【
必备】高三理数同步单元双基双测“AB”卷滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合检测(B卷)Word版含解析
班级 姓名 学号 分数
(测试时间:120分钟 满分:150分) 一、选择
(共12小题,每题5分,共60分)
1. 已知向量,且,则实数=( ) a,(k,3),b,(1,4),c,(2,1)(2a,3b),c
915A( B(0 C(3 D( ,22【答案】C
考点:1、向量的坐标运算;2、向量的数量积的应用(
S4a2. 等比数列的前项和为,则( ) Sq,3,,,,nna4
4080A. B. 99
4080C. D. 2727
【答案】C
【解析】
2323Saaqaqaqqqq,,,,,,14041111试题
:. ,,,33aaqq2741
考点:等比数列.
,,,ab,,,,0
||||ab3. 设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是( )
,,1,,,,,,ab,,ab,2ab//ab,3A( B( C. D( 【答案】C
【解析】
,,,ab,,,,0
||||ab试题分析:由于,所以方向与相同的单位向量和方向与相同的单位向量是相反向
量,故选项C正确.
考点:1.单位向量;2.共线向量.
2224. 若对于任意的,关于的不等式恒成立,则的最小值x,,1,0320xaxb,,,ab,,2,,
为( )
1541A(, B( C. D( 5454【答案】A
考点:简单的线性规划求最值.
ab,5. 设是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是( )
la,lb,A(存在唯一直线,使得,且
la//lb,B(存在唯一直线,使得,且
b//,,a,,C(存在唯一平面,使得,且
b,,,a,,D(存在唯一平面,使得,且
【答案】C
考点:空间点线面位置关系.
PABC,PACPBC6. 在三棱锥中,侧面PAB、侧面、侧两两互相垂直,且PAPBPC::1:2:3,PABC,PABC,,设三棱锥的体积为,三棱锥的外接球的体积V1
V2为,则( ) V,2V1
11714,A( B( ,33
877,C( D( ,33
【答案】A
【解析】
PACPBCPAB试题分析:由侧面、侧面、侧两两互相垂直知两两相互垂直,PAPBPC,,
11PC,3PABC,PA,1PB,2V,,,,,,1231不妨设,,,则(三棱锥的外接球132
4714V71422232212314R,,,,的直径,所以,所以,故选A( VR,,,,233V31考点:1、三棱锥的外接球;2、三棱锥与球的体积(
7. 将正三棱柱截去三个角(如图(1)所示A、B、C分别是?GHI三边的中点)得到几何体如图(2),则该几何体按图(2)所示方向的侧视图(或称左视图)为( )
A B C D
【答案】A
考点:三视图
,,,,,,,,,,,,,,,,
ABCDCD8. 平行四边形中,, 点P在边上,则的取PAPB ABADABAD,,,4,2,4
值范围是( )
A.,1,8 B.,,,1, C.0,8 D.,1,0 ,,,,,,,,【答案】A
【解析】
1AB,ADcosA,4cosA,试题分析:由题意得,?,?,?,AB,4,AD,2,AB,AD,42
A,60:AABAB?,以为原点,以所在的直线为轴,以的垂线为y轴,建立如图所示的x坐标系,
1,x,5?,设,则,A(0,0),B(4,0),D(1,3)P(x,3)?, PA,(,x,,3),PB,(4,x,,3)
22?,设,?在上单调递减,在上单调f(x)[1,2)[2,5]f(x),(x,2),1PA,PB,(x,2),1
递增,
f(x),f(2),,1,f(x),f(5),8?,?的取值范围是,故选A. [,1,8]PA,PBminmax
考点:平面向量的数量积的运算.
【
点睛】本题主要考查的是平面向量的数量积的运算,建模思想,二次函数求最值,数
A,60:形结合,属于中档题,先根据向量的数量积的运算,求出,再建立坐标系,得
2,构造函数,利用函数的单调性求出函数的值域,问题得以解mf(x)PA,PB,(x,2),1
决,因此正确建立直角坐标系,将问题转化成二次函数最值问题是解题的关键.
