带中间铰支压杆的长度系数

带中间铰支压杆的长度系数 带中间铰支压杆的长度系数 1，2 1，杨 峰王忠民 1 2 ( 710048; ，，西安理工大学 理学院西安 宝鸡文理学院 机电系宝鸡 721007) 杨 峰 :。，，摘 要带中间铰支的压杆比较常见把铰支看作刚度无穷大的弹性支承并利用脉冲函数建立 ，( DQ method) 。带中间铰支压杆的运动微分方程利用微分求积法得到复特征方程通过求解复特 ，，。征方程得出压杆复频率与轴向压力的变化关系以及铰支位置对杆长度系数的影响计算结果 : ，2 0. 699。明随着铰支位置从固定端逐渐移向自由端长度系数按照一定规律从 降低为 :; ; ; 关 键 词中间铰支刚度长度系数微分求积法 :O317:A:1003-872(8 2011) 07-1112-04中图分类号文献标识码文章编号 Length Coefficient of Compessed Column with r Intermediate Hinged-support 1，2 1 Yang Feng，Wang Zhongmin1 2 ( School of Sciences，Xi'an University of Technology，Xi'an，710048; Baoji College of Arts and Sciences，Baoji 721007) Abstract: Compressedco lumn with intermediate hinged-support is a very u seful structure, We treat the inhged- support as eala stic support iwth unlimited stiffness and simulate it with delta function, Differential equation of mo- tion is established, By using DQ method，numerical results of thee igen value equation werec alculated, The rela- tionship between frequency candomp ressive load and ther elationship betweenle ngth coefficient and its position is obtained, The result shows that when thheing ed-support moves from thecla mped end to the free end，ltehe ngth coefficient decreases from2 to 0.699 gradually, Key wods: intermediate hinged-support; stiffness ; length coefficient; DQ method r ，细长杆在受到压力时的失稳与短柱受压有所不工程实际中的边界条件更加复杂往往是几种。，。，同压力达到某一极限值时压杆的平衡由直线转 边界条件的综合对于悬臂梁中间带有铰支支座 ，，，。为曲线平衡再增加微小的侧向扰动力使之弯曲解 的长度系数在已有文献中未见报道王忠民研究 ，，。除干扰力后杆将保持曲线形状无法恢复原状内 了随从力作用下具有中间支 座梁的振动和稳定 ,4,，，。燃机空气压缩机蒸汽机的连杆都属于细长杆 。性研究了端部具有集中块和弹性约束的任意 ,1 : 3,，材料力学教材给出欧拉公式的普遍形式为 变截面直杆在任意分布的切向随从力作用下的动 ，、、态特性和稳定性讨论了弹性约束楔形比集中块 2 EI π的质量和转动惯量对杆的失稳形式和临界载荷的影 ( 1)P= cr2,5,( L) μ。Wang ( 2002) 响对自由端带有转动弹簧和线弹 : 。， 式中μ 为长度系数随着边界条件的不同所得的Beck Beck ，簧的 杆进行了颤振和屈曲分析给出了 ,1 : 3,,6, 。长度系数也有所不同。杆的颤振和屈曲转换的临界弹簧刚度赵凤群 ( 2003) 等研究了点弹性支承下非保守粘弹性杆的 ) 01 ) 11:2009 收稿日期 ( 10872163 ) ，:基金项目国家自然科学基金项目陕西省重点学科建 ,7, 资 金 项 目 和 陕 西 省 教 育 厅 专 项 科 研 基 金 项 目 Isaac Elishakoff 。稳定性 了随从力从提出到设专项,8,( 08JK394) 资助 。( 2007 ) 当前的研究现状赵凤群等研究了非保 ,9,:( 1972 ) ) ， ，作者简介杨 峰博士研究生研究方向为机械系统动力 。守功能梯度材料杆的后屈曲特性杨峰等研究 ，peakzon@ 163, com 稳定性,10,Beck 。了变截面 杆的动力特性以下将给出笔者 。得出的带中间铰支压杆的长度系数得到方程的无量纲化形式为 4 *2 *0 ，笔者研究刚度从 ? 变化的弹性支承当支 ? ) d Wd W *** + k W+ P) W= 0( ) )Ω δξ ξ a 42k，。承刚度为 ? 时该支承即可视为铰支支承利 ? ddξ ξ ，用阶跃函数建立压杆振动微分方程得到不同铰支 ( 7)0, 1ξ ? 。位置的固有频率及长度系数的变化得出铰支位于 : = L/ L 。式中ξ a1 。不同位置时的近似长度系数 边界条件无量纲化为 * dW* = 0:W= 0，= 0( 8a)ξ dξ 2 *3 ** d Wd Wdw * = 1:= 0，( 8b)= )P ξ 23dξ d d ξξ 。利用微分求积法可得到该问题复特征方程 2 复特征方程 微分求积法按照一定的规则在正规化区间选取 ，，节点并对全域上所有节点的函数值进行加权求和 1 图 带中间支承压杆 。得到函数及其导数在给定节点处的值 )5 = 10，N ，按照微分求积法取 ε取 节点如下 1 运动微分方程 = 1 ( 9)= 0，= ，= 1 ) ，ξεξεξξ1 ，L ，A 图 是带中间支承压杆图中 为杆长度为 1 2 N )1 N 。x = L( 横截面面积在 处有一弹性支承假设刚度为 1( 2i )1 ) 1 π= 1 )c osξ i， ， k，k = 0 ; k ) ; 22N相当于没有支承? 相当于铰支支承? I，P。E末端作用一轴向压力 梁的抗弯刚度为 横向挠 ( 10)( i = 3，4，…，N )2 )w。Bernoulli-Euler ，度为 根据 梁理论横向振动的运 Lagrange 采用 插值函数作为基函数 动微分方程为 N) ξ ξ i P( )= ( j = 1，2，…，N) ( 11)ξ j ? ) ξξ i = 12j i2 2 2 ww wij ? + P + A + kw( x )L )= 0EI ρδ1 2 2 , , 22 xxt( 10) ，x两边关于 ξ 在 ξ处求导可得一阶导对式 i ( 0( 2),x L)? 数的权系数为 : ( ) 。 式中δ为广义 δ 函数 N, 挠度可如下表示 ( ) )ξξ? i k , itωk = 1 2w( x，t) = W( x)e ki，j, ( 1)? = )1 i( 3) A( i j)=? i j N, : ; W( x) 。 式中ω 为固有频率为主振型( ) )ξξ? j k ( 12), k = 1 ( 3) ( 2) 式代入式有kj? , 42 N, d Wd W 2 1 ( 1) EI = 0+ P) AW + kW( x )L )ω ρδ 1 42 = A( i = j) i j? , dxdx () )ξξ k = 1i k, ki? 0,x L( 4)? 边界条件为利用递推关系N N 1)x = 0 固定端 处( k)( 1) ( 2 ) ( k )2)( k )1) = = AAAAA= ?i jik? kjik kj dW k = 1k = 1 W = 0， = 0( 5a) N dx ( k )1)( 1) …AAi，j = 1，2，…，N ( 13)? ik kj 2) = L x 自由端 处 k = 12 3 k dWdWdW可求得 阶权系数矩阵为 = )P ( 5b)= 0， EI32 ( k)( k)( k)dx dxdx AAA… 121N ，， 11 , , ( k)( k)( k) … AAA ( k) 21222N , , ,A, =( 14) 引入无量纲量, , 22 43 ), , W x PL AL kLρω ** ( k) ( k) ( k) … W=，k= = ，= ，P= ，ξΩ ，， AAA N2NN N1 LLEIEIEI ( 6) ( i = 3，…，a )1 ，a + 1，…，得到方程对应 ξ ( 6)i 30 1114机械科学与技 术第 卷 ) N )2 ) 各节点加权和系数形式 k1 := 0 2 ，表 中当弹性支承刚度时对应第 种N N *( 4)( 2 ) ** * ) = 0( 15)W+ PAW) WAΩ ? ikk ? ikkk = ( ，) ; k ( k情况一端固定一端自由? 