2013年高考真题——理科数学(四川卷) 含答案

绝密  启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数  学（理工类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回． 第Ⅰ卷  （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．设集合 ，集合 ，则 （    ） （A）       （B）           （C）         （D） 2．如图，在复平面内，点 表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是（    ） （A）           （B）           （C）             （D） 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（    ） 4．设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集．若命题 ，则（    ） （A）                   （B） （C）                     （D） 5．函数 的部分图象如图所示，则 的值分别是（    ） （A）       （B）           （C）           （D） 6．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（    ） （A）           （B）             （C）                 （D） 7．函数 的图象大致是（    ） 8．从 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 ，共可得到 的不同值的个数是（    ） （A）             （B）             （C）               （D） 9．节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（    ） （A）             （B）             （C）               （D） 10．设函数 （ ， 为自然对数的底数）．若曲线 上存在 使得 ，则 的取值范围是（    ） （A）           （B）         （C）         （D） 第二部分  （非选择题 共100分） 注意事项： 必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．二项式 的展开式中，含 的项的系数是____________．（用数字作答） 12．在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， ，则 ____________． 13．设 ， ，则 的值是____________． 14．已知 是定义域为 的偶函数，当 ≥ 时， ，那么，不等式 的解集是____________． 15．设 为平面 内的 个点，在平面 内的所有点中，若点 到 点的距离之和最小，则称点 为 点的一个“中位点”．例如，线段 上的任意点都是端点 的中位点．则有下列命题： ①若 三个点共线， 在线段上，则 是 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列 中， ，且 为 和 的等比中项，求数列 的首项、公差及前 项和． 17．(本小题满分12分) 在 中，角 的对边分别为 ，且 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ， ，求向量 在 方向上的投影． 18．(本小题满分12分)     某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 在 这 个整数中等可能随机产生． （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 的值为 的概率 ； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 次后，统计记录了输出 的值为 的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 运行 次数 输出 的值 为 的频数 输出 的值 为 的频数 输出 的值 为 的频数 … … … …         甲的频数统计表（部分）                    乙的频数统计表（部分） 运行 次数 输出 的值 为 的频数 输出 的值 为 的频数 输出 的值 为 的频数 … … … …         当 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 的值为 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； （Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出 的值为2的次数 的分布列及数学期望． 19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， 分别是线段 的中点， 是线段 的中点． （Ⅰ）在平面 内，试作出过点 与平面 平行的直线 ，说明理由，并证明直线 平面 ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 交 于点 ，交 于点 ，求二面角 的余弦值． 20．(本小题满分13分) 已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ，且椭圆 经过点 ． （Ⅰ）求椭圆 的离心率； （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是线段 上的点，且 ，求点 的轨迹方程． 21．(本小题满分14分)已知函数 ，其中 是实数．设 ， 为该函数图象上的两点，且 ． （Ⅰ）指出函数 的单调区间； （Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线互相垂直，且 ，求 的最小值； （Ⅲ）若函数 的图象在点 处的切线重合，求 的取值范围．