2a,a129. 设成等比数列,其公比为3,则的值为( ) a,a,a,a12342a,a34
111A(1 B( C( D( 963
【答案】B
【解析】
2211aaaaqq,,,1211试题分析: ,,,2323229aaaqaqqq,,,3411
考点:等比数列通项公式
aaa,2aa,,1ana,,10. 已知数列中,,,,则的前100项和为( ) ,,,,nn12nn21nn,
1300 A(1250 B(1276 C(1289 D(
【答案】C
考点:1、数列的性质;2、等差数列的前项和(
11. 如图,在正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面的射影为底面的中心)S,ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论中恒成立的个数为( ) (1)EP?AC;(2)EP?BD;(3)EP?面SBD;(4)EP?面SAC(
A(1个 B(2个 C(3个 D(4个
【答案】B
考点:空间中直线与平面之间的位置关系
12. 如图,在棱长为1的正方体的对角线上取一点,以为球心,ABCDABCD,ACPAAP11111
APx,fx()fx()为半径作一个球,设,记该球面与正方体表面的交线的长度和为,则函数的图像最有可能的是( )
【答案】B
【解析】
1x,1试题分析:球面与正方体的表面都相交,我们考虑三个特殊情形:(1)当;(2)当;x,2
x,1(3)当.(1)当时,以为球心,为半径作一个球,该球面与正方体表面的交Ax,2
13,11线弧长为,且为函数的最大值;(2)当时,以为球心,,,,,Afxx,321,,,2242
为半径作一个球,根据图形的相似,该球面与正方体表面的交线弧长为(1)中的一半;(3)
13,当时,以为球心,为半径作一个球,其弧长为,且为函数A,,,,321x,22,42
的最大值,对照选项可得B正确. fx,,
考点:函数图象.
1x,1球面与正方体的表面都相交,我们考虑三个特殊情形:(1)当;(2)当x,;【思路点晴】 2
fx(3)当.其中(1)(3)两种情形所得弧长相等且为函数的最大值,根据图形的x,2,,
相似,(2)中的弧长为(1)中弧长的一半,对照选项,即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法,考查特殊值、小题小作的小题技巧.
二(填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
,,,,,,,,
abab,,,3213. 若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______( ab,ab,
1,【答案】 3
【解析】
,,,,,,,,,,,,,22222aab,,2aababab,,,,,244 试题分析:由,得,即,所以abb ,,,,
,,,2,,,b1ab ,( cos,ab,,,,,,23ab 3b
考点:1、平面向量的数量积运算;2、平面向量的夹角(
42S,(a,1){a}ST,14. 已知数列的前项和为,,则数列{a}的前项和 . nnnnnn3
n,11616,【答案】 15
考点:等比数列求通项公式与求和.
【方法点晴】本题考查学生的是等比数列求通项公式与求和,属于基础题目.首先由和的aSnn
n,1等式,求出通项公式,基本方法有两种,一种是用替换原式中的得到另一个等式,两式an
作差消去,是一个关于与的递推关系式,从而求出;第二种是把Saaannn,1n
代入,消去,先求出再求.求出通项公式后判断其为等比数列,,,a,S,Sn,2aSannn,1nnn
用求和公式即可求解.
PABC,OPAPBPC,,,3PABC,15. 三棱锥内接于球,,当三棱锥的三个侧面积和
O最大时,球的体积为 (
273,【答案】 2
考点:几何体的外接球(
【思路点晴】 设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不
图形的外心,可利用正弦定理来求(若长方体长宽高分
222abc,,abc,,别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点(找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心(三棱
2222锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,则其外接球半径公式为: ( 4Rabc,,,abc,,
16. 如图正方形BCDE的边长为,已知,将沿边折起,折起后点ABBC,3,ABEBEA
BCDE在平面上的射影为点,则翻折后的几何体中有如下描述: D
?与所成角的正切值是; DEAB2
CE??; AB
12?的体积是; aVBACE,6
ADCABC?平面?平面;
,EA?直线与平面ADB所成角为( 30
其中正确的有 ((填写你认为正确的序号)
【答案】???
