【高考必备】高三理数同步单元双基双测“AB”卷滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合检测（B卷）Word版含解析

【必备】高三理数同步单元双基双测“AB”卷滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合检测（B卷）Word版含解析 班级 姓名 学号 分数 (测试时间:120分钟 满分:150分) 一、选择(共12小题，每题5分，共60分) 1. 已知向量，且，则实数=( ) a,(k，3)，b,(1，4)，c,(2，1)(2a,3b),c 915A( B(0 C(3 D( ,22【答案】C 考点:1、向量的坐标运算;2、向量的数量积的应用( S4a2. 等比数列的前项和为，则( ) Sq,3,,,,nna4 4080A. B. 99 4080C. D. 2727 【答案】C 【解析】 2323Saaqaqaqqqq，，，，，，14041111试题:. ,,,33aaqq2741 考点:等比数列. ,,,ab,,，,0 ||||ab3. 设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是( ) ,,1,,,,,,ab,,ab,2ab//ab,3A( B( C. D( 【答案】C 【解析】 ,,,ab,,，,0 ||||ab试题分析:由于，所以方向与相同的单位向量和方向与相同的单位向量是相反向 量，故选项C正确. 考点:1.单位向量;2.共线向量. 2224. 若对于任意的,关于的不等式恒成立，则的最小值x,,1,0320xaxb，，,ab，,2,, 为( ) 1541A(, B( C. D( 5454【答案】A 考点:简单的线性规划求最值. ab,5. 设是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( ) la,lb,A(存在唯一直线，使得，且 la//lb,B(存在唯一直线，使得，且 b//,,a,,C(存在唯一平面，使得，且 b,,,a,,D(存在唯一平面，使得，且 【答案】C 考点:空间点线面位置关系. PABC,PACPBC6. 在三棱锥中，侧面PAB、侧面、侧两两互相垂直，且PAPBPC::1:2:3,PABC,PABC,，设三棱锥的体积为，三棱锥的外接球的体积V1 V2为，则( ) V,2V1 11714,A( B( ,33 877,C( D( ,33 【答案】A 【解析】 PACPBCPAB试题分析:由侧面、侧面、侧两两互相垂直知两两相互垂直，PAPBPC,, 11PC,3PABC,PA,1PB,2V,，，，，,1231不妨设，，，则(三棱锥的外接球132 4714V71422232212314R,，，,的直径，所以，所以，故选A( VR,,,,233V31考点:1、三棱锥的外接球;2、三棱锥与球的体积( 7. 将正三棱柱截去三个角(如图(1)所示A、B、C分别是?GHI三边的中点)得到几何体如图(2)，则该几何体按图(2)所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) A B C D 【答案】A 考点:三视图 ,,,,,,,,,,,,,,,, ABCDCD8. 平行四边形中，, 点P在边上，则的取PAPB ABADABAD,,,4,2,4 值范围是( ) A.,1,8 B.,，,1, C.0,8 D.,1,0 ，,,,,,,,【答案】A 【解析】 1AB,ADcosA,4cosA,试题分析:由题意得，?，?，?，AB,4,AD,2,AB,AD,42 A,60:AABAB?，以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为y轴，建立如图所示的x坐标系， 1,x,5?，设，则，A(0,0),B(4,0),D(1,3)P(x,3)?， PA,(,x,,3),PB,(4,x,,3) 22?，设，?在上单调递减,在上单调f(x)[1,2)[2,5]f(x),(x,2),1PA,PB,(x,2),1 递增， f(x),f(2),,1,f(x),f(5),8?，?的取值范围是，故选A. [,1,8]PA,PBminmax 考点:平面向量的数量积的运算. 【点睛】本题主要考查的是平面向量的数量积的运算，建模思想，二次函数求最值，数 A,60:形结合，属于中档题，先根据向量的数量积的运算，求出，再建立坐标系，得 2，构造函数，利用函数的单调性求出函数的值域，问题得以解mf(x)PA,PB,(x,2),1 决，因此正确建立直角坐标系，将问题转化成二次函数最值问题是解题的关键. 2a，a129. 设成等比数列，其公比为3，则的值为( ) a,a,a,a12342a，a34 111A(1 B( C( D( 963 【答案】B 【解析】 2211aaaaqq，，，1211试题分析: ,,,2323229aaaqaqqq，，，3411 考点:等比数列通项公式 aaa,2aa,，1ana,,10. 已知数列中，，，，则的前100项和为( ) ,,,,nn12nn21nn， 1300 A(1250 B(1276 C(1289 D( 【答案】C 考点:1、数列的性质;2、等差数列的前项和( 11. 如图，在正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心)S,ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为( ) (1)EP?AC;(2)EP?BD;(3)EP?面SBD;(4)EP?面SAC( A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 【答案】B 考点:空间中直线与平面之间的位置关系 12. 如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，ABCDABCD,ACPAAP11111 APx,fx()fx()为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是( ) 【答案】B 【解析】 1x,1试题分析:球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形:(1)当;(2)当;x,2 x,1(3)当.