薛定谔方程

薛定谔方程 第二章,,薛定谔方程, 本章介绍:本章将系统介绍波动力学。波函数统计解释和态叠加原理是量子力学的两个基本假设。薛定谔方程是波动力学的核心。在一定的边界条件和初始条件下求解薛定谔方程～可以给出许多能与实验直接比较的结果。 ?2.1,,波函数的统计解释, ?2.1.1,,,,波动—粒子两重性矛盾的按照德布罗意的观点～和每个粒子相联系的都有一按照德布罗意的观点～和每个粒子相联系的都有一个波。怎样理解粒子性和波动性之间的联系～这是量子力学首先遇到的根本问题。 个波。怎样理解粒子性和波动性之间的联系～这是量子力学首先遇到的根本问题。 2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析能否认为波是由粒子组成, 能否认为波是由粒子组成, 粒子的单缝和双缝实验表明～如减小入射粒子强度～让粒子近似的一个一个从粒子源射出～粒子的单缝和双缝实验表明～如减小入射粒子强度～让粒子近似的一个一个从粒子源射出～实验发现～虽然开始时底片上的感光点是无规则的～但只要时间足够长～感光点足够多～底实验发现～虽然开始时底片上的感光点是无规则的～但只要时间足够长～感光点足够多～底片上仍然会出现衍射条纹。如果波是由粒子做成～那末～波的干涉、衍射必然依赖于粒子间片上仍然会出现衍射条纹。如果波是由粒子做成～那末～波的干涉、衍射必然依赖于粒子间的相互作用。这和上述实验结果相矛盾～实际上～单个粒子也具有波动性的。 的相互作用。这和上述实验结果相矛盾～实际上～单个粒子也具有波动性的。 能否认为粒子是由波组成, 能否认为粒子是由波组成, 比如说～电子是三维空间的物质波包～波包的大小即电子的大小～波包的速度即电子的速度～但物质波包是色散的～即使原来的物质波包很小～但经过一段时间后～也会扩散到很大的空间去～或者形象地说～随着时间的推移～粒子将越来越“胖”～这与实验相矛盾 经典物理 经典物理对自然界所形成的基本物理图像中有两类物理体系: 对自然界所形成的基本物理图像中有两类物理体系: ,一类是实物粒子 ,一类是实物粒子 ,另一类是相互作用场,波,经典粒子是以同时确定的坐标和动量来描述其运动状态～粒子,另一类是相互作用场,波,经典粒子是以同时确定的坐标和动量来描述其运动状态～粒子的运动遵从经典力学规律～在运动过程中具有确定严格的轨道。粒子的能量～动量在粒子限的运动遵从经典力学规律～在运动过程中具有确定严格的轨道。粒子的能量～动量在粒子限度的空间小区域集中,当其与其它物理体系作用时～只与粒子所在处附近的粒子相互作用～度的空间小区域集中,当其与其它物理体系作用时～只与粒子所在处附近的粒子相互作用～并遵从能量、动量的单个交换传递过程～其经典物理过程是粒子的碰撞,“定域”是粒子运动并遵从能量、动量的单个交换传递过程～其经典物理过程是粒子的碰撞,“定域”是粒子运动的特征。经典波动则是以场量,振幅、相位等,来描述其运动状态～遵从经典波动方程～波的特征。经典波动则是以场量,振幅、相位等,来描述其运动状态～遵从经典波动方程～波的能量和动量周期性分布于波所传播的空间而不是集中在空间一点～即波的能量、动量是空的能量和动量周期性分布于波所传播的空间而不是集中在空间一点～即波的能量、动量是空间广延的。波与其他物质体系相互作用时～可同时与波所在广延空间内的所有物理体系相互间广延的。波与其他物质体系相互作用时～可同时与波所在广延空间内的所有物理体系相互作用～其能量可连续变化～波满足叠加原理～“非定域”是波动性运动的特性。,,在经典物作用～其能量可连续变化～波满足叠加原理～“非定域”是波动性运动的特性。,,在经典物理中～粒子和波各为一类宏观体系的呈现～反映着两类对象～两种物质形态～其运动特点是理中～粒子和波各为一类宏观体系的呈现～反映着两类对象～两种物质形态～其运动特点是不相容的～即具有粒子性运动的物质不会具有波动性,反之具有波动性运动的物质不会具有不相容的～即具有粒子性运动的物质不会具有波动性,反之具有波动性运动的物质不会具有粒子性。综上所述～微观粒子既不是经典的粒子又不是经典的波～或者说它既是量子概念的粒子性。