扩散方程

扩散方程 研究气体的扩散，液体的渗透，半导体中的杂质扩散等问所满足的微分方程。在 考虑扩散问题时，需用到相应的扩散定律和质量守恒定律。 扩散定律 扩散物质在单位时间内沿法线方向流过单位面积的曲面的质量与物质浓度n ,C沿法线方向的方向导数成正比。 Cxyzt(,,,)n,n 由扩散定律，扩散物质在时段内沿法线方向流过面积为的曲面的质量dtdSdmn为: ,C dmDxyzdSdt,,,,,(,,),n其中为扩散系数，出现负号是由于物质总是由浓度高的一侧向浓度低的一侧渗Dxyz(,,) 透。 任取一封闭曲面,，它所围区域记为，则从时刻到时刻进入此闭曲面的物质质,tt12量为 t,C2 {(,,)}mDxyzdSdt,,,,t1,n, CCCC,,,,,,,由高斯公式， DxyzdSDDDdV(,,){()()()},，，,,,,,nxxyyzz,,,,,,,,, t,,,,,,CCC2 {{()()()}}mDDDdVdt,，，,,,,t1,,,,,,xxyyzz, 同时，物质渗透到区域,内，使得内部的浓度发生变化，在时间间隔内，浓度[,]tt11 由变化为，增加的物质质量为 Cxyzt(,,,)Cxyzt(,,,)12 tt,,CC22 ((,,,)(,,,))()()CxyztCxyztdVdtdVdVdt,,,21,,,,,,,,,,,tt11,,tt,,, 由质量守恒即有 tt,,,,,,,CCCC22 {{()()()}}()DDDdVdtdVdt，，,,,,,,,,,tt11,,,,,,,xxyyzzt,, 于是得到扩散方程 ,,,,,,,CCCC,，，()()()DDD ,,,,,,,txxyyzz 若扩散系数Dxyz(,,)为常数，则扩散方程为 222,,,,CCCC ,，，D()222,,,,txyz