22.2_.3一元二次方程的解法-公式法

22.2_.3一元二次方程的解法-公式法 22.2.2一元二次方程的解法—公式法 教 学 案 华坛山中学 温纳新 2012年9月 22.2 .2一元二次方程的解法—公式法 华坛山中学 温纳新 教学目标: 1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。 2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。 3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义 观点。 重点难点: 1、重点:掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程; 2、难点:对文字系数二次三项式进行配方;求根公式的结构比较复杂，不易记忆;系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。 教学过程: 一、问题导入 1、用配方法解下列方程: 123120xx,，,2x，15,10x3 (1) (2) 2、用配方解一元二次方程的步骤是什么, 用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)( (1)移项; (2)化二次项系数为1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; 2 (4)原方程变形为(x+m)=n的形式; (5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解( 3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢, 二、互动合作 2axbxca，，,,0(0)活动1:能否用配方法把一般形式的一元二次方程配方呢? 教师引导学生用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识: aa,0 因为，方程两边都除以，得 bc2xx，，,0aa 移项，得 bc2xx，,,aa bbbc222 配方，得x+x+()=-+()a2aa2a 2bbac,42()x，,224aa 即 2bac,4 22bac,,40a,04a问题1:当，且时，大于等于零吗, 2bac,4,0222bac,,4040a,a,04a让学生思考、，得出结论:当时，因为，所以，从而。 问题2:在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论, 2bac,,40 让学生讨论、交流，从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程 22bbac,4,,,bbac4x，,,x,2axbxca，，,,0(0)22aa2a的根为，即。 2axbxca，，,,0(0) 由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式: 2,,,bbac4x,22abac,,40 () acb 这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可 acb以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 2bac,,40思考:当时，方程有实数根吗, 活动2: 例1、解下列方程: 22 1、; 2、; 2x,x,1,0x，1.5,,3x 1223、; 4、4 x,3x，2,0x,2x，,02 教学要点:(1)对于方程(2)，首先要把方程化为一般形式; acb(2)强调确定、、值时，不要把它们的符号弄错; 2bac,4(3)先计算的值，再代入公式。 2xx,，,10例2、(补充)解方程 22bac,,,,，，,,,4(1)41130a,1b,,1c,1 解:这里，，， 因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。 让学生反思以上解题过程，归纳得出: 2bac,,40当时，方程有两个不相等的实数根; 2bac,,40当时，方程有两个相等的实数根; 2bac,,40当时，方程没有实数根。 三、展示交流 活动3 1、,37练习。 2、阅读,53“阅读与思考”。 四、巩固拓展 2m，2活动4:某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)x+(m-2)x-1=0提出了下列问题( (1)若使方程为一元二次方程，m是否存在,若存在，求出m并解此方程( (2)若使方程为一元二次方程m是否存在,若存在，请求出( 你能解决这个问题吗, 2 分析:能((1)要使它为一元二次方程，必须满足m+1=2，同时还要满足(m+1)?0( (2)要使它为一元一次方程，必须满足: 22,,m，,10m，,11m，,10,?或?或? ,,,m,,20m,,20(1)(2)0mm，，,,,,, 2 解:(1)存在(根据题意，得:m+1=2 2 m=1 m=?1 当m=1时，m+1=1+1=2?0 当m=-1时，m+1=-1+1=0(不合题意，舍去) 2 ?当m=1时，方程为2x-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 22 b-4ac=(-1)-4×2×(-1)=1+8=9 ,,,,(1)913, x= 224， 1 x=，x=- 122 1 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x=1，x=-( 12222 (2)存在(根据题意，得:?m+1=1，m=0，m=0 因为当m=0时，(m+1)+(m-2)=2m-1=-1?0 所以m=0满足题意( 2 ?当m+1=0，m不存在( ?当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3?0 所以m=-1也满足题意( 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得:x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 1 解得x=- 3 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1;当 1m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-( 3 五、归纳小结: 活动5:根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法,通常你是如 何选择的，和同学交流一下。 六、布置作业:数学作业本第6页22.2.2公式法