综上所述～微观粒子既不是经典的粒子又不是经典的波～或者说它既是量子概念的粒子又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性表示他们是具有一定的能量、动量和质量等粒子又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性表示他们是具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性～但不具有确定的运动轨道～运动规律不遵从牛顿定律,其量子概念中的波动性粒子的属性～但不具有确定的运动轨道～运动规律不遵从牛顿定律,其量子概念中的波动性并不是指某个实在物理量在空间的波动～而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被并不是指某个实在物理量在空间的波动～而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。,现在被物理学家们普遍接受的波函数解释是玻恩提出的统计解释。他认为～发现的概率。,现在被物理学家们普遍接受的波函数解释是玻恩提出的统计解释。他认为～粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质～既可以看成是大量粒子在同一实验中的统计结粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质～既可以看成是大量粒子在同一实验中的统计结果～也可以认为是单个粒子在多次相同实验中显示的统计结果。 果～也可以认为是单个粒子在多次相同实验中显示的统计结果。 ,玻恩的统计解释:波函数在某一时刻在空间的强度～即其振幅绝对值的平方与在这一点找,玻恩的统计解释:波函数在某一时刻在空间的强度～即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比～和粒子联系的波是概率波 到粒子的几率成正比～和粒子联系的波是概率波 ?2.1.2 波函数统计解释 ,,2r|,(r,t)|波函数的的特点:1.由于 给出在 时刻～粒子在 处出现的几率密度～因此原t波函数的的特点: ,,,,*()frdr,,(),fr,,则上可由统计平均公式: ,,*,dr, ,,,f(r),f(r),,(r,t)求出力学量 的平均值。在这种意义下～波函数描述了微观粒子的运 ,,r动状态～微观粒子的运动状态叫量子态。波函数应该是的单值、有界、连续函数。,(r,t) 3.不确定性: ,,a.常数因子的不确定性:若为常数～则 和描述同一个物理状态。 ,(r,t),(r,t)CC ,,i,b.相角的不确定性:由于 与 的模相同～因此不定。 ,(r,t),(r,t)e, 2,,4.可归一化: |,(r,t)|dr,1, 2,,,,,,5、容易将波函数统计解释推广到多粒子体系。6.描述|,(r,r？r,t)|drdr？dr,112n12n, 粒子微观运动的波函数与可以用其他量,如动量,为自变量。 i,,,p,r2,,1,,, ～ |C(p,t)|dp,1C(p,t),,(r,t)edr,3/2,(2),, 薛定谔,薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学,薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖 贝尔物理学奖 玻恩M.玻恩～(Max Born 1882，1970)德国理论物理学家～量子力学的奠基人之一。主要成玻恩 就是创立矩阵力学和对波函数作出统计解释。1954年因波函数的统计解释荣获诺贝尔物理学奖。 ?2.2态叠加原理,?2.2态叠加原理, 态叠加原理是量子力学中一个很重要的原理～这一节先作一些初步介绍～随着学习量子力学态叠加原理是量子力学中一个很重要的原理～这一节先作一些初步介绍～随着学习量子力学内容的不断深入～会不断加深对态叠加原理的理解。 内容的不断深入～会不断加深对态叠加原理的理解。 态叠加原理:,态叠加原理:, ,,,？,,,,,,如果,是体系可能的状态～则它们的线性叠加所得出的波函数,,,,如果,是体系可能的状态～则它们的线性叠加所得出的波函数12n n ,,c,，c,，？，c,,c,,,,1122nnii,1i 2|c|i,也是体系的一个可能状态,当体系处于,态时～出现,的概率是,～可以是,n也是体系的一个可能状态,当体系处于,态时～出现,的概率是,～可以是in2|c|,ii,1 有限的～也可以是无限的。,有限的～也可以是无限的。, 几点讨论: 几点讨论: a,？,aI.测量力学量得出的是一些可能值 但这些可能值的相对概率～或者说每个可能AI.测量力学量得出的是一些可能值 但这些可能值的相对概率～或者说每个可能1n 态的相对权重～是完全确定的。 态的相对权重～是完全确定的。 II.态叠加原理中所谓的叠加～是波函数的叠加～或者说是概率幅的叠加～而不是概率的叠II.态叠加原理中所谓的叠加～是波函数的叠加～或者说是概率幅的叠加～而不是概率的叠加。