无穷小的比较
第七节 无穷小的比较
教学目的:使学生掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 教学重点:用等价无穷小求极限
教学过程:
一、讲授新课:
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况,对于其商会出现不同的情
a,0,mn,bn0axa,n,m00a,b况,例如: (为常数,为自然,x,,m,nlimlim0m,n,00mx,0x,0bbx00,mn,,,,
数)
nmaxbx可见对于取不同数时,与趋于0的速度不一样,为此有必要对无穷小m,n00
进行比较或分类:
,x定义:设与,为在同一变化过程中的两个无穷小,
,,(i) 若,,,o(,)lim,0,就说是比高阶的无穷小,记为; ,
,,(ii) 若,,就说,是比低阶的无穷小; lim,,,
,,(iii) 若,,就说,是比同阶的无穷小; lim,C,0,
,,,,~,(iv) 若lim,1,就说与是等价无穷小,记为。 ,
222x,o(x)xx【例1】 当时,是的高阶无穷小,即;反之是的低阶无xxx,0
2x穷小;x 与是同阶无穷小;与是等价无穷小,即。 1,cosxsinxx~sinx
22x,o(x),x,o(x)o(x),o(x)注 1:高阶无穷小不具有等价代换性,即:,但,
o(,)因为不是一个量,而是高阶无穷小的记号;
2:显然(iv)是(iii)的特殊情况;
,~,,,~,,,~, 3:等价无穷小具有传递性:即;
12 4:未必任意两个无穷小量都可进行比较,例如:当时,与既非同xsinxx,0x
1xsinx阶,又无高低阶可比较,因为不存在; lim2x,0x
5:对于无穷大量也可作类似的比较、分类;
6:用等价无穷小可以简化极限的运算,事实上,有:
,,,,,,x定理:若均为的同一变化过程中的无穷小,且,及,,,,,,,,,,,,~,~lim,,,
,,,那么lim,,lim。 ,,,
1,cosx【例2】 求lim。 2x,0sinx
解:因为当时, x,0sinx~x
1cosx1cosx1,,limlim所以 。 ,,22x,x,002sinxx
arcsin2xlim【例3】 求 2x,0x,2x
解:因为当时,, x,0arcsin2x~2x
x222 所以 原式,lim,lim,,1。 2x,0x,0xxx,22,2
7:在目前,常用当时,等价无穷小有: x,0
12sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1,cosx~x; 28:用等价无穷小代换适用于乘、除,对于加、减须谨慎~ 二、课堂练习:
三、布置作业: