【doc】无平方因子阶群的自同构群阶的上确界

【doc】无平方因子阶群的自同构群阶的上确界 无平方因子阶群的自同构群阶的上确界 总32卷第3期 1999年g月 数学研究 JournalofMathematicalStudy VoL弛No.3 Sep.1999 无平方因子阶群的自同构群阶的上确界 徐尚进 (y-西大学数学与信息科学系,南宁530004) 摘要群阶为素数方幂(即,一群)时已得到该群自同构群阶的上确界,而对于其他情形的 群,局样的同要复杂得多.本文在群阶无平方因子且为偶数时,给出了这娄群的自同构群阶的上 确界. 关键词群阶,自同构群,上确界 群阶具有什么样的性质就可以确定其自同构群阶的仅与群阶有关的上确界,是关于群与 其自同构群之间内在联系的一个很基本的问题,至今只有群阶为素数方幂时(即一群),这个 问题才得到圆满解决([引理1]).而至于其他群,同样的问题要复杂得多,目前也没有很好解 决?本文在群阶无平方园子且为偶数时,给出了该群自同构群阶的仅与群阶有关的上确界 ([定理1]). 本文所涉及的群均指有限群,且文中所引用某些记号若未加说明或有关幂零群,可解群等 浅显的结论均出自文献E4],仅此说明. 1记号与性质 记号l设一外p…P,(凡>l,紊园子分解,其中为素数,当J?t时,p,?.),记 .一】 (n)一??(一p}). 记号2记()={010为群,且}0l—). 以下几个性质是明显的: 性质l (,m)一1时,(4m)一pf)(m); (1)当 (2)若无平方因子,则(凡)一)(其中)为欧拉函数).特别(2)一1; (3)当是素数时,V0?()IAut(G)l一妒(n). 2主要引理 关于有限群的自同构群阶的上界问题,当群G的阶为某素数方幂群即G为P一群时已圆 国4=文于1998—07—05收到}国家自然科学基金资助项目(项目编号:19761001) ? 286?数掣研究t899拄 满解决并可以达到这个上界: 引理l设口为,一群,则]Aut(G)Ijp(If),特别当G为初等交换一群时, lAut(G)f一(IGI).[23 引理1可转述为:当为素数方幂时.则vG?s(),都有IAut(O)iIp(IG1),并jG? s(),使IAut(G)I=(IGI), 引理2设G为亚循环群,即 G",6Ia'一b'=l.ba一6'),其中(n.)=1,r'il(mm),则 (1)bJa'==4,{(2)G=(6'一.>;(3)Vt.(a6):6: 故由(2)直接得 Vg?,(ag)=a,才; (4)V,?G,I,I=-.反之,若IagI=t及g?(6>则?G,. 证明(1)由0"1=b,则a-tba'一b,即ba?一,而6Ja?一6J—lbd1=6laJbr~:6ealb~,' 一…=一. (2)由6卜.=D,]?G,,显然有(6一)G,. 再证0(6一).事实上任取gI=a~bJl,g2=a^?口,则 [l'2]一(g1)-1171,2一"6如a,)'446^一(6I,I)一.+^+ =6'一山6^^十宰6^一I)n一^?(6,一>. 即?一,. (3)用归纳法证:当l=1时显然成立,则 (a)(at6})宰4(6?)6j鲁=.+6j鲁=t+6害=+lb辑. (.)?十一一 (4)由(2),可设,一?G,,且(r—1)则 v},(町)?(abe)岛. 特别当=一时,由(r一1)lJ.mI(r',1),从而(a).=1, 另外当<4时,显然",)=a*bS-~?1,所l2llg6l=^. 反之,设(ag)'一l,则j^?0,使1(ag)'一a'g'^=g'^(=1),得,??,但(t, ii)一1,从而g?0,.证毕. 引理3条件同引理I,Vg?口,,及V<m且(1,m)=1, 定义映射 : {0--~矿Og 则映射or?Aut(0). 证明(j)由引理2之(4)及",m)=1fagf=及f矿f=m,即ag,仍为生成元. (2)由引理2之(1),有6=,又由g?0及l理2之(2),,与6可换,于是 (ag)(ag)一,4ab,=,6g=(6)'.即ag,矿仍满足生成关系. 综之,口?AuE(),证毕. 引理4设G为可解群,则IAuI(0)IIK(G)p(IGI).[1] 第3期徐尚进:无平方日子阶群的自同构群阶的上确界?297? 其中?(G)=nK,(G) 称为G的幂零乘余(而K.(口)=,G,…,G]).显然alK(G)是幂零群 推论设G为可解群,则lAut(G)lllG}(101). 证明因?(0)2(G)一G,辛l?(G)lIf口Jl-再由引理4即得 3主要结论 定理l当2ln,且n无平方因子时,有 (1)VG?(H),lAut(0)Il?(H)' (2)j0?(n),{Aut(0)I=?(8), 证明(1)由于21IGl且lGI无平方因子,所以G可解并存在指数为2的正规子群 8,显然2阶群o/n交换,所以G,故由引理4之推论,得 IAut(G)IIIGII)IlI11I0)=鲁(n) (2)构造亚循环群G,使口=<,bld一=1,ba=b''),显然0?(n).由引理2之 (2),有GI一<)=<6)IG,I=,又根据引理3做出的自同构()=(.F)共有 l.,l(号)个,从而IAut(G)lla,l(号).但困为号无平方因子,则号)=(号)= (2)(号)一).再由(1),即得IAt(G)l=lGI(号)=号(霄),证毕. 参考文献 镣尚进,有限群自同构群阶的上界,'广西大学'(自然科学版),1992,17(2):70~74 张远达.有限群构造(),北京.翠}学出版社,1982 BirkhoffG,HallP,OntheOrderofGroupsofAutomorphisms.TransAmerMathSo:,1936,39 =496~ ,199 GorensteinD.FiniteGrOUpS,NewYork.1982,1,200 SupremumoftheOrderofAutomorphismGroupof GroupsWhoseOrderisaSquareFreeNumber X"8hart#讯 (Dept,ofMathematicsandInformationSciencetGuangxiUniversity,Nanniag530004) AbstractI:swc11-krlOW1]thatthepr曲lemaboutthes~preJnumoftheordcrofautomorphismgroupof自- nite一grouphasbeensolved?Butthe.~tmeproblemogtgroupsofother[yp0isveryeompgeated?Int hispaper, we8.P-qW~rtheproblemforgroupswithevenordersfreeofsquarefactors. Keywordsorderofgroup,automorphismgroup,suprcmum