因而它必然会出现干涉、衍射等现象。 加。因而它必然会出现干涉、衍射等现象。 III.在量子力学中～对于概率波而言～波的干涉是描述粒子运动状态的概率波本身的干涉～III.在量子力学中～对于概率波而言～波的干涉是描述粒子运动状态的概率波本身的干涉～而不是粒子之间的干涉。 而不是粒子之间的干涉。 IV.一般来说～ 依赖于时间～是t的函数～因此态叠加原理不仅对某一时刻成立～而且随,IV.一般来说～ 依赖于时间～是的函数～因此态叠加原理不仅对某一时刻成立～而且随 时间的变化～态叠加原理仍然成立。 时间的变化～态叠加原理仍然成立。 ?2.3薛定谔方程,?2.3薛定谔方程, ,经典力学中～体系运动状态随时间的变化遵循牛顿力学。和经典力学类似～我们也应建立,经典力学中～体系运动状态随时间的变化遵循牛顿力学。和经典力学类似～我们也应建立一个决定波函数随时间变化规律的方程式。从物理上～这个方程式必须满足下述条件: 一个决定波函数随时间变化规律的方程式。从物理上～这个方程式必须满足下述条件: I.由于波函数满足态叠加原理～而态叠加原理对任何时间都成立～因此描述波函数随时间变I.由于波函数满足态叠加原理～而态叠加原理对任何时间都成立～因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。II.方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量～不应含有和个别粒化的方程应该是线性方程。II.方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量～不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的量～如动量。 子运动状态特定性质有关的量～如动量。 III.因为波函数的自变量是坐标和时间～因此它必然是关于坐标和时间的偏微分方程。 III.因为波函数的自变量是坐标和时间～因此它必然是关于坐标和时间的偏微分方程。 IV.由于经典力学是量子力学的极限情况～因此这个方程必须满足对应原理～当 取经典极限IV.由于经典力学是量子力学的极限情况～因此这个方程必须满足对应原理～当 取经典极限时～它能过渡到牛顿方程。 时～它能过渡到牛顿方程。 V.对于自由粒子～这个方程的解应该是单色平面波的波函数。 V.对于自由粒子～这个方程的解应该是单色平面波的波函数。 ,方程的建立 ,方程的建立 ,,,,,i(k,r,wt)i(p,r,Et)/, 对平面波式 ,(r,t),Ae,Ae 对平面波式 ,222 分别对坐标和时间求微商后得:,,,,,p,～ i,,,E, 分别对坐标和时间求微商后得:～ ,t ,由上两式可以看出能量与动量作用在波函数上的结果与算符 及作用在波函数上i,,i,由上两式可以看出能量与动量作用在波函数上的结果与算符 及作用在波函数上,t ,的结果相同～即存在对应关系:p,i,, ,1926年～薛定谔推广E,,i,,的结果相同～即存在对应关系: ,1926年～薛定谔推广,t 上述规则到一般情况～建立了描述波函数演化规律的薛定谔方程～得到薛定谔方程:上述规则到一般情况～建立了描述波函数演化规律的薛定谔方程～得到薛定谔方程: 2,,,,,2ˆ i,,(r,t),H,(r,t),(,,，U(r,t)),(r,t) ,t2m 薛定谔方程式量子力学的基本假设之一～但必须指出～我们并未建立薛定谔方程～因为只知薛定谔方程式量子力学的基本假设之一～但必须指出～我们并未建立薛定谔方程～因为只知道微分方程的解是不足以建立微分方程的。B.以上对应关系式,2.3.3,式～只是在直角坐道微分方程的解是不足以建立微分方程的。B.以上对应关系式,2.3.3,式～只是在直角坐标系中的对应关系～在其他坐标系中不一定成立。 标系中的对应关系～在其他坐标系中不一定成立。 ,U(r,t)下面我们讨论一下定态情况:若势能不显含时间～则薛定谔方程可用分离变量法t ,,,,,(r,t),,(r)f(t),(r,t),,(r)f(t)求解～此时可令 :将上式代入薛定谔方程并用遍除 2,df,,,,2等式两边～可得:i,～ ,,,(r)，U(r),(r),E,(r) ,Ef～ 2mdt 此即定态薛定谔方程。 i,Et,,,(r)方程,2.3.5,的解可直接给出为 代入,2.3.4,并将吸收入中去～f(t),cec i,Et,,,并有归一化条件来确定～有～按照德布罗意关系～就是体系出于这个E,(r,t),,(r)e 波函数所描写的状态时的能量。由此可见～体系出于上述波函数所描述的状态时～能量具有 确定值～这种状态称为定态。