考点:1.空间中直线与直线之间的位置关系;2.平面与平面之间的位置关系 三、解答题(本大题共6小题,共70分(解答时应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤)
PABCD,ABCDPDBC,17. 如图,在四棱锥中,底面是边长为1的正方形,,,PDAB,
PC且,为的中点. PD,1E
P
E
D C
A B
PA//BDE(I)求证:平面;
PBBDE(II)求直线与平面所成角的正弦值.
1
3【答案】(I)详见解析(II)
【解析】
试题分析:(I)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,
AC而线线平行的寻找与论证,往往需要利用平几知识,如本题利用三角形中位线得:连接交
OOEPA//BD于点,则(II)求线面角,一般利用空间向量,即先根据条件建立恰当空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解面的法向量,利用向量数量积求向量夹角余弦值,最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角的正弦值
,,,,11,,,,,,,,DE,(0,,)PB,,(1,1,1)DB,(1,1,0)22?,,,
,,,,,,,,,,,nxyz,(,,)nDE,nDB,BDE设平面的一个法向量为,由,得,
11,yz,,0,22,
,xy,,0y,,1x,1,z,1,令,则,,
,,,,,n,,(1,1,1)PB,,(1,1,1)?,又?,
,,,,,,,,,nPB ,11,,,,,cos,=nPB,,,,3||||nPB 33,?,
1
3PBBDE?直线与平面所成角的正弦值为.
z
P
E
D C
y
O
A B
x
考点:线面平行判定定理,利用空间向量求线面角
【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.
,,
C,ABC18. 在中,角,,的对边分别是,,,且向量与向量macb,,(54,4)AB
,
共线. nCB,(cos,cos)
cosB(1)求;
,,,,,,,,
c,5b,10ADDC,2(2)若,,,且,求的长度. ac,BD
1094【答案】(1);(2). 53
,,,
macb,,(45,5)试题解析:(1)?与共线,?nCB,(cos,cos)54cos5sin4sinacCAC,,,,, 4cos4sinbBB
4sincos4cossin5sincosBCBCAB,,?4sin()4sin5sincosBCAAB,,,,?,
44c,5sin0A,?,?;(2),,,且, b,10cosB,cosB,ac,55
42222a,3a,5?,即,解得或(舍), acacBb,,,2cosaa,,,,,2525105
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,222121412BDBABC,,BDBABCBABC,,,,,,2?,?,? ADDC,2339933
,,,,2109141222BD,a,3,将和c,5代入得:, ,,,,,,,c2cosaacB99933
109BD=?. 3
考点:1.三角恒等变形;2.正余弦定理解三角形(
4a*nanN,,()19. 已知数列的首项,且. {}aa,1n,11na,2n
11{},(?)证明:数列是等比数列. 2an
nnb,,(?)设,求数列的前项和. {}bSnnna2n
2,nS,,2nn2【答案】(?)详见解析(?)
【解析】
试题分析:(?)证明数列为等比数列,一般方法为定义法,即确定相邻两项的比值为非零常
4aa,211111111nna,,,,,,,,()n,1a2,aaaa2422422n,1nnnn数:利用代入化简,再说明不为
11111111n,1,,, (),,nn22a2222ann零即可(?)由(?)先根据等比数列通项公式求,即得,
nnnb,,nb,nna22n代入,可得,因此其前项和应用错位相减法求
11111n,1,,, ()na2222n(?)解:由(?)知,, 111,,n22an即.
nnnb,,,nn22an?.
123nS,,,,,?n23n2222于是,?
1121nn,S,,,,,?n231nn,22222,?
11,(1)nnnn1111122S,,,,,,,,,,?1n2111,,,nnnnn122222222,12由?-?得,,
12nn,S,,,,,22nnnn,1222即,
2,nS,,2nn{}bn2?数列的前项和.
考点:等比数列定义及通项,错位相减法求和
220. 设函数。 fxkxkxk()6,,,,
(1)若对于恒成立,求实数的取值范围( kfx,,,[2,2],()0(2)若对于恒成立,求实数的取值范围( xfx,,[1,2],()0
,,,12xk,2【答案】(1)(2)
2,gxx(2)2240,,,, 法2、依题只须 ,2gxx(2)2280,,,,,,,
,,,12x , ,,2xx,,,40(恒成立),
,,,12x?
