恒成立问题

恒成立问题 名思教育桐乡校区教研中心 教师 学生姓名 刘孟茹 年级 高三 科目 数学 日期 时间段 课时 教学内容 函数不等式恒成立问题 教学目标 个性化学习问题解决 熟练掌握函数单调性的证明及不等式的证明 教学重点、含参数问题恒成立的求解方法 难点 证明题 考点分析 恒成立问题的基本类型: 2,a,0且,,0类型1:设，(1)上恒成立;(2)f(x),0在x,Rf(x),ax，bx，c(a,0) ,a,0且,,0上恒成立。 f(x),0在x,R 2类型2:设 f(x),ax，bx，c(a,0) bbb,,,,,,,,,,,,,,,,,a,0(1)当时，上恒成立， 或或f(x),0在x,[,,,],aaa222,,, ,,,f,f,(),0,,0(),0,,, ,(),0f,,教学过程 上恒成立 f(x),0在x,[,,,],f(,),0, ,(),0f,a,0,(2)当时，上恒成立 f(x),0在x,[,,,] ,f,(),0, bbb,,,,,,,,,,,,,,,,, 上恒成立或或 f(x),0在x,[,,,],aaa222,,, ,,,f,f,(),0,,0(),0,,, 教学过程 类型3: f(x),,对一切x,I恒成立,f(x),,f(x),,对一切x,I恒成立,f(x),,。 maxmin 类型4: f(x),g(x)对一切x,I恒成立,f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x),g(x)minmax (x,I) 恒成立 一次函数的性质 f(x),kx，b,x,[m,n] 对于一次函数有: 用心教好每一个学生 1 名思教育桐乡校区教研中心 f(m),0f(m),0,, f(x),0恒成立,,f(x),0恒成立,,,f(n),0f(n),0,, 2,2,m,2例1:若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。 m2x,1,m(x,1) 解析 2:我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为:，;m(x,1),(2x,1),0 f(,2),0,2,2,m,2令，则时，恒成立，所以只需即f(m),0f(m),m(x,1),(2x,1),f(2),0, 2,,2(x,1),(2x,1),0,1，71，3,，所以x的范围是。 x,(,),222,2(x,1),(2x,1),0, 二、利用一元二次函数的判别式 2 对于一元二次函数有: f(x),ax，bx，c,0(a,0,x,R) ,a,0且,,0(1)上恒成立; f(x),0在x,R ,a,0且,,0(2)上恒成立 f(x),0在x,R 2例2:若不等式的解集是R，求m的范围。 (m,1)x，(m,1)x，2,0 解析:要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 (1)当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意; m,1,0,m,1,0(2)时，只需，所以，。 m,[1,9),2mm,,(,1),8(,1),0, 三、利用函数的最值(或值域) ,f(x),m(1)f(x),m对任意x都成立; min ,m,f(x)(2)f(x),m对任意x都成立。简单计作:“大的大于最大的，小的小于最小的”。max 由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 用心教好每一个学生 2 名思教育桐乡校区教研中心 B,2例3:在ABC中，已知恒成立，求实数m,f(B),4sinBsin(，)，cos2B,且|f(B),m|,242 的范围。 解析:由 ,B2，，f(B),4sinBsin(，)，cos2B,2sinB，1,？0,B,,,？sinB,(0,1]f(B),(1,3]42 m,f(B),2,恒成立，，即恒成立， ？|f(B),m|,2？,2,f(B),m,2？m,(1,3],m,f(B)，2, 例4:(1)求使不等式恒成立的实数a的范围。 a,sinx,cosx,x,[0,,] 3,,,,解析:由于函a,sinx,cosx,2sin(x,),x,,[,,]，显然函数有最大值，24444 。 ？a,2 如果把上题稍微改一点，那么又如何呢,请看下题: ,,a,sinx,cosx,x,,(0,)(2)求使不等式恒成立的实数a的范围。 42 解析:我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得 22a,2的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。 y,sinx,cosx 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四:数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 12xa,0,a,1,f(x),x,a,当x,(,1,1)时,有f(x),恒成立例5:已知，求实数a的取值范围。 2 112x2xf(x),x,a,，得x,,a解析:由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两22 1122,11(1),,a及,,,a个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并22 11xx2xy,2及y,()x,,a作出函数的图象，所以，要想使函数在区间x,(,1,1)中恒成立，只22 12xy,x,须x,(,1,1)x,(,1,1)在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当y,22 110,a,1时，只有a,a,[,1):(1,2]a,1时,只有a,2才能保证，而才可以，所以。 22 用心教好每一个学生 3 名思教育桐乡校区教研中心 22m，n，c,0 例6:若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的x，(y,1),1 取值范围是( ) A、 B、 ,1,2,c,2,12,1,c,2，1 C、 D、 c,,2,1c,2,1 m，n，c,0解析:由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆x，y，c,02222上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。x，(y,1),1x，(y,1),1 0，1，c,0, ,，故选D。 ？？c,2,1|0，1，c|,,1,221，1, 同步练习 xx124，，aaR,1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值fx()lg,,ax,,,(.1)fx()3 范围。 xx1240，，,a分析:如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数x,,,(.1)fx() x12，,,2xxa分离后,,,,，(22)，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最x,,,(.1)x4 值求解。 22、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意(,),,，,faxxfa(1)(2),,,, 恒成立，求实数a的取值范围。 x,[0,1] 212,,,,axxa分析:本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意 x,[0,1]恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。 用心教好每一个学生 4 名思教育桐乡校区教研中心 3、 已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。 , 分析:在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围(xR)来求另一变量a, 的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。 24、 设f(x)=x-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。 ,,, 25、、当x(1,2)时，不等式(x-1)计划

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