(1)当时，以为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交Ax,2 13,11线弧长为，且为函数的最大值;(2)当时，以为球心，，，，,Afxx,321,，，2242 为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为(1)中的一半;(3) 13,当时，以为球心，为半径作一个球，其弧长为，且为函数A，，，,321x,22,42 的最大值，对照选项可得B正确. fx，， 考点:函数图象. 1x,1球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形:(1)当;(2)当x,;【思路点晴】 2 fx(3)当.其中(1)(3)两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的x,2，， 相似，(2)中的弧长为(1)中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧. 二(填空题(共4小题，每小题5分，共20分) ,,,,,,,, abab,,，3213. 若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______( ab,ab, 1,【答案】 3 【解析】 ,,,,,,,,,,,,,22222aab,，2aababab,，,，，244 试题分析:由，得，即，所以abb ,,，， ,,,2,,,b1ab ,( cos,ab,,,,,,23ab 3b 考点:1、平面向量的数量积运算;2、平面向量的夹角( 42S,(a,1){a}ST,14. 已知数列的前项和为，，则数列{a}的前项和 . nnnnnn3 n，11616,【答案】 15 考点:等比数列求通项公式与求和. 【方法点晴】本题考查学生的是等比数列求通项公式与求和,属于基础题目.首先由和的aSnn n,1等式,求出通项公式,基本方法有两种,一种是用替换原式中的得到另一个等式,两式an 作差消去,是一个关于与的递推关系式,从而求出;第二种是把Saaannn,1n 代入,消去,先求出再求.求出通项公式后判断其为等比数列,，，a,S,Sn,2aSannn,1nnn 用求和公式即可求解. PABC,OPAPBPC,,,3PABC,15. 三棱锥内接于球，，当三棱锥的三个侧面积和 O最大时，球的体积为 ( 273,【答案】 2 考点:几何体的外接球( 【思路点晴】 设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不图形的外心,可利用正弦定理来求(若长方体长宽高分 222abc，，abc,,别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点(找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心(三棱 2222锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: ( 4Rabc,，，abc,, 16. 如图正方形BCDE的边长为，已知，将沿边折起，折起后点ABBC,3,ABEBEA BCDE在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述: D ?与所成角的正切值是; DEAB2 CE??; AB 12?的体积是; aVBACE,6 ADCABC?平面?平面; ,EA?直线与平面ADB所成角为( 30 其中正确的有 ((填写你认为正确的序号) 【答案】??? 考点:1.空间中直线与直线之间的位置关系;2.平面与平面之间的位置关系 三、解答题(本大题共6小题，共70分(解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) PABCD,ABCDPDBC,17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，PDAB, PC且，为的中点. PD,1E P E D C A B PA//BDE(I)求证:平面; PBBDE(II)求直线与平面所成角的正弦值. 1 3【答案】(I)详见解析(II) 【解析】 试题分析:(I)证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明， AC而线线平行的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题利用三角形中位线得:连接交 OOEPA//BD于点，则(II)求线面角，一般利用空间向量，即先根据条件建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解面的法向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角的正弦值 ,,,,11,,,,,,,,DE,(0,,)PB,,(1,1,1)DB,(1,1,0)22?，，， ,,,,,,,,,,,nxyz,(,,)nDE,nDB,BDE设平面的一个法向量为，由，得， 11,yz，,0,22, ,xy，,0y,,1x,1,z,1，令，则，， ,,,,,n,,(1,1,1)PB,,(1,1,1)?，又?， ,,,,,,,,,nPB ,11,,,,,cos,=nPB,,,,3||||nPB 33，?， 1 3PBBDE?直线与平面所成角的正弦值为. z P E D C y O A B x 考点:线面平行判定定理，利用空间向量求线面角 【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系;第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标;第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量;第四，破“应用公式关”. ,, C,ABC18. 在中，角，，的对边分别是，，，且向量与向量macb,,(54,4)AB , 共线. nCB,(cos,cos) cosB(1)求; ,,,,,,,, c,5b,10ADDC,2(2)若，，，且，求的长度. ac,BD 1094【答案】(1);(2). 53 ,,, macb,,(45,5)试题解析:(1)?与共线，?nCB,(cos,cos)54cos5sin4sinacCAC,,,,， 4cos4sinbBB 4sincos4cossin5sincosBCBCAB，,?4sin()4sin5sincosBCAAB，,,，?， 44c,5sin0A,?，?;(2)，，，且， b,10cosB,cosB,ac,55 42222a,3a,5?