分子扩散平均速率公式推导及模拟验证 大学物理论文

分子扩散平均速率公式推导及模拟验证 大学物理论文 大学生物理论文及物理科技制作竞赛 分子扩散平均速率公式推导及模拟验证 Allen(080102**) (东南大学 自动化学院 南京 211189) 摘要: 从单个气体分子入手，把分子速度看为平均自由程与每次碰 撞的比值，利用分子运动的速 率推算分子扩散速率，将分子高频碰撞的问题降级成为某数的指数， 并且研究每上升整数次幂碰撞 移动的距离与之前的关系，找到递推公式，并且写出时间位移公式。 利用Excel软件模拟有限次碰 撞，在一定范围内验证递推公式，并确定递推公式中一个常数 的大 致范围(暂命名为指数扩散速 率衰减系数)。 关键词: 扩散速率; 单个分子; 速率衰减; Excel; 模拟验证 Molecular Diffusion Speed Equation Derivation and Simulation Verification Allen Chen (Automation, Southeast University, Nanjing 211189) Abstract: I started from a single gas molecule, saw the speed of the molecular mean as the ratio of free path and each collision. I used the rate of molecular motion to calculate molecular diffusion rate, downgraded problem of high frequency collisions of molecular as indices of a number. And I researched the changing after rose integer power, searched for the relation and found the recursive formula. And I wrote out time-shift formula. Then I used Excel software simulation of limited times of collision and tested the formula in a certain range. And I confirmed the approximate range of a constant in the formula. key words: diffusion rate; a single molecule; decay of rate; Excel; simulation verification 由气体动理论的相关知识，我们可以推算得到， 气体分子的平均速率很快，跟声速是一个数量级的， 但是我们打开一个酒瓶，却不能在瞬间闻到酒香，要 在相对更长的时间之后才会闻到，即气体分子扩散速 率比平均速率小得多，那么究竟扩散速率有多大呢, 和平均速率满足什么样的什么关系,我将利用化简模 型的思想，辅以软件进行模拟验证。推算出气体分子 扩散满足的位移时间关系方程，绘制单分子在二维扩散中的无规则运 动轨迹图，定量地确定气体分子扩散的情况。回答以上两个问题。 作 者简介: Allen，1992年，男，本科生 jscwl@qq.vip.com 1理想气体的平均平动速度 麦克斯韦气体分子速率分布定律: 麦克斯韦提出气体分子的速率分 布函数的形式为 3 f(v)=4π? m? 2 - mv22kT ?2πkT?? e v2。计算积分平均值可 得到气体分子的平均平动速度为: __ v?1.RT M 。由此公式计算所得的几种气体分 这样的速度已经达到声速级别，但是我们闻到酒香的时间却远远长于听到瓶塞打开的声音。很早以前，克劳修斯提出分子碰撞的问题解决了人们的疑惑，因为分子会和空间中分布的数密度很大的其他分子发生很多次碰撞，才传播出去，从而使分子经历了十分曲折的路径，导致气体分子平均速率很大但是扩散速度却很小。然而克劳修斯却没有给出分子扩散速度与分子平均速率之间满足什么样的数量关系。所以我们仍然不知道平均速率和传播扩散速率到底相差多少。 2理论推理气体分子扩散速率 2.1气体分子碰撞模型的建立与简化 __ 由气体分子平均碰撞次数: Z= 2d2 __ vn 计算公式可以算得到空气中任何一个分子每秒之内都会和其他分子发生约65亿次碰撞，每次碰撞都会对其运动状态引起变化，其速度的大小和方向都是不确定的，而且碰撞次数如此众多，难以研究。以下是我的简化方式: 大学生物理论文及物理科技制作竞赛 因为考虑到分子众多，先研究单个分子的运动轨迹，假设每个分子都是质量相同的小球，根据动量守恒定力，碰撞发生前后两个分子会互换速度，那么只要将一个分子按照碰撞发生的频率随机改变运动状态即可。而且为了方便研究，首先研究二维扩散。对于如此巨大的碰撞次数N，将其视为 N=2n或者N=10m，即2的指数次和10的指数 次。 2.2气体分子扩散距离的递推公式推导 __ 假设分子平均自由程为λ，则发生一次碰撞的两段位移在二维坐标中的示为如图所示的图形。 