文中选用 k = 1k = 16 * = 10) ( ，4 ，时对 应 第 种 情 况 一 端 固 定一 端 铰 : WN 。是 个节点函数值式中 k ) 。3 ，支以上两种情况的前 阶 固 有 频 率在 文 献 = ， 对应特定节点 ξξ附加条件使下式成立i a NN,11,。1 中已有论述表 即是本文所得结果与已有 ) ,, * ,* * ( 4)* ( 2 ) * ,+ PAW) WW+ k W= 0 ( 16)ΩA k ikkk? ik? k ( 2 ) ，文献的对比具体数值从图 的两端亦能看出 k = 1k = 1* , : W( 15) ，。。式中是各个节点的函数值与式略有不同二者非常接近 k ( 7) 边界条件对应节点的加权和系数形式 *= 0: W= 0，ξ j 1 N ( 1 ) * A( 17)= := 0Wξε 2 ? ikk k = 1 N *( 2) W= 1 ) : A= 0，ξε ? ikkN )1 k = 1N N ( 3 ) *( 1 ) * ( 18)= 1: AW= )P AWξ N? ik k ? ik k k = 1k = 1 ( 15) : ( 18) 方程方程可写出以下矩阵形式 2 3 图 不同弹簧刚度下前 阶无量纲固有2 ( 19)( ,Q, + ,R, + ,K,) { W }= 0ΩΩ jRe( ) ( L = L) 频率实部 ω变化 1 由此可以得到复特征方程为2 ( 20)det| ,Q, + ,R, + ,K,| = 0ΩΩ 0 ，3 当支承刚度由 开始增加时前 阶固有频率 2 ，2 : 随刚度的变化趋势如图 所示从图 可以看出随 3算例分析，1、2、3 ，1 着支承刚度的提高阶频率依次增大阶频 ，按照运动方程无量纲化部分无量纲轴向压力 ) 23 ) k,,100 ; 2 ,0 10 PL kL 率在 时增大幅度较大阶频率在 * P= ，k = ，无量纲铰支刚度 无量纲频率 Ω EIEI )) 324 ,10 ,10 k,k ; 3 10时增大幅度较大阶频率在 2 4 )bhL ρω = 。k L，一定刚度 的铰支位于确定位置 轴 )1 4 IE ; ,1 0，3 k时增大幅度较大当支承刚度 时前 阶频 P，向压力增加到某一临界值 时第一阶频率降低为 cr ，。率趋于稳定变化幅度不大 ，。零杆发生屈曲 3. 2不同铰支位置的压杆失稳分析 。3. 1下面考察铰支位于不同位置时压杆的稳定性 末端弹性支承下固有频率的变化 ，当弹性支承位于悬臂杆自由端时假设其支承刚 3 : 5 L图 图 分别为刚性支承位于 = 0，L= 11 0 : = 0 ，。k 度在 ? 之间变化当支承刚度 时相当于没 0. 5L，L= L ，，时压杆前三阶复频率变化情况其中 1; k = ，。有支承的悬臂杆当 ? 时相当于自由端增加铰支 。左右图分别为频率的实部和虚部1 3 表 为上述两种极端情况前 阶固有频率计算 。2 k = 0。值图 为压杆频率随刚度 ? 的变化情况? 1 3 表 前 阶无量纲频率 Ω 与已有文献的对比 11,,刚度 变量 本文 文献 2 3. 517 3. 515 )Ω ( ω 1 12 )22. 040 22. 030 ( )Ωω 2 2 k = 0 2 61. 710 61. 680 ( )Ω ω3 3 2 15. 420 15. 410 )( Ω ω 1 1 6( L= 0，k = 10 )3 3 图 前 阶复频率与随从力变化图 1 2 )49. 950 49. 970 ( )Ω ω2 2 k = ? 2 104. 240 104. 260 ( )Ω ω3 3 6 6 ( L= 0. 