由于> ,> 时 , 式 1相关有界收- m- n u u ,( θθ) mrcos , rsin = max{ a e 1 - mn[2 ] (σξ ξ) σ 敛, 而< ′,< ′时 , 式 3相关一致有界收敛 , u u m , n ? N } . 推广文献 [ 3 、7 ] 有如下定义与结论. ( ) θ 定义 3σ σξξ ξ) ( ) ( ) ( σ 故当且仅当 < <′,< < ′时 , 式 2才可能在式 6、7下 , f s , t 的 线性 u u u u 1 π ξσξσ一致相关 有界收敛 . 当= = - ?,′= ′= + ?u u u u ( θ ) 下级 0 < < 为2 ( ) ( ) 时 , 式 2定义了二元整函数 F s , t . + + ( θθ)l n l n Mrco s , rsi n 1 ) ( ρ lim= r < 0 , , θ () λμ对式 2, {} , {} 分别为 m nr r ?? + λλλλ- ?? < < ? < < 0 < < ??+ ?, - m - 1 1 m β() 17 B max{, 0} . 结论 1( ) ( ) ( ) 设 对 式 3, 式 6、7成 立. 则 μμμμ- ? ? < < ? < < 0 < < ?? n - n - 1 1 ( ) ρf s , t 的 线性下级存在的充分必要条件是 θ 1 ()12 ( ) + ?m , n ? N , c ln | a| 1 - mn ( ), lim = - 18 ρλθ μθλθ μθ m + n ?? | co s + sin | ln | co s + sin | ) ) θ- m - n - ( m - 1- ( n - 1 c (Ω ) Ω , A , P, 其中 = 〔0 , 1 , A 由〔0 , 1 ] 上所有 aa { - ln | | } 为{ - ln | | } 的凸正规化 其中 - m n - m n ( ) 序列. 证明仿文献 [ 2 , 略 . Lebesgue 可测集 E 组成 , P E是 E 的 Lebesgue 测 ε(ω) ( 度 , 作 Rademacher 函 数 序 列 {} m , n ? 为论 证 方 便 , 推 广 文 献 [ 8 , 考 虑 概 率 空 间 - m n 第 4 期 尤秀英 :在紧致拓扑空间上的下侧二重指数级数 ?49 ? ? ? (Ω ) )N , 可 看 成 , A , P 上 的 独 立 的 随 机 变 量 序 - u 2 a |< + ?, e | - mn ??m = n = 列 , 且 0 0 所以 r 充分大时 1 (ω)(ω)εε,= - 1 ] P〔 = 1 ] = P〔 = - m n - m n ? ? 2 - 2u 22 a? e - mn?? 考虑随机 Dirichlet 级数 m = N n = N ? ? ? ? ρr′ 2 θ-(λ μ ) s +t 2 2e - u- m - n ε( ω) a (ω) f s , t ;=1 e , ( ) ε ω 2 - mn, - m n a (ω)d?8e , r ?R e?? - mn - mn?? ( )? PEm = 0 n = 0 Em = N n = N ρ′r θ - u e ()19 2 这样 r 充分大 , m , n > N 时 , a e < 3e , 不 - mnλμ() ( ) 其中{} {} 及{ a } 满足条件 6, 7, 式 - m - n- m n等式两边取自然对数 , 化简得 ρr′ θ ( ) 19为二元随机整函数. ρ|a ln | < ′r + u+ ln3 = + ur + e θ- m n 2 ( )Ω设 E 是 引理 2 Paley2Zygmudn 引理推广 λθ μθ) ( ln3 , u = co s + sin , - m - n ( ) 中满足 P E> 0 的任何事件 , 那么可选出一数 1 u ) ( , m + n 充分大时 , 上式右边有 当 r = ln - ′( ) N = N E, 使 Π N,′ N″> N 时有 ρ ′ρθθ N′ N ″ u u 2 ( ) 最小值 , 故 ln | a |?- + ln - + ln3 . 由 ε- mn C ω (ω) d? ′ - mn- m n ?? ρ′ θρθ ? Em = N n = N c N′ N ″ { ln a } 与{ -ln a } 关系 , 从而 - m n- mn1 2 C )( ( ), 20 P E - m nc ?? 2 ln | a| m = N n = N - mn 1 lim ?- ,ρm + n ?? | u | ln | u | 而无论 C?C 中何数. 证明略. θn α( ) ( ) 引理 3() () ( ) Π, 与式 18矛盾 , 故假定不成立 , 则式 21成立. 对式 19, 式 6、7成立 , 则 cλ μ (α β) β } , {} , {} 同上节 , 且 ? R< a . s. 有 设{ a } , { a - mn - m - n - m n + + ( ) ( ) 满足式 6、7, 则指数级数 (σξω)ln ln M,; 2 lim = ? ? r r ?? ) λ μt(- s + - m - n ( ω)( )aω ,f s , t ;e 22 = + + - m n - mn 2 ?? (σξαβω)ln ln M,,,; 2 m = 0 n = 0 ρ( ) lim = , r ? R, θ r r ?? Ω?= { - 1 , 1} 在 r ?R 内相关一 ω 其中 - mn - mn ()21 ( ω) 致有界收敛 , 定义了二元整函数 f s , t ;. 2 θξ θ( ω Ω σ = 〔0 , 1 , 其中 ?=rco s ,=rsin 0 <令 π (στξηω) τη ( ω)sup { | f + i,+ i;| ,? = s , t ; M2 2 θ < .) 2 R} , ρ证 明当= 0 时 , 等 式 显 然 成 立 , 设 0 < θ (σ τξ ηω) α ( ω)= sup { | f + i,+ i;| ?Ms , t ; 2 2 ρΩ< + ?, 用反证法 . 假定 中有一概率事件 E > θ τη β(αβ ) ,?} , ,? R, ′( ρ) ρω 0 , 相应有一正数 < 使得 ? E 及某两个θ θ () ω) ( θ同式 17一样 , 可定义 f s , t ;在 r ?R内的 2 (σξαβω)M,,,;lnln 2 ω 线性下级 , 它与 无关. β(α β) α实数,< 有 lim < r r ?? 定理 3() () ( ) 设式 19满足式 6、7, 则那么式 ρλμλσμξ′. 记 u= s + t , u= + , 那么 θ1 - m- n2 - m- n( ) (ω Ω ) 22?= { - 1 , 1} q. s 有如下性质 : α τη βω 当 r 充分大 ,< ,< ,? E 时 β (α β) αΠ,? R< , ? ? ′ ρθ - ue + + 1 ε(ω) a e e < , - m n - mn(σξαβω)ln ln M ,,,; 2 ?? m = 0 n = 0 ρ()lim= ′. 23 θr r ?? 从而 r 充分大时 ρρ证 明结 论 在= 0 显 然 成 立 , 设 0 < < θ θ ? ? ′ ρr θ2 e - u1 εa (ω) ( ) ) ( ee , N N E, < = ω+ ?, 将{ - mn} 看成二重 Rademacher 序列 , 由引 - mn - m n?? m = N n = N ( ω) () ω 理 3 , f s , t ;a . s. 有 性 质 23, 取 一 点 = 2 由引理 2 得 , 当 r ? R 时 N′ N ″ (ωΩ ) ′?, 使其满足式 23. 1 2 - 2 u 2 ( )a e ? P E- m n?? τ η 仿文献 [ 1 ] 将全体有理数排成{} 于{} , 2 m m m = N n = N N′ N ″ θ τθ 则 ϖ{ s= rco s + i} 及{ t= rsin + pm pm pm pm pm 2 - u1 (ω) ε ω( a e ) d, N,′ N″> N . - mn - mn?? ?η Ei} 使 pm m = N n = N τη( ) τηr? ?,?,?p ?+ ?, 又因 pmpm m pm m N′ N ″ + + ( ω) ln ln | f s, t;′| - u2 pm pm 1 ε(ω) a ? e ρ lim - mn- m n = , 则 θ ?? r p ?+ ? m = N n = N pm ?50 ? 哈 尔 滨 工 业 大 学 学 报 第 32 卷 3 3ε(εερ) τεεα 这 时取′,″?0 ′,″< , 取= - ′, ω同理 , 由 > p, 使p p p p θm p ? G, ϖ p 1 m , p +1 21 3 3 β τεηεβ ηε() ′α ω = +′及= - ″,= - ″, 由所 设式 23在m p m p m p ωω ( ω) ?{| | f s, t ;| >2 p m p m 2 2 ω( ) (σ= 成立′ , 于是由式 21ϖ s pm pm 1 ′ ′ ( ω ) | f s, t;| } , 2 p m p m τεε) (ξ τ τ ? R , ? R ,- ??+′及 t2 2 m p pm m p pm pm 2 ″ ″ηεη ε) η - ??+ 使m p pm m p ( ) 依此类推得 ϖ{ pp? N } , p严格递增 , 使 j j j + + ( ω) (σξ 1 ln | f s, t;| = ln M,, 3 3 2 pm pm 2 pm pm ( ω) ( ω) | f s, t;| > | f s, t;′| , 2 p m p m 2 p m p m j j j j 2 τητη+ + m mm m(ρ ε ) r - p θ εεω)> e , - , + ;′ pmp p 于是 2 2 3 3 + + ( ω ) ln ln | f s, t;| 2 p m p m 1 ″ j j ε(εε) = ′+ , p pplim? 2 rj ?? p mj 显然可取 r? ?. 令 + + ′pm ( ω) ln ln | f s, t;| 2 p m p m j j ρ ω ( ω) = , limG= ?