，即，解得或(舍)， acacBb，,,2cosaa，,,,,2525105 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,222121412BDBABC,，BDBABCBABC,，，,,,2?，?，? ADDC,2339933 ,,,,2109141222BD,a,3，将和c,5代入得:， ,，，,,,,c2cosaacB99933 109BD=?. 3 考点:1.三角恒等变形;2.正余弦定理解三角形( 4a*nanN,,()19. 已知数列的首项，且. {}aa,1n，11na，2n 11{},(?)证明:数列是等比数列. 2an nnb,,(?)设，求数列的前项和. {}bSnnna2n 2，nS,,2nn2【答案】(?)详见解析(?) 【解析】 试题分析:(?)证明数列为等比数列，一般方法为定义法，即确定相邻两项的比值为非零常 4aa，211111111nna,,,,,,,,()n，1a2，aaaa2422422n，1nnnn数:利用代入化简，再说明不为 11111111n,1,,, (),，nn22a2222ann零即可(?)由(?)先根据等比数列通项公式求，即得， nnnb,,nb,nna22n代入，可得，因此其前项和应用错位相减法求 11111n,1,,, ()na2222n(?)解:由(?)知，， 111,，n22an即. nnnb,,,nn22an?. 123nS,，，，，？n23n2222于是，? 1121nn,S,，，，，？n231nn，22222，? 11,(1)nnnn1111122S,，，，,,,,,,？1n2111，，，nnnnn122222222,12由?-?得，， 12nn，S,,,,,22nnnn,1222即， 2，nS,,2nn{}bn2?数列的前项和. 考点:等比数列定义及通项，错位相减法求和 220. 设函数。 fxkxkxk()6,,,， (1)若对于恒成立，求实数的取值范围( kfx,,,[2,2],()0(2)若对于恒成立，求实数的取值范围( xfx,,[1,2],()0 ,,,12xk,2【答案】(1)(2) 2,gxx(2)2240,,,,　　法2、依题只须 ,2gxx(2)2280,,,，,,, ,,,12x　　　　　　, ,,2xx,，,40(恒成立), ,,,12x? 2(2)法1、要使在上恒成立 x,[1,2]fxkxx()(1)60,,，,, 6k,则只须在x,[1,2]上恒成立; 2xx,，1 666而当x,[1,2]时: ,,,222132xx,，,，1221()x,，24k,2? 132法2、?在上恒成立 x,[1,2]fxkxk()()60,,，,,24 k,0　　　　　　　　　　,? ,fxfk()(2)360,,,,max, k,0　　　　　　　　　　,或 ,fxfk()(1)60,,,,max, k,0　　　　,或 ,fx()60,,,, k,2综上解得: 考点:1(不等式与函数的转化;2(函数单调性与最值 ABCDBCEFABCDBCEF,21. 如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形， BFCE//BCCE,DCCE,,4BCBF,,2，，，( CDEAF//(1)求证平面; BCEF(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值; ADE 与平面所成角的余弦值( (3)求直线EFADE 23【答案】(1)详见解析(2)(3) 22 根据题意我们可得以下点的坐标: ,,,, ，，，，，， 则，A(2,0,4)B(2,0,0)C(0,0,0)D(0,0,4)E(0,4,0)F(2,2,0)AF,,(0,2,4) ,,,, ( CB,(2,0,0) ,,,, ？BCCD,BCCE,CDE？CB，， 为平面的一个法向量( ,,,,,,,, 又， ？AFCB,,，，，，,，,0220(4)00 CDE？AF//平面( ,,,,,,,,,ADn,,0,,1ADE(2)设平面的一个法向量为，则 nxyz,(,,),,,,,,,1111DEn,,0.,1, ,,,,,,,, ，， ？AD,,(2,0,0)DE,,(0,4,4) ,,,,20x,1， 取，得( z,1n,(0,1,1),11440yz,,11, ,,,,？DC,BCEFBCEF平面，平面一个法向量为， ？CD,(0,0,4) BCEF设平面ADE与平面所成锐二面角的大小为， , ,,,,,, ,CDn421则( ,cos,,,,,,,,,242，CDn,1 2BCEFADE因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为( 2 ,, (3)根据(2)知平面ADE一个法向量为， n,(0,1,1)1 ,,,,,,,,,,,,,,,,EFn,,211， ， ？EF,,(2,2,0)？,,,,,,cos,EFn,,,,,,12222，EFn,1 ,,,,,,3EFADE与平面所成角为，则( 设直线,,,,,cossin,EFn12 3EFADE因此，直线与平面所成角的余弦值为( 2 考点:1(线面平行的判定;2(二面角求解;3(直线与平面所成角 22. 如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD?底面ABCD，侧棱,,底面PAPD,PAPD,,2 为直角梯形，其中BC?AD, AB?AD, ,O为AD中点( ABCDABBC,,1 P ADO BC (1)求直线与平面POC所成角的余弦值; PB PCD(2)求B点到平面的距离; PQ6(3)线段PD上是否存在一点，使得二面角的余弦值为,若存在,求出QQACD,,3QD 的值;若不存在，请说明理由( 63PQ1【答案】(1);(2);(3)存在，( ,d,3QD23【解析】 试题解析:(1) 在?PAD中PA=PD, O为AD中点，所以PO?AD, 又侧面PAD?底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD， PO,PAD, P ADO BC 所以PO?平面ABCD( ,,,,,,uCPxy,,,，,0,，，u,1,1,1则，取得z,1 ,,,,,,uPDyz,,,,0,, ,,,,, BPu,3B点到平面的距离 d,,,PCD3u ,,,,,,,, (3)假设存在，且设( PQPD,,,,,(01) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,因为 PDOQOPPQOQ,,？,,,,？,,(0,1,1),(0,,),(0,,1),,,,所以， Q(0,,1),,, 考点:空间的角与距离(