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NA列的中心极限定理

2017-12-26 6页 doc 28KB 19阅读

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NA列的中心极限定理NA列的中心极限定理 ( ) 文章编号 : 1674 - 9057 201101 - 0153 - 03 NA 列的中心极限定理 1 2 1 伍艳春, 孙梦雅, 王大王, ( )1. 桂林理工大学 理学院 , 广西 桂林 541004; 2. 广西民族大学 国际教育学院 , 南宁 530006 摘 要 : 讨论了有界 NA 列的渐近正态问题 , 利用截尾以及构造函数的方法 , 在 L ebe sgue条件下 , 得 到了 NA 序列的中心极限定理并给出了证明。 关键词 : NA 序列 ; 渐进正态性 ; 中心极限定...
NA列的中心极限定理
NA列的中心极限定理 ( ) 文章编号 : 1674 - 9057 201101 - 0153 - 03 NA 列的中心极限定理 1 2 1 伍艳春, 孙梦雅, 王大王, ( )1. 桂林理工大学 理学院 , 广西 桂林 541004; 2. 广西民族大学 国际教育学院 , 南宁 530006 摘 要 : 讨论了有界 NA 列的渐近正态问题 , 利用截尾以及构造函数的方法 , 在 L ebe sgue条件下 , 得 到了 NA 序列的中心极限定理并给出了证明。 关键词 : NA 序列 ; 渐进正态性 ; 中心极限定理 中图分类号 : O21114 文献标志码 : A f ″‖< ?, 则‖α 1 引言和引理 n α2 + - 2 - α 。 E | X |c‖f ″‖s?( ) Φ E f S/ s- fdα j nn n ?( 1983 年 Joag2D ev和 P ro schan引入了 NA neg2?1 j = n 1 / 2 21 / 2) 2 a tive ly a ssoc ia ted 的概念 , 由于 NA 在可靠性理 ( )= ESΦ= 其中 : s,为标准正 ( )E X n n j ? j = 1 论、渗透理论和多元统计分析中应用广泛 , 引起 态分布函数 。 了人们的高度兴趣 , 本文给出 L ebe sgue 条件下 NA [ 4 ] 3 设 { X ; n ? 1 } 的 p阶矩存在 , 当 0引理 n 序列的中心极限定理 。 < p ? 1时是任意随机序列 , 当 p ? 1时是 NA 零均 [ 1 ] 定义 1 称 r1v1 列 X , X , , X , n ? 2 是1 2 n np )(值序列 , 则 Π 0 < p ? 2, 有 E m ax | S | ? c E NA 的 , 若对 { 1, 2, , n } 的任意两个非空子集 A,j 1 ?1?j?n i = 1 p ( ( ) ( ) ) A, 均有 cov fX , i ?A, fX , j ?A? 0, 其 2 1 i 1 2 j 2 | X | 。i [ 5 ] 中 f, i = 1, 2, 是关于各变元单调的函数。称 r1v1列i 引理 4r1v1列 { X , n ?1} 是 NA的。Π m ?n [ X , n ?1 ]是 NA列 , 如果对任意 n ?2, X, X, , n 1 2 2, A , A , , A是集合 { 1, 2, , n } 的两两不交的非1 2 m X是 NA 的。 n 空子集 ,如果 f, i = 1, 2, , m ,对每个变元单调。i α 定义 2 设 f为 R上的实函数 , Π 0 0, 1 n n?? 1 / 2 n 1 / 2 22 1 12 σ ν -ES E 存在严格单调上升的自然数列 { n} , 0 = n< n< nZ k 0 1 j?n n j = 1 α n< , 对某一个 0 0。E j Z j1?j?n ?m n kj = 1 )( < ?, 2 ? k = 1 n k 由上可知 , 为证明定理成立 , 只需证明n j nnk k d 2 j- 1 j ?j ? N, r1v1SΠ n , mj - 1 j ( ( )) N 0,1 , k? ? 。3 / E YY jj? ? = X, 设 S相互独立 , 必 j = 1 j = 1 k n , m d k = n j- 1 +1 m n2 kkk ( ) 有 S/ ESN 0, 1 。n n( ) u = 记 U =Y , T = U = Y , G n+ j kjj kk k - 1 ? ? ? 2j = 1 j = 1 j = 1 ( ) 证明 由式 1 可知 , 当 n 足够大时 , 有 ES n 2( ) P T/ ET< u , u ? R。 k k? cn。 ( ) 在式 2 条件下 , 由级数的收敛性可知 , m / n 依据 L ebe sgue控制收敛定理 , EU = 0, E | U k kk k p ( ) | < ?, Π p > 0。由式 3 知 , 要证明定理的结论成 ( ) ? 0 k ? ?, 根据单调有界性原理 : ϖ k 有 m / nk k ? 1, 结合引理 3, 立 , 只需要证明 ( ) Φ ( ) ( )u = u 。 4 Π u ? R, 有 lim G( ε kΠ> 0, P m ax | Sε )n k - 1 | > nk??, j k - 1 1 ?j?m k ( ) 下面证明式 4 成立 。 