2(2)法1、要使在上恒成立 x,[1,2]fxkxx()(1)60,,,,,
6k,则只须在x,[1,2]上恒成立; 2xx,,1
666而当x,[1,2]时: ,,,222132xx,,,,1221()x,,24k,2?
132法2、?在上恒成立 x,[1,2]fxkxk()()60,,,,,24
k,0 ,? ,fxfk()(2)360,,,,max,
k,0 ,或 ,fxfk()(1)60,,,,max,
k,0 ,或 ,fx()60,,,,
k,2综上解得:
考点:1(不等式与函数的转化;2(函数单调性与最值
ABCDBCEFABCDBCEF,21. 如图所示,平面平面,且四边形为矩形,四边形为直角梯形,
BFCE//BCCE,DCCE,,4BCBF,,2,,,(
CDEAF//(1)求证平面;
BCEF(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值; ADE
与平面所成角的余弦值( (3)求直线EFADE
23【答案】(1)详见解析(2)(3) 22
根据题意我们可得以下点的坐标:
,,,,
,,,,,, 则,A(2,0,4)B(2,0,0)C(0,0,0)D(0,0,4)E(0,4,0)F(2,2,0)AF,,(0,2,4)
,,,,
( CB,(2,0,0)
,,,,
?BCCD,BCCE,CDE?CB,, 为平面的一个法向量(
,,,,,,,,
又, ?AFCB,,,,,,,,,0220(4)00
CDE?AF//平面(
,,,,,,,,,ADn,,0,,1ADE(2)设平面的一个法向量为,则 nxyz,(,,),,,,,,,1111DEn,,0.,1,
,,,,,,,,
,, ?AD,,(2,0,0)DE,,(0,4,4)
,,,,20x,1, 取,得( z,1n,(0,1,1),11440yz,,11,
,,,,?DC,BCEFBCEF平面,平面一个法向量为, ?CD,(0,0,4)
BCEF设平面ADE与平面所成锐二面角的大小为, ,
,,,,,,
,CDn421则( ,cos,,,,,,,,,242,CDn,1
2BCEFADE因此,平面与平面所成锐二面角的余弦值为( 2
,,
(3)根据(2)知平面ADE一个法向量为, n,(0,1,1)1
,,,,,,,,,,,,,,,,EFn,,211, , ?EF,,(2,2,0)?,,,,,,cos,EFn,,,,,,12222,EFn,1
,,,,,,3EFADE与平面所成角为,则( 设直线,,,,,cossin,EFn12
3EFADE因此,直线与平面所成角的余弦值为( 2
考点:1(线面平行的判定;2(二面角求解;3(直线与平面所成角 22. 如图,在四棱锥P ABCD中,侧面PAD?底面ABCD,侧棱,,底面PAPD,PAPD,,2
为直角梯形,其中BC?AD, AB?AD, ,O为AD中点( ABCDABBC,,1
P
ADO
BC
(1)求直线与平面POC所成角的余弦值; PB
PCD(2)求B点到平面的距离;
PQ6(3)线段PD上是否存在一点,使得二面角的余弦值为,若存在,求出QQACD,,3QD
的值;若不存在,请说明理由(
63PQ1【答案】(1);(2);(3)存在,( ,d,3QD23【解析】
试题解析:(1) 在?PAD中PA=PD, O为AD中点,所以PO?AD,
又侧面PAD?底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD, PO,PAD,
P
ADO
BC 所以PO?平面ABCD(
,,,,,,uCPxy,,,,,0,,,u,1,1,1则,取得z,1 ,,,,,,uPDyz,,,,0,,
,,,,,
BPu,3B点到平面的距离 d,,,PCD3u
,,,,,,,,
(3)假设存在,且设( PQPD,,,,,(01)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,因为 PDOQOPPQOQ,,?,,,,?,,(0,1,1),(0,,),(0,,1),,,,所以, Q(0,,1),,,
考点:空间的角与距离(