波函数称为定态波函数。以表示体系的能量算符的第个Enn iEn,t,,,本征值～是与相应的波函数～则体系的第个定态波函数是 ,(r,t),,(r)e ,Ennnnn含时的薛定谔方程的一般解～可以写成这些定态波函数的线性叠加: iEn,t,,,,,(r,t),,(r,t),,(r)e,,,,nnnn ,, ,, ,, ,, ?2.4概率流密度与概率流守恒定律,本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率?2.4概率流密度与概率流守恒定律,本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率 将怎样随时间变化。 将怎样随时间变化。 ,,r,设描述粒子状态的波函数是,(r,t)～在时刻、在点周围单位体积内粒子出现的几率是t,设描述粒子状态的波函数是～在时刻、在点周围单位体积内粒子出现的几率是 ,,,w(r,t),,*(r,t),(r,t) ,w,,,,*,几率密度随时间的变化率为 ,*，由薛定谔方程及其共轭:,,,几率密度随时间的变化率为 ,t,t,t,,,i,1,*i,122～ 可得:,,,，U,,,,,*,U,*,t2mi,,t2mi,,wi,i,22令:,,(*,,,,,,*),,(,*,,,,,,*),t2m2m ,i, J,,(,*,,,,,,*)2m ,,w称为概率流密度～由,2.4.1,式得:,2.4.2,式就是概率流守恒定律对，,,J,0概率流守恒定律,t ,d上式两边同时对任意空间体积积分 VwdV,,JdS,,,,,dts这是概率流守恒定律的积分表示。此式表明～在空间某体积内发现粒子的概率在单位时V概率流守恒定律的积分表示。 间内的增量～必定等于在同一时间内通过的边界流入体积的概率。 VSV ,,,2r若以粒子的质量乘和～则有:是在时刻在点的质量密Jtw,mw,m|,(r,t)|mwm ,,,,wi,m，,,J,0度。是质量流密度～满足:即量子(,*,,,,,,*)J,mJ,,mm,t2 力学中的质量守恒定律。 ,,,w,ewB.同样～以粒子电荷乘和J后～得到是电荷密度～是电流密度～ JeJew,ee ,,we，,,J,0方程 e,t 是量子力学中的电荷守恒定律。 ?2.5一维方势阱本节将以一维定态为例～求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定?2.5一维方势阱 定态的能量E～从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。 |x|,a0 粒子在势阱势能为零～?2.5.1一维无限深方势阱已知粒子所处的势场为:,U(x),,|x|,a 在阱外势能为无穷大～在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深方势阱。其定态薛定谔方程 2222,,,,dd为: ～ 当 时～根|x|,a|x|,a,,E,,，U,,E,U,,2222mmdxdx 据波函数的连续性和有限性条件得:,,0 |x|,a～ 2mE令: ,,2, 2,d2则薛定谔方程可简写为: |x|,a～ ，,,,02dx 它的解是:,(x),Asin,x，Bcos,x|x|,a ～ 利用边界条件 ,|,0,|,0及～得 x,ax,,a ～ Asin,a，Bcos,a,0,Asin,a，Bcos,a,0 222n,,带入,2.5.1,得体系的能级:E n,1,2,3,？ ,n28ma 显然～一维无限深方势阱的能谱是分立谱～这个分离的能谱就是量子化了的能级。 由图可以看出，在不同能级上粒子出现的概率密度是不同的。在基态，粒子出现的概率在E4阱区中部为最大，而越靠近阱壁概率越小，阱壁上概率为零。在激发态，粒子在阱内出现n,4的概率是起伏变化的，随着量子数的增大，起伏变化越来频繁。而在经典物理中，粒子n 在阱内各处出现的概率是相等的。,由图可以推断，只有当量子数很大时，粒子在阱内n各处的概率才趋于均匀。 22E3,,n,3粒子的最低能量状态称为基态，就是的状态，基态能量为 n,1E,,028ma此本征值能量称为零点能，是束缚在无限深方势阱内粒子所具有的最低能量。归一化以后E2n,21n,,,0,sin(x,a)|x|,a|x|,a的波函数为: ， 。我们把粒子只能束,nn2aa E1n,1 x,0x,0xa,xa, 缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态称为束缚态。 ?2.5.2一维有限深方势阱 |x|,a/20求解势场为 的薛定谔方程。讨论E,U的情况:在区，U(x)|x|,a/2,U(x),0U0|x|,a/2 2,d22相应的薛定谔方程是，在时，有界的,k',,0k',2m(U,E),,x,,,02dx k'x,k'x解是: ， 在 区，薛定谔,(x),,(x),Be|x|,a/2Aex,a/2x,a/2 2,d22方程是:， k,2mE/,，k,,02dx 其解为 ,,A'sinkx，B'coskx 1.在|x|,a/2 区，取,(x),coskx，解取有偶宇称的情况 ka利用 处波函数对数微商的连续条件都可得 引入x,,a/2ktg,k'2 kak'a可将(2.5.3)是改写为 ,tg,,, ,,,,,22 22mUaa22220另外，又(2.5.1)和(2.5.2)有可得 ，,(k，k'), ,,242,联立(2.5.5)--(2.5.6)式，解出,,,，再由(2.5.4)可给出能谱。 |x|,a/2,(x),sinkx2.在 区，取，解取有奇宇称的情况 ,,ctg,,,同样，利用波函数对数微商在 连续条件得: x,,a/2 ,,,同样，联立(2.5.6)--(2.5.7)式，解出 ，再由(2.5.4)可给出能谱。 (2.5.5)--(2.5.7)都是超越方程，可用图解法求出能谱。 ,,,在 平面中分别就(2.5.5)与(2.5.6)式作相应的曲线，曲线的交点表示具有偶宇,,,,tg,称是相应的能谱。如上图。由以上图可见，对于偶宇称态，由于曲线 经过原点， 23因此无论多么小，两条曲线总有交点，这意味着至少有一个束缚态，且相应的宇称为Ua0 ,,,,tg,,,,tg偶。 2 22,,，,41 22,,，,1 , 124,/233/2, , 3 ,,,,,ctg 2 1 , 124,/23, 同样，作(2.5.6)和(2.5.7)式相应曲线，他们的交点表示波函数其宇称时相应的能谱。 所得结果见上图。 2222mUa,,,2220由以上图可见，对于奇宇称态，当且仅当 时，即当Ua，,,,,,0242m2,时，曲线才有交点，才出现奇宇称态解。显然，一维无限深势阱的结果可作为一维方势阱 222nh,U,,的特例得出。当时，可得E这正是阱宽为的一维无限深势阱的能谱,a0n28ma公式。 ,, ,, ,, ,, ,, ,, ?2.6,,一维方势垒 ?2.6,,一维方势垒 前面讨论了束缚态，这一节我们讨论散射态首先讨论一维方势垒问题。 0x,0,x,a 势垒为 设能量为的粒子从势垒的左方向右方运动，下面分别就U(x),{E0,x,aU0 E,UE,U与来讨论。 00 E,U1. 的情形 0 ,(x)此时，满足的薛定谔方程为 2,d2ml,，E,0？？？？x,0,l22dx, 2,d2mm, ，(E,U),0？0,x,a0m22dx, 2,d2mr，E,,0？？？？x,ar22dx, 2mE2m22为方便起见，令方程可改为: k,,k,(E,U)12022,, 2,d2l,，k,0？？？？x,0,1l2dx 2,dikx,ikx2m11,其解分别为 ，k,0？0,x,a,(x),Ae，A'e2ml2dx 2,d2r，k,,0？？？？x,a1r2dx ,ikxikx221 ,(x),Be，B'em ikx,ikx11 ,(x),Ce，C'er 利用在 和处波函数连续性和波函数微商连续性条件x,0x,a A，A',B，B' kA,kA',kB,kB'1122 ika,ikaika221Be，B'e,Ce ika,ikaika221kBe,kB'e,Cke221 222(,)sinikkka122可得出A',C',与关系AA Aika,ika2222(,),(，)kkekke1212 ,ika1,4kke12, CA ika,ika2222(,),(，)kkekke1212 ,k21J,|A|由概率流密度公式可得入射波的概率流密度为 透射波的概率流密度为:,m ,k,k2211J|C|J|A'|,反射波的概率流密度为:,反射系数为:TRmm 22222J(k,k)sinka|A'|R122R,,,透射系数为:2222222J|A|(k,k)sinka，4kk,12212 222J4kk|C|T12T,,,由上两式可见，一般情况下，透射系数 2222222J|A|(k,k)sinka，4kk,12212 ，反射系数，而这之和为1。这表明，在量子力学中，即是粒子的能量大于势R,0T,1 垒高度，仍有部分被反射回来。这正是微观粒子具有波动性的体现。由第二式可见，一般情况下透射系数 ，当 的特定情况下，其透射系数 ，这种情形下的T,1T,1ka,n,2 透射现象叫做共振透射。 