m k 2 12 ( ) ( )c E | X || ? ν 1 / nE m ax | Sε ( ϖ u ? R, Π 0, 1 ], 构造函数 f , g : R ??k - 1 n, j j ?1?j?m k nk - 1 j = 1 k - 1 ε ε m k 2 R, 均三次可微 , 并且 m = c ? cm ax EXm kj 1 +k m k ? c1?j?m k ( ) ( ) n?fx , gx ? [ 0, 1 ]; nnk - 1 ε ε k - 1 nkk - 1 1, x ? u; ? cm / n? 0, k ? ?。 k k ( ) ? fx =ε ε0, x ? u +; 令 X ′= - jI+ X I+ jI, Y= X ′-( ) ( ( ) ) j X < - jj | X | ? jX > jj j i j j ε 1, x ? u - ; EX ′, Z = X - Y,( ) j j j j gx = ε 0, x ? u; 则 X ′, Y, Z 都是 X 的非降函数 , 由引理 4知 { X ′} , j j j j j α- 2 -, ‖g″‖? (εαε α ?ϖ? 0, 1 ],使 ‖f ″‖ ? c ε α{ Y} , { Z } 仍为 NA 列 , 且有 EY= 0, EZ = 0。结合 j j j j α- 2 -εc2 。 条件 0 < m ax EX< ?, 有 j 1?j?n [ 3 ] ε 当 = 1 时 , 上述满足条件的函数存在。 n nn 2 1 12 12( E X ) E ? EZ? - X ′) ( ) Z j j j ( ( ( ε 当 ? 0, 1 时 , 只要令 fx = f u + x -??j ε ?n n n j = 1 j = 1 j = 1 nε) ( ) ( ( ) ε) ) u /, gx = g u + x - u /。ε 1 2 ( ) ( ) = E [ X- X ′I+ I ]( )( )j j | X | ? j | X | > j j j ?2 n j = 1 ε( ) ) ( ( )显然 Π? 0, 1, 有 Eg T / ET? G u n2 1 2 ( ) ? EfT/ ET ,ε ( ) k k ? [ EXI+ jP | X| > j]( | X | > j) jj j ?n j = 1 2 ( ) Φ ( ) ( ) Φ ( ) 即 Eg T / ET- u ? G u - u ?nε k k k1 2 ( ) ? [m ax EXI+ jP | X| > j]( ) j | X | > jj j 2 ?j?n 1?n j = 1 ( ) Φ ( ) Ef T / ET - u 。 n所以 , 2 2 ? 0,? m ax EXI( | X | > j)j j ?j?n 1 ?n j = 1 2 Φ ( ) ( ) | Gu -u | ? +( ) Φ Ef T / ET -fdk ε ε k k?ε 那么 Π> 0, 由 M a rko v不等式知 nn 2 21 1 2 +( ) Φ EgT/ ET- gdεkk ε ε > P ?E ? 0。 Z Z ?2 j j??ε j = 1n j = 1n 所以 2 + Φ Φ ( ) Φ Φ ( )fd- u gd- u ε ε ?? n n 2 2 1 1 )( - Z E = EX j Y j?? ƒ I+ 2 I+ j Φ Φ fd- - 1 2 gdΦ ( Φ ) ε ε u + 2( )n u n j = 1 ? ?j = 1 ε k k k ε k k u +ε u2 +αE | X |I( )j | X | > jj Φ Φ εε+ 2 | g | d? I+ 2 I+ | f | d 1 2 ? ? εu u - ? α- 1 -α/ 2 2 + εu +() | Iν jm ax E | X( ) j | X | ? j 1 ?j?n j ?j = 1 ( )Φu ? I+ 2 I+ 2 d1 2 ?j εu - ?α α - 1 -/ 2 2 +2 ()= jm ax E | X| I ( ) j i - 1 < X?ij 1?j?n ??επ ε? I+ 2 I+ 4/ 2? I+ 2 I,? 0。 1 2 1 2 j = 1 i = 1 ??下证 I? 0。α- 1 -/ 2 1 2 +α 2 () = jm ax E | X| I ( )j i - 1 < X?ij ???j?n 1j = n i = 1 由引理 2 知 : ? kα-2 2 +α/ 2 α2 + α - 1 -/ 2 ()? c im ax E | X | I( )( ) I ? c‖f ″‖ ET i - 1 < | X | ? i j j ?)( 1?j?n E U 1 α k j i = 1 ?j = 1 ? k 2 ααα? c m ax E | X |2 - 1 -/ 2- 1 -/ 22 +Ijj ( )i - 1 < | X | ? i??j?n 1()( )nE U f ″‖ET / n= c‖ α k j k k i = 1 ? = 1j 2 k = m ax EX< ?。 jαα- 1 -/ 2 2 + 1?j?n α- 1 - (nE U σ)? c‖f ″‖ αk j n k ? j = 12 +αα - 1 -/ 2 根据 K ro necke r引理 , nE | Y|?0,k m k m k j k?αα+/ 21 - 1 -/ 2α2 +j = 1 2 ? cnE | Y|+ k n+i EY k - 1 ?? n+i k - 1 ? j =1 所以 I? 0。