{ | | f s, t;|> θ mn2 pm pm + ? j ?? rp m j p = n 1 从而 ( ω( )| f s, t,|′ } ,24 2 pm pm 2 + + 3 3 ( ω) ln ln | f s, t;| 2 p m p m j j ρ = , lim它是可列个开集的并集 , 因而也是开集 . 下面证 θ rj ?? p mj Ω Ω G在内处处稠密 . 中任何开集必含一区间 m n σ τ τξ η 因此对含{ s | ? R,= } , { t | ? R,= m ωωωω ? I = { |? I ,? I , ?, - 11 - 11 - 12 - 12 - k ql ησ α τ β} 的任何水平双带形{ s | ? R ,??} , m ΩI } , 其中 I , ?, I 是 ?1 或 本身. 只 - k q- 11 - k q - k q 3 3 l l l ξ α η β() ωω { t | ?R,< ?} , 式 23在 = , 0 < Φ 须先证 G? I ?, 选取 p, 使 p ? p时 m n 1 1 ρτη( )< + ?时成立 , 由于{} , {} 在 - ?, + ? θ m m + ? + ? (λ μ ) -s +t - k pm - j pm ( ) ρω Ω上处处稠密 , 式 23在 0 < < + ?内 , Π?ωθ e a < - kj- kj?? k = 1 j = 1 ρ时 q. s. 成立 , 类似可证 = + ?情形 , 定理 3 证 θ 1 ′ ()( ω ) 25 | f s, t ;| . 2 pm pm 毕 . 4 33 3 3(ωω) ωω在 I 中选取 = ,, ?,使 ? I , - 11 - 12 - 11 - 11 参考文献 : 3 3 3 ωωω= ? I , ?,? I , ) )- 12 - k q- k q - ( k +1, - ( q +1- 12 1 1 1 1 余家荣 . 指数级数与幂级数的一些拟必然性质 J 1 3 ′ ′ ωωω,= ,) ( ) ) ( )- ( k +1) , - ( q +2) ( ( - k+1, - q +1- k+1, - q +2 11 1 () 中国科学 , 1983 , a:12220. 2 ?,于是 余家荣 . 二重 Dirichlet 级数与二重 Laplace 变换的收 + ? () () 3 3 - (λ μ 敛性 J 1 武汉大学学报 自科版, 1962 1:1217. 余) s +t - k pm - j pm ω( ω)a f s, t; = e = 2 pm pm - kj- kj ? 3 k , j = 1 家荣 . 渐近二重狄利克雷级数及其应用 J 1 高等 学+ ? λ μ ()′ - s +t ( ) - k pm - j pm 校自然科学学报 , 数学 、力学 、天文版 , 1965 1: ωa e- j - kj- k ? k , j = 1 2232253. k 4 q 1 ) WIDDER D V. An introduction to TRaNSFORM THEORY λ μ (′ - s +t e - k pm - j pm jωa + - kj- k ?? k = 1 j = 1 M 1 Princeton : Princeton University Press , 1975. 942 k 1q 110. λ μ ()3 - s +t 5 - k pm - j pm ωa e . - kj -kj?? 尤秀英 . 下侧或双侧 Laplace2Stieltjes 积分的收敛性 k = 1 j = 1 () ( ) 由式 24、25得 () J . 广东工业大学学报 , 1999 , 16 4: 79282. 尤 秀 6 3 ′( ω) ( ω) | f s, t; | > | f s, t; | - 2 pm pm 2 pm pm 英 . 在 左 半 平 面 收 敛 的 Dirichlet 级 数 与 随 机 1 1 ′ ′ Dirichlet 级数的下级与准确下级 J . 哈尔滨工业大 ( ω ) | ( ω ) = | f s, t ; |f s, t ; | , 2 pm pm 2 pm pm 2 2 7 () 学学报 , 2000 , 32 1: 1162119. 3 ( ) ωΦp ?p,由此可见?C,也即 G? I ?. 1mn mn YU J IARONG , Lower order of dirichlet series and random + ? + ? 3 3 dirichlet series J . Wuhan University Journal of Natural ω再证稠密性 , 当 ? ? ?G时 , Π m ? m n m = 1 n = 1 8 () Sciences , 1996 , 1 1: 128. 3 3 ( ) ωN , 由 ? G, 根据式 24ϖ p, 使 mp 1 1 余家荣 . 随机狄里克莱级数的一些性质 J 1 数学学 ′3 3 ωω ( ω) ?{ | f s, t ;| > () 王小唯2 p m p m 责任编辑 1 1 报 , 1978 , 21 :972118. 1 ′ ( ω ) | f s, t ;| } , 2 p m p m 1 1 2
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