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安徽省合肥市2009年高三第一次教学质量检测(数学理科)

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安徽省合肥市2009年高三第一次教学质量检测(数学理科)安徽省合肥市2009年高三第一次教学质量检测 数学(理科)试题 (考试时间:120分钟,满分150分) 一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,) 1.不等式 的解集为  A.                           B.   C.                               D. 2.复数 的共轭复数 A.             B.             C.               D. 3...
安徽省合肥市2009年高三第一次教学质量检测(数学理科)
安徽省合肥市2009年高三第一次教学质量检测 数学(理科)试题 (考试时间:120分钟,满分150分) 一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,) 1.不等式 的解集为  A.                           B.   C.                               D. 2.复数 的共轭复数 A.             B.             C.               D. 3.曲线 上到直线 距离等于1的点的个数为 A.1                  B.2                C.3                D.4 4.已知 ,则 A.                 B.                 C.               D. 5.已知 是等差数列 的前n项和, 并且 ,若 对 恒成立,则正整数k构成集合为 A.                 B.               C.               D. 6.将A.B.C.D.E排成一列,要求A.B.C在排列中顺序为“A.B.C”或“C.B.A”(可以不相邻),这样的排列数有(    )种。 A.12          B.20          C.40            D.60 7.已知命题:“若 则 ”是真命题,则下面对 的判断正确的是  A. 与 一定共线                       B. 与 一定不共线  C. 与 一定垂直                        D. 与 中至少有一个为0 8.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是 A.3                B.                 C.2                D. 9.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 A.                   B.               C.                 D. 10.曲线 与直线 及x轴所围成的区域的面积是 A.                 B.               C.             D. 11.如图,该程序运行后输出的结果为 A.14                 B.16               C.18              D.64 12.函数 在 上单调,则a的取值范围是 A.                       B. C.                               D. 二.填空题:(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上) 13. 展开式中的常数项为___________. 14.写出命题:“对任意实数m,关于x的方程x2+x+m = 0有实根”的否定为:___________________ 15.以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________. 16.观察下的第一列,填空 等差数列 中 正项等比数列 前n项和 前n项积     三.解答题(本大题共6个小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 已知函数 (1)求函数 的最小正周期和最值; (2) 图像与其上点P经平移后分别得到函数 图像与点Q,并且 函数是奇函数,当 取最小值时,求 以及 18.(本小题满分12分) 已知数列 的前n 项和是 ,满足 (1)求数列 的前n项和 ; (2)求证: 19.(本小题满分12分) 某考生参加一所大学自主招生考试,面试时从一道数学题,一道自然科学类题,两道社科类题中任选两道回答,该生答对每一道数学.自然科学.社科类试题的概率依次为0.7.0.8.0.9. (1)求该考生恰好抽到两道社科类试题并都答对的概率; (2)求该考生在这次面试中答对试题个数 的数学期望。 20.(本小题满分12分) 如图,O 是半径为2的球的球心,点A.B.C在球面上,OA.OB.OC两两垂直,E.F分别是大圆的弧AB与AC的中点。 (1) 求证:EF//面OBC; (2) 求多面体OAEBCF的体积; (3) 建立适当的空间直角坐标系,求 的坐标, 并求异面直线OF和CE的夹角的余弦值。 21.(本小题满分12分) 已知函数 且e为自然对数的底数)。 (1)求 的导数,并判断函数 的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数t,使不等式 对一切 都成立,若存在,求出t;若不存在,请说明理由。 22.(本小题满分14分) 设A.B为椭圆上 的两个动点。 (1)若A.B满足 ,其中O为坐标原点,求证: 为定值; (2)若过A.B的椭圆的两条切线的交点在直线x+2y=5上,求证直线AB恒过一个定点。 参考答案 一.选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B C C B D B C B A                           二.填空题: 13.   14.存在实数m,关于x的方程x2+x+m = 0没有实根 15. 或     16. 三.解答题: 17.解:(1) 最小正周期 的最大值为 ,最小值为           ………6分 (2)设 ,所以 , 由题意知: 是奇函数 ∴ 且 ∴ ∴当m=0时, 取最小值,此时 ………12分 18.(1)当 时, 当 时, ∴数列 是首项为1,公比为2的等比数列。∴ …6分 (2) ,记 ∴       ① ② ① ②: ∴ ,即           ………12分 19.(1)                   ………4分 (2) ,                          ………6分 同理:           ………10分 这个考生在这次面试中答对试题的个数 的数学期望(均值) ………12分 20.(1)过E作EG⊥AO于G,连结FG,则FG⊥AO,所以EG//BO;FG//CO, 又EG∩FG=G,∴面EFG//面BCO,∵EF 面EFG,∴EF//面OBC. ………4分 (2)易求得 设CF的延长线交OA的延长线于P,BE的延长线交OA的延长线于Q 由对称性知P,Q重合,即多面体EFG-BCO是台体,    ………6分 ,则多面体OAEBCF的体积是 ………8分 (3)分别以OB.OC.OA为 轴建立空间直角坐标系,则 ∴         ………10分 ∴ ∴异面直线OF和CE的夹角的余弦值为       ………12分 21.(1)∵   ∴ ∵ 对 恒成立,∴ 在 上是增函数 又∵ 的定义域为R关于原点对称, ∴ 是奇函数。……6分 (2)由第(1)题的结论知: 在 上是奇函数又是增函数。 ∴ 对一切 都成立, 对一切 都成立,应用导数不难求出函数 在 上的最大值为 对一切 都成立   ………10分 或         ……12分 22.证明:(1)①若OA,OB的斜率都存在时,设OA方程为 ,代入椭圆方程,得   同理,直线OB的方程为   + ②当直线OA.OB的斜率有一条存在另一条不存在时 或 或 (2) 也成立。        …………6分 设 ,点 也在椭圆上 两式相减得 ,令 得切线的斜率为 ,切线方程为 , 再由点A在椭圆上,得过A的切线方程为             ……8分 同理过B 的切线方程为: ,设两切线的交点坐标为 ,则: ,即AB的方程为: ,又 ,消去 ,得: 直线AB恒过定点 。                    …………14分
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