安徽省合肥市2009年高三第一次教学质量检测(数学理科)安徽省合肥市2009年高三第一次教学质量检测
数学(理科)试题
(考试时间:120分钟,满分150分)
一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的,)
1.不等式
的解集为
A.
B.
C.
D.
2.复数
的共轭复数
A.
B.
C.
D.
3...
安徽省合肥市2009年高三第一次教学质量检测
数学(理科)试题
(考试时间:120分钟,满分150分)
一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的,)
1.不等式
的解集为
A.
B.
C.
D.
2.复数
的共轭复数
A.
B.
C.
D.
3.曲线
上到直线
距离等于1的点的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知
,则
A.
B.
C.
D.
5.已知
是等差数列
的前n项和,
并且
,若
对
恒成立,则正整数k构成集合为
A.
B.
C.
D.
6.将A.B.C.D.E排成一列,要求A.B.C在排列中顺序为“A.B.C”或“C.B.A”(可以不相邻),这样的排列数有( )种。
A.12 B.20 C.40 D.60
7.已知命题:“若
则
”是真命题,则下面对
的判断正确的是
A.
与
一定共线 B.
与
一定不共线
C.
与
一定垂直 D.
与
中至少有一个为0
8.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是
A.3 B.
C.2 D.
9.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是
A.
B.
C.
D.
10.曲线
与直线
及x轴所围成的区域的面积是
A.
B.
C.
D.
11.如图,该程序运行后输出的结果为
A.14 B.16 C.18 D.64
12.函数
在
上单调,则a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二.填空题:(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)
13.
展开式中的常数项为___________.
14.写出命题:“对任意实数m,关于x的方程x2+x+m = 0有实根”的否定为:___________________
15.以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________.
16.观察下
的第一列,填空
等差数列
中
正项等比数列
前n项和
前n项积
三.解答题(本大题共6个小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知函数
(1)求函数
的最小正周期和最值;
(2)
图像与其上点P经平移后分别得到函数
图像与点Q,并且
函数是奇函数,当
取最小值时,求
以及
18.(本小题满分12分)
已知数列
的前n 项和是
,满足
(1)求数列
的前n项和
;
(2)求证:
19.(本小题满分12分)
某考生参加一所大学自主招生考试,面试时从一道数学题,一道自然科学类题,两道社科类题中任选两道回答,该生答对每一道数学.自然科学.社科类试题的概率依次为0.7.0.8.0.9.
(1)求该考生恰好抽到两道社科类试题并都答对的概率;
(2)求该考生在这次面试中答对试题个数
的数学期望。
20.(本小题满分12分)
如图,O 是半径为2的球的球心,点A.B.C在球面上,OA.OB.OC两两垂直,E.F分别是大圆的弧AB与AC的中点。
(1)
求证:EF//面OBC;
(2) 求多面体OAEBCF的体积;
(3) 建立适当的空间直角坐标系,求
的坐标,
并求异面直线OF和CE的夹角的余弦值。
21.(本小题满分12分)
已知函数
且e为自然对数的底数)。
(1)求
的导数,并判断函数
的奇偶性与单调性;
(2)是否存在实数t,使不等式
对一切
都成立,若存在,求出t;若不存在,请说明理由。
22.(本小题满分14分)
设A.B为椭圆上
的两个动点。
(1)若A.B满足
,其中O为坐标原点,求证:
为定值;
(2)若过A.B的椭圆的两条切线的交点在直线x+2y=5上,求证直线AB恒过一个定点。
参考答案
一.选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
C
C
B
D
B
C
B
A
二.填空题:
13.
14.存在实数m,关于x的方程x2+x+m = 0没有实根
15.
或
16.
三.解答题:
17.解:(1)
最小正周期
的最大值为
,最小值为
………6分
(2)设
,所以
,
由题意知:
是奇函数
∴
且
∴
∴当m=0时,
取最小值,此时
………12分
18.(1)当
时,
当
时,
∴数列
是首项为1,公比为2的等比数列。∴
…6分
(2)
,记
∴
①
②
①
②:
∴
,即
………12分
19.(1)
………4分
(2)
, ………6分
同理:
………10分
这个考生在这次面试中答对试题的个数
的数学期望(均值)
………12分
20.(1)过E作EG⊥AO于G,连结FG,则FG⊥AO,所以EG//BO;FG//CO,
又EG∩FG=G,∴面EFG//面BCO,∵EF
面EFG,∴EF//面OBC. ………4分
(2)易求得
设CF的延长线交OA的延长线于P,BE的延长线交OA的延长线于Q
由对称性知P,Q重合,即多面体EFG-BCO是台体, ………6分
,则多面体OAEBCF的体积是
………8分
(3)分别以OB.OC.OA为
轴建立空间直角坐标系,则
∴
………10分
∴
∴异面直线OF和CE的夹角的余弦值为
………12分
21.(1)∵
∴
∵
对
恒成立,∴
在
上是增函数
又∵
的定义域为R关于原点对称,
∴
是奇函数。……6分
(2)由第(1)题的结论知:
在
上是奇函数又是增函数。
∴
对一切
都成立,
对一切
都成立,应用导数不难求出函数
在
上的最大值为
对一切
都成立
………10分
或
……12分
22.证明:(1)①若OA,OB的斜率都存在时,设OA方程为
,代入椭圆方程,得
同理,直线OB的方程为
+
②当直线OA.OB的斜率有一条存在另一条不存在时
或
或
(2)
也成立。 …………6分
设
,点
也在椭圆上
两式相减得
,令
得切线的斜率为
,切线方程为
,
再由点A在椭圆上,得过A的切线方程为
……8分
同理过B
的切线方程为:
,设两切线的交点坐标为
,则:
,即AB的方程为:
,又
,消去
,得:
直线AB恒过定点
。 …………14分
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