图1 其中，x1表示碰撞前的位移;x2表示碰撞后的 位移(x1 =x2);x 12到发生第二次碰撞之前的位移。 记作a1，而将 x1记作a0 。以此类推，如果发生3次 碰撞，即有4段自由程，则将其视为两个两段自由程的运动过程的叠 加，将其记为a2，即满足一个递推公式an+1=α2*2an，α2为二指数衰减 系数。 所以，通项公式为an-1 n-1n=α2 *2a0(注:式 __ 中的a0即λ) 2.3二指数衰减系数的理论推算 如图1所示，x2的终点落在以x1终点为圆心， 大学生物理论文及物理科技制作竞赛 __ λ为半径的圆周上，所以a1也就落在这样的范围 内。a1=2a0cosθ， 1 ?α2= 2π π ?π 2- 2cosθdθ= 2 2 π ?0.63662 在三维坐标中也可以得到类似的结论,以下为简单推导过程(思路和二 维坐标中类似): 引入θ和?两个参数并将自由程设为1;第一次运动到(0,0,1)的位置， 下一个位置在一个球面上，用θ和?表示这些点的坐标如下: 图2 同理可得;按十指数递增的扩散公式为: 'n-1 其中a0=an=(α10)*10n-1a0 ， v0Z __ __ ;n=lgzt。 ?x=sin?sinθ ? ?y=sin?cosθ ?z=cos?+1??d= ? 又可以将10次自由程视为log210次2次自由程的累加，故α10的理 论值为α10=α2 log210 ?0.2231。 2?+(cos?+1)2=2+2cos? α2= ? 2π dθ? π 2+2cos?)d?=8π 4π 2 = 2 π 一样可以推算我们已经得到的计算公式。 但是我们注意到，如果按照这个模型运作的话，正常的气体在空气中 扩散的速度很慢很慢，一百秒才扩散了不到1mm的距离，下面我要通过 软件模拟及统计计算来对二指数衰减系数进行测定。 2.4气体分子扩散位移-时间理论表达式 由 n-1 3 Excel模拟分子扩散测α2 3.1Excel表格数据的建立 A列生成0到2π的随机数，BC列第一列对应的余弦正弦值作为随机位移矢量，DE列为位移向量的叠加作为位置矢量，由DE作为横纵坐标可以得到单分子布朗运动的折线图;对DE列最后一组数字代表的位移进行计算可以逆推α2。 3.2Excel运动模拟以及衰减系数的测定 按照3.1中所述的方法进行模拟可得到单分子无规则运动的轨迹图，如下为进行千次、万次碰撞模拟的轨迹图: 2.3中求得 α2，易得 __ ?2?an= ? ?π? __ *2 n-1 其中，a0=a0， v Z 2__ __ ;n=log2Zt; __ 又 __ Z=2dvn ;容易推得， x(t)=an=??234.56*3.3*10 ( 9log2α2 ) *t log22α2 ?分子量为29的空气在300K，101kpa的近似公式: __ x(t)?1.48*10-4*t0.3485(m) 该公式的x-t图像如下: 图 3 图4 碰撞改变运动方向10n 次的位移x10n，可以通过该公式αx10n10n= 10nx计算得到10n 指数衰减系数，再 由αnlg2 2=α10n 可以推知此次模拟的二指数衰减系 数α2，与理论值0.63662进行对比。如下面三张图所示为千次、万次、十万次碰撞的一百次模拟数据统计图: 大学生物理论文及物理科技制作竞赛 图 5 图 6 图7 由上图可以看出，随着碰撞次数的增多，平均二指数衰减系数在0.7上下浮动，而数据统计的千次、万次、十万次碰撞所测算而得的二指数衰减系数平均值为0.68095、0.69502、0.69366;这与理论值0.63662相差较大。原因在于用一次碰撞来简化巨大次数的碰撞时有某些情况的缺漏。如果有很多段自由程，此模型无法模拟如此庞大数据量的可能性。 3.3公式的修正以及模型的改善 将α2?0.7带入原先公式计算可以得到修正 大学生物理论文及物理科技制作竞赛 2.97*10*t式的x-t图像如下: 公式:x(t)? __ -3 0.4854 (m)，该修正公 4结束语 利用碰撞自由程数降次将问题简化，推导出气 体扩散速度理论公式，经过试验验证有一定的缺陷，又由试验所得数据带入公式，对公式进行修正得到与事实吻合更好的公式，但是似乎还有一定的差距，也就是需要更大的模拟数据量或者是十分可靠的实验数据作为支撑才可以进一步确定更加精确的α2还有x(t)公式。我做的只是初步的工作， 还没能得到令人满意的结果，只是提供了一种研究和解决此类问题的想法，后期还要做更多的模拟和数据统计才可以得到更加适用的结果。 图8 由图可以看出，修正公式(本质是修正二指数衰减系数)之后曲线更加上扬，根据图像反映的信息可以得出，100秒内气体在空气中大约可以前进3cm，这比原先的不足1mm更加接近实际情况。 3.4推断与猜想 由以上公式推导和修正以及二指数衰减系数的理论推导与实际模拟 测量可以展开猜想，在将模型降次简化的时候也省略了一些可能性，所以进行越多次数的模拟越容易得到接近事实的结果。反言之，如果利用实际情况中的多次测量也会得到更加精确的指数衰减系数。 参考文献: [1] 马文蔚，解希顺，周雨青. 物理学. 第五版()， 北京:高等教育出版社，2006年3月. 172-206.