i =1 1 i =1 k m k α 1 +/ 2 同理 I? 0。- 1 -α/ 22 α 2 +2 ν n ()E | Y |k + m m ax EX n+i? k i k - 1 ?1?i?m d kj =1 2i =1 ( ) Φ ( ) Φ ( ) / ES Gu - u ? 0, 即 Sx ,所以 knn nk k - 1 -α/ 21 +α/ 2- 1 -α/ 22 +α ? nE | Y|+ nm 结论得证 。k j k j ?? j = 1 j = 1 nk - 1 -α/ 22 +α参考文献 :( ) E | Y|。 5 ? nj k ?j = 1 nk [ 1 ] Joag2D ev K F. N ega tive ly a ssoc ia tion of random va rible s w ith α 2 +α- 1 -/ 2 | < ?。 下证 jE | Y j app lica tion s [ J ]. A nn Sta tist, 1983, 11: 286 - 295. ?j = 1 [ 2 ] N ewm an C M. A symp to tic indep endence and lim it theo rem s 由 C不等式 ,r fo r po sitive ly dependen t va riable s [ J ]. Inequa litie s in Sta tis2 n kαα- 1 -/ 2 2 + jE | Y| tic s and Probab ility, IM S L ec tu re No te s2Monograp h Se rie s, j ?j = 1 1984 , 5: 127 - 140. nk α- 1 -/ 2 α α 2 +2 +( ) )( [ 3 ] B u tze r P L , H ahn L. Gene ra l theo rem s on ra te s of conve r2? jCE | X ′| + E | X ′| α +j j2 ? j = 1 ? gence in d istribution of random va riab le s 1. gen ra l lim it theo2 ? - 1 -α/ 2 2 +α - 1 -α/ 2 2 +αrom s [ J ]. J. M u ltiva ria te A na l. , 1978 , 8: 181 - 201. j2C′| ν? E | X cj | X | ?E ′α jj2 + ? j =1 j =1 [ 4 ] 杨善朝. 随机变量部分和的矩不等式 [ J ]. 中国科学 : A ?αα - 1 -/ 2 2 + ( )+ I ( ) = c jE | X ′| I辑 , 2000 3 : 218 - 223.j ( ( ))| X | ? j | X | > j j j ?j = 1 ? [ 5 ] 吴群英. 混合序列的概率极限理论 [ M ]. 北京 : 科学出 ? α- 1 -/ 2- 1 -α/ 2 2 +α ?+ c 版社 , 2006. = c jE | X| Ij ?( )| X | ? jj j ? j = 1 j = 1 C en tra l L im it Theorem of NA Sequen ce 1 2 1WU Yan2chun, SUN M eng2ya, WAN G D a2wang ( 11C o llege of S cience, Gu ilin U n iversity of Techno logy, Gu ilin 541004, C h ina; 21C o llege of In terna tiona l Ed2 )uca tion, Guangx i U n iversity for N a tiona lities, N ann ing 530006, C h ina A b stra c t: The a symp to tic no rm a lity of the bounded N ega tive ly A ssoc ia ted Sequence s is d iscu ssed. The ea rly p ap e rs on the a symp to tic no rm a lity fo r NA sequence a ssum ed tha t the sequence wa s iden tica lly d istribu ted and stric tly sta tiona ry. Howeve r, th is is no t a lways the ca se in mo st app lica tion. In th is p ap e r, the m e thod s of cu t2 ting off ta il and con struc ting func tion a re u sed unde r the L ebe sgue ’s cond ition s, w ith cen tra l lim it theo rem fo r NA sequence and p rovem en t. Key word s: NA sequence; a symp to tic no rm a lity; cen tra l lim it theo rem
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