命题若p则q的否定

命题若p则q的否定 命题 若p则q 的否定 华东师范大学教育硕士 张中发(工作单位:安徽省合肥一中) 近日在读某数学杂志时，看到这样一句话:“命题“若p则q”的否定形式应为“若p则非q”，即命题的否定形式是仅对命题的结论加以否定。”这个结论是不正确的。我们可以用真值来回答这个问题: p q 非q 若p则q 若p则非q P且非q 真 真 假 真 假 假 真 假 真 假 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 真 真 真 假 从真值表我们可以看出，“p且非q” 是“若p则q”的否定的等价命题，所以 “若p则q”的否定是命题“p且非q”(记作“p且 q”)，而不是“若p则非q”。因为命题p与其否定非p的真假值应完全相反，即p真则非p假;p假则非p真。下面举例说明上述真值表的合理性。 例1:工人们承诺:如果工具齐全(p)，他们就可以在今天完成工作(q)。那么就有四种可能发生: (1)工具齐全，工人们按时完成了工作。(p真q真) (2)工具齐全，但工人们没有按时完成工作。(p真q假) (3)工具不齐全，工人们仍然按时完成了工作。(p假q真) (4)工具不齐全，工人没有按时完成工作。(p假q假) 毫无疑问，情况(1)说明工人遵守诺言，所以“若p则q”真;情况(2)说明工人没有信守诺言，此时“若p则q”为假;在(3)、(4)两种情况下，由于工具不齐全，所以不管工人完没完成工作，都不能说工人违背诺言，我们认为“若p则q”仍然为真。这是因为在逻辑里，如果一个假言命题的条件是假的，那么不论其结论是真还是假均定义该假言命题为真。我们称这是“善意推断”。 那么如可将“若p则q”改为否定形式呢,请看下例: 1 例2:写出下列命题的否定 (1)若x2+y2=0,则x,y全为0。 (2)若x=2或x=-1，则x2-x-2=0。 (3)若集合B真包含集合A，则集合A包含于集合B。 y2=0,但是x和y不全为0。 解:(1)的否定:虽然x2+ (2)的否定:虽然x=2或y=-1，但x2-x-2?0。 (3)的否定:尽管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合B。 即“若p则q”的否定形式习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”。 除了上述假言命题“若p则q”的否定形式要注意外，在数学中还经常出现“若p(x)则q(x)”的语句。它不是开语句(开语句即无法判断其真假的含有变元的语句，如:x+2>0等,开语句不是命题。)，而是全称命题，只不过人们在用语言表达时省略了全称量词。例如:“被6整除的数能被3整除”，即为: x，若x能被6整除，则x能被3整除”;“若x2<9,则x<3”即为:“ x，若x2<9，则x<3”;等等。因此，如果要写出“若p(x)则q(x)”的否定就须把全称量词添上，然后加以否定，即有: x(若p(x) 则q(x))= x(p(x)且 q(x))(注: 表示任意; 表示存在; 表示非)。 例3写出下列命题的否定 (1)若x2<9，则x<2。 (2)若a和b是偶数，则a+b是偶数。 解:(1)的否定:存在x虽然x2<9但x?2。 (2) 的否定:存在两个偶数a、b，而a+b不是偶数。 由上述可知, “若p则q”的否定是“p且非q”,而不是“若p则非q”;“若p(x)则q(x)”的否定是:“ x(p(x)且非q(x))”，一定要将全称量词补充完整。顺便提一句，“若p则q”的否命题是“若非p则非q”;“若p(x)则q(x)”的否命题是“ x(若非p(x)则非q(x))”。 例4:写出例2、例3各命题的否命题 解:例2:(1)的否命题:若x2+y2?0,则x,y不全为0。 (2)的否命题:若x?2且x?-1，则x2-x-2?0。 (3)的否命题:若集合B不真包含集合A，则集合A不包含于集合B。 例3:(1)的否命题: x(若x2?9，则x?2)。 (2)的否命题: a b(若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数)。(注:全称量词如:任意、所有等可省略，但存在量词如:存在、有些等不可省略。) 2 在教学中，也经常能看到一些教师犯本文开始提到的错误。只有理清该类型命题形式结构，性质关系。才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。 3