5L，k = 10 )4 3 图 前 阶复频率与随从力变化图 1 ( L = L，k = 10)5 3 图 前 阶复频率与随从力变化图 1 : : 1、2、3 3 5 P对比图 图 可知阶频率随着压力 3. 3 不同位置铰支的长度系数变化 ，P，1 的增加而降低达到一定临界值 时阶频率降 )cr k = ，下面为刚度 ? 铰支支座位于不同位置时0，。3 = 0 P= 2. 46; L，低为 压杆失稳图 中当 时图 1 cr L。长度系数 μ 随位置 的变化情况根据无量纲化部 1 4 L= 0. 5L P= 11; = L ，，5 L中 时图 中当 时在 1 cr 1 ** 2 ， ， : P = P，，P有可 分对本文所用无量纲量 EI / L P= 20. 2。: 由此可知随着铰支位置从悬臂杆固定 cr* 2 2 = / 。2 。 P知 πμ由此可得到长度系数 μ 如表 所示 ，。端向自由端移动压杆失稳的临界值逐渐增加 2 L表 不同铰支位置 下的长度系数 1 L/ L 00. 160. 20. 270. 30. 40. 50. 60. 680. 7940. 8370. 8511 2 2 2. 466. 06. 57. 87. 98. 91112. 914. 417. 318. 019. 120. 2 π/ μ 21. 281. 231. 121. 1171. 050. 950. 870. 8270. 7550. 740. 7180. 699μ 0. 699。L= 0. 444L 1; 6 ，L不同铰支位置下长度系数 μ 的变化如图 所其中大约在 处降低到 在 1 1 。: ， = 0. 5L = 0. 95。 示由图可以看出随着刚性铰支位置远离固定端处对应 μ = 2 ，L= 0. 444L ， 长度系数从 μ 开始降低大约在 处1 ,,参考文献1; = 0.5 L = 0. 95; = L LL降低到 在 处对应 μ 到 1 1 ，= 0. 699。时降低到 μ ,1, 单辉祖编著, 材料力学,M,, 北京: 高等教育出社，2002 , ( ) ,M,, : ,2, 刘鸿文主编材料力学第二版北京高等教育出版 ，1987社 , ( ) ,M,, : 孙训方等编材料力学第四版北京高等教育出版 3,,，2002社 , ,J,,王忠民具有中间支座的杆随从力作用下的稳定和振动 ,4,，1994，10( 1) :61 : 67西安理工大学学报 , ,J,, 王忠民弹性约束下非保守变截面杆的稳定性分析西安 ,5,，1997，13( 1) :51 : 57 理工大学学报 Wang Q，Quek T ,S Enhancing flutter and buckling capacity of column by piezoelectric layers,J,, International Journal of ,6,，Solids and Structures，2002，39( 6) : 4167 : 4180 赵凤群王 , ,J,, 点弹性支承下非保守粘弹性杆的稳定性分 析西忠民 ，2003，19( 3) : 320: 324 安理工大学学报 ,7, 6 图 不同铰支位置下长度系数 μ 的变化Elishakoff , Controversay ssoicated with the so-called follower I ,8, 4 结论forces : critical overview,J,, Applied Mechanics Reviews， ) 2005，58( 3: )117 : 142 1) ，k = 0 ，当铰支位于自由端时铰支刚度 时，，, 赵凤群王忠民刘宏昭非保守功能梯度材料杆的后屈曲分 9,, ) ,J,, ，2007，24( 6) :54 : 58= ; k ，工程力学 相当于悬臂杆铰支刚度 ? 时相当于一端固析 ，, Beck ,J,, 杨峰王忠民等变截面 杆的动力特性分析机械科 ，。，3 定一端铰支随着铰支刚度的增加杆的前 阶固 ,10,，2009，28( 3) : 322: 325 学与技术，。有频率依次增大并最后稳定在一定值 , ,M,, : 倪 振 华 编 著振 动 力 学西 安西 安 交 通 大 学 出 版 ,11, 2) ，1989当刚性铰支位置从固定端逐渐移动到自由社 ==，2 端时压杆失稳的长度系数从 μ 降低到 μ