2. 的情形 E,U0 2m2此时，为虚数。但若令 k,ik，则 系数关系变为k,(U,E)k233022, 22(，)kkshka133 A',A222(,)，2kkshkaikkchka133133 ,ika12ikke13反射系数和透射系数为:C,A222(,)，2kkshkaikkchka133133 22222(k，k)shkaJ|A'|133RR,,, 2222222J|A|(k，k)shka，4kk,13213 2224kkJ|C|13T由此可见，反射系数 和透射系数 T,,,R,02222222J|A|(k，k)shka，4kk,13313 ，且二者之和等于1，这表明，在量子力学中，即使粒子的能量小于势垒的高度，粒T,1 子仍有一部分透射过去。 这种粒子在其能量 U小于势垒高度时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫 E0 隧道效应，又叫隧穿效应隧道效应的应用:1.扫描隧道显微镜(STM)是电子隧道效应的重要应用之一。 扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原子排布的表面三维图案。 在表面物理、材料科学和生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值的信息。 2.隧道二极管是一种利用隧道效应的半导体器件，也是隧道效应的重要应用之一。 由于隧道效应而使其伏安特性曲线出现负阳区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特点。 隧道二级管是低频放大器、低频噪声振荡器和超高速开关电路中的重要器件。 ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ?2.7,一维谐振子 ?2.7,一维谐振子 本节我们来讨论一维谐振子问题。 22,d122ˆ一维谐振子的哈密顿量为:H,,，mwx满足的定态定谔方程为:22m2dx 22,,1mw2Ed22,x,,,,为方便求解，引入系数: ,，mwx,,E,,,,,2,,w22mdx 2,d2则方程可改写为:，(,,,),,0 2d, 2,,,,,这是一个变系数的二阶常微分方程，当 很大时，，上式中的可略去。从而，, 2,d2得到上式的渐进方程 ,,,,0 2d, 2,,/2,,Ae,,,,其解 就是原方程的解，又由于波函数在时的有限性条件，得 2,,/2,,Ae 为了求出在整个空间都合适的解，可以将系数视为 的某一特定函数 ，假设方,H(,)A 2,,/2程的解为 ,,H(,)e 在有限时应该有限，在 时它的行为也必须保证波函数有限。代回薛定谔H(,),,,,, 2dHdH方程，得到待定系数满足的方程 H(,),2,，(,,1)H,02dd,, ,vH(,),a,对作泰勒展开 H(,),v0v, v,2v,1v可由 av(v,1,),2av,，(,,1)a,,0,,,vvvvvv ,，2v1,,得 aa v，2v，，(v1)(v2) a2v,,v，2当 时，H(,)的渐进行为是 ,,,,v,,avv 2,与 的渐进行为相同。若H(,)为无穷级数时，,(,)在 ,,, 时将趋向无穷大。为e 了在 ,,,H(,)H(,)时，波函数仍有限，必须断为多项式。因为如果是多项式，当 2,/2,,,时，它趋于无穷的行为永远比 趋于零慢，从而保证了,(,)在 是,,,有e ,,1,2n,n,0,1,2,？限。由(2.7.2)可知方程(2.7.1)有解的条件为 此时，有 2dHdHnn, ,2，2nH,0n2,d,d 这是厄米方程，其解为厄米多项式。厄米多项式有三种重要表示:1.级数表示: n[]k2,n(1)!n,2kH, ,()(2,),nkn,k!(2)!k,0 nnnn,1式中为偶数时; 为奇数。 [],,n[],,n2222 nn,2222dn,tn,,,,H(),(,1)ee积分表示: H(,),(,，it)edt3.微分表示: nnn,,,,d, 厄米多项式具有如下性质: dH1n,2nH(,)微分性质正交归一性:递推关系,H(,),H(,)，nH(,)n,1nn，1n,1d,2 ,,2n,,f(,),cH(,)完备性: eH,()H(,)d,,2n!,,,nnnn'nn',,,0n, ,21,,式中的展开系数为: c,ef(,)H(,)d,nn,n,,2n!, 1由式(2.7.1)即可得能量本征值 为: E,(n，),w,n,0,1,2,？En2 122,x2,(x),Ne叫振动量子数。从而其波函数为:H(,x)式中归一化常数N为:nnnnn ,由(2.7.2)可见，一维谐振子的能量也是量子化的，并且能量间隔相等，N,nn2n!, 1为。一维谐振子基态能量: 叫零点能。,经典与量子的比较 ,wE,,w02 按经典力学的结论，一维谐振子的能量如图谐振子只能处于x,|A|的范围内,x,|A| 的区 Ux()域则是经典禁区。 而在量子力学中，由于隧道效应，粒子可以到达经典进取，也就是说在所谓经典禁区内发现粒子的概率不为零。按经典力学的规律，在处振子的速度最大停留时间最短，在 x,0 处振子的速度为零停留时间最长。将这一规律应用于微观粒子，自然会得到在x,,Ax,0E 处粒子出现的概率最小，而在 处粒子出现的概率最大。而实际情况如何呢,由x,,A NMn,0,1,2 时的波函数及概率密度的图: 可以看出，在量子数 较小的时候，粒子位置的概率密度的分布与经典结论明显不同。 n 可以推断，随着量子数的增大，概率密度的平均值将越来越接近经典结论。 n ,0,1 ,2 n,0n,2n,1 x ,A0A x xx 22n,2,,012, 2n,0n,1 xxx ?2.8一维周期场 设空间周期为 ，考虑到势场 U(x)的周期性条件:U(x，nl),U(x),为任意l,a，bn 22,,d整数。则在晶格周期势场中运动粒子的薛定谔方程为 ,，U(x),(x),E,(x)22mdx 显然，,(x),,(x，l),？,,(x，nl)都满足上述薛定谔方程，并且具有同一本征值，从E 2n而可以得到 :,(x，l),c,(x),,(x，2l),c,(x),？,,(x，nl),c,(x) 其中为一常数。 c ,(x，nl),,由波函数的有界性，当 时，若为实数，必使。 n,,c i,,i,i,所以， 必为复相因子，令则:,(x，l),e,(x), ,*(x，l),e,*(x), c,ec 22|,(x，l)|,|,(x)|,所以，粒子在空间呈现的几率也是周期性的。在某一个周期 内，定态薛定谔方程为 ,b,x,a 2,d2m ，(E,U),,0,,b,x,0022dx, 2,d2m ，E,,0,0,x,a22dx, E,UE,UE,U下面就和 两种情况分别讨论:1. 的情况 000 mE,U2()mE2220,,,令 , ,,22,, i,x,i,x 则方程的解为:,(x),Ae，Be,b,x,0 i,x,i,x 同理下一个周期,(x),Ce，De0,x,a ,ii,(x,l),i,(x,l)中的解为: ,(x),e(Ae，Be)a,x,a，la,x,l ,ii,(x,l),i,(x,l) ,(x),e(Ce，De)l,x,a，l ,ia,,iai,,i,bi,b由在 处的连续性条件 Ce，De,e(Ae，Be)x,a ,ia,,iai,,i,bi,b在处的连续性条件 ,(Ce,De),,e(Ae,Be)A，B,C，D,x,0 ,(A,B),,(C,D) A，B,C,D,0 稍加整理，有: A,B,C，D,0,,,, ,i(,,b)i,(，,b),i,ai,aeA，eB,eC,eD,0i,(,,b)i,(，,b),i,ai,a具有非零解的条件是其系数行,eA,,eB,,eC，,eD,0A,B,C,D 11,1,1 ,,,,,,列式为零,0 ,,,,,,i(,b)i(，b)iaia,,eeee ,i(,,b),i(,，b),ia,i,a,e,,e,,e,e 展开并整理，再除以4,,得 ,,,ii2,1,e(2cos,acos,b,sin,asin,b,sin,asin,b)，e,0 ,, 22,,，i,i,,i,所以 e(e，e,2cos,acos,b,sin,asin,b),0 2,, 22,,，于是cos,cos,acos,bsin,asin,b ,,2,, 上式为一超越方程，为简单起见，只讨论 2m22E,U,,1只讨论的极限情形，此时，有 ,，,,(2E,U),002, 2m ,,,E(E,U)02, 222,,2E,U，2m,0,(2E,U)，,022,,,4mE(E,U)2E(E,U)00同时，此时有:则: E1E,,,,12E,U2E(E,U)00 2m， cos,b,1,sin,b,,b,,b,(E,U),b,,102, ,,,abEa1Esin,所以，由于,,a,cos,cos,a,bsin,acos,E,U,a2EU200 2m ,,,E(E,U)02, ,,abmaasinsin,,,则 aEar,,,,coscoscos2,a,a, abm这里 ,1,cos,,1 r,E,2, ,asinsin,a,只有当ar的值在 1与-1之间时对应的 值才是允许的能量取值。这样cos,,a,cosa,,,aa, 一来，其能量被分割成一段一段的带状结构。在带内能量可连续取值，叫做能带，而在能1带之间不能取值，叫做禁带。 2. E,U的情况 00,a2m2E,U,1在 时，,为虚数，令,,i,， ,,(U,E)002,sinix,isinhx,cosix,coshx,利用 22,,,有 cos,cos,acosh,bisin,asinh,b ,，允带 禁带 2i,, 2mU2m220E,,U,b,,1,,,此时取 的极限，得: ,,(U,2E),0022,, 22,,,2,UEUEU,2m2m000,,,， ,,,E(U,E),EU0022,,EE,,E(U,E)0,b,,1cosh,b,1,sinh,b,,b设，则有 ， ,,,UE,baa1sin0,,,,,aaa ,，,，coscossincosE,a,a2 abmUabm0,,(U,E)(U,2E),,,1其中 0022,, ,asin,,由图可见，只有当 的值在-1与1之间对应的 值才是允许的能量取acos，,asin,a，,acosa,,a,值，和相似。 E,U0 由此可见，无论是，还是 只要是在周期场中运动，粒子的能量都是带状E,UE,U00 结构，叫做能带结构。 允带 微观粒子既不是经典的粒子又不是经典的波，或者说它既是量子概念的粒子又是量子概念微观粒子既不是经典的粒子又不是经典的波，或者说它既是量子概念的粒子又是量子概念禁的波。其量子概念中的粒子性表示他们是具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性，但的波。其量子概念中的粒子性表示他们是具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性，但 不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿定律;其量子概念中的波动性并不是指某个不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿定律;其量子概念中的波动性并不是指某个 1实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。带 态叠加原理:,态叠加原理:, ,,,,如果,,,,？,,是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得出的波函数,,,,如果,是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得出的波函数12n,a n,1,,c,，c,，？，c,,c,,,,1122nnii,1i 也是体系的一个可能状态。,也是体系的一个可能状态。, 4(波函数随时间变化的规律是薛定谔方程:4(波函数随时间变化的规律是薛定谔方程: 2,,,,,2ˆ i,,(r,t),H,(r,t),(,,，U(r,t)),(r,t) ,t2m i2,Et,,,,,,2,若势能U(r,t)不显含时间，， ,,,(r)，U(r),(r),E,(r)t,,,e， 2m此即定态薛定谔方程，它是能量算符的本征值方程。 E,E以表示体系的能量算符的第个本征值，是与相应的波函数，则体系的第个定nnnnn iEn,t,,,,(r,t),,(r)e态波函数是 ，含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函nn iEn,t,,,,,(r,t),,(r,t),,(r)e数的线性叠加:。 ,,nnnn 5(波函数应满足三个基本条件:连续性、有限性、单值性。 ,i,w,,*,6(概率流密度与几率密度满足连续性方程 J,,(,*,,,,,,*)2m ,,w。7(定态薛定谔方程求解。 ，,,J,0,t 222n1n,,,,sin(x,a)|x|,a,,0|x|,aE，归一化波函数为: ， ,,nnn22a8maa 1本征值: E,(n，),w,n,0,1,2,？n2 122,x,2波函数为:式中归一化常数为:粒子在其,(x),NeH(,x)NN,nnnnnn2n!, 能量 小于势垒高度时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫隧道效应，又叫隧穿效UE0 应。 (4)周期场 无论是，还是 只要是在周期场中运动，粒子的能量都是带状结构，叫做E,UE,U00 能带结构。