江西科技师范大学

江西科技师范大学 《高等数学AII》考试大纲及练习题 一、考试大纲 第八章 空间解析几何与向量代数 1、熟练掌握向量的运算:加法、减法、向量与数的乘法、数量积和向量积;以及运用数量积求两个向量的夹角、判别两个向量的垂直性;运用向量积求三角形的面积、平行四边形的面积、判别两向量的平行性; 2、会求向量的模以及一个向量在另一个向量上的投影; 3、熟练掌握平面方程和直线方程的求法; 4、会判别直线与直线、平面与平面、平面与直线的位置关系; 5、会求点到平面的距离以及点到直线的距离; 6、会求坐标平面内的曲线绕坐标轴旋转而成的旋转面的方程。 第九章 多元函数微分法及其应用 1、重点掌握多元函数偏导数的求法，特别是多元复合函数的求导、以及隐函数(一个方程的情形)的求导; 2、会求一些简单的二元函数的高阶偏导数(主要是二阶和三阶偏导数); 3、会求多元函数的全微分; 4、掌握二元函数极值的求法; 5、掌握在实际问题中最值的求法。 第十章 二重积分 1、重点掌握在直角坐标系下计算二重积分; 2、重点掌握在极坐标系下计算二重积分; 第十一章 曲线积分与曲面积分 1、熟练掌握对弧长的曲线积分的计算法; 2、熟练掌握对坐标的曲线积分的计算法; 第十二章 无穷级数 1、掌握常数项级数敛散性的判别法，特别是正项级数和交错级数敛散性的判别; 2、掌握级数的条件收敛与绝对收敛; 3、熟悉常数项级数敛散性的定义和性质，特别是级数收敛的必要条件; 1 4、会求幂级数的收敛半径和收敛域(包括区间端点)。 5、会求特殊的数项级数的和(如通过裂项法) 二、练习题 第八章 习题 1、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限: (1);(2);(3);(4)。 A(2,,2,3)B(2,3,,4)C(2,,3,,4)D(,2,,3,1)2、已知两点和，求向量的模。 M(3,0,2)M(4,2,1)MM2112 ,,,,,,,,,,,,,,,3、已知, 求向量的模。 a，2b,ca,2i,3i，4k,b,,3i，4j,7k,c,5i，2j,k ,,,,,,,,a4、已知向量，求(1);(2);(3)与的夹角a,ba，bba,(1,1,,4),b,(1,,2,2) ,,,a;(4)在上的投影。 b ,,,,,,,,,,,,,b,35、已知a,2，，c,4，，计算 。 a，b，c,0a,b，b,c，c,a6、求以三点、B和为顶点的三角形的面积 A(3,,2,1)B(4,3,,2)C(5,,8,3) ,,,,,,4aaa,(3,2,1),b,(2,,k),bb7、设试确定(1)的值使?;(2)的值使?。 kk123 8、求点到平面的距离. A(3,2,1)x,2y，3z,16,0 y,1x，1z，2,,9、求点到直线的距离. (1,2,,1)212 10、求过点、和三点的平面方程. (1,1,,1)(,2,,2,2)(1,,1,2) ,,11、求过点且平行于向量和的平面方程. (1,0,,1)a,{2,1,1}b,{1,,1,0}12、求通过x轴和点的平面的方程。 (4,,3,,1) 13、求过点且与平面平行的平面方程。 (3,0,,1)3x,7y，5z,12,0 14、求过点且与平面垂直的直线方程。 (1,,2,4)2x,3y，z,4,0 M(3,,2,1)M(,1,0,2)15、求过点和点的直线方程。 12 x,4z,316、求过点(,3,2,5)且与两平面和2x,y,5z,1的交线平行的直线方程。 17、研究以下各组平面之间、直线之间、直线与平面之间的位置关系: 2 (1)和; ,:2x,y，z,1,0,:,4x，2y,2z,1,012 123213x,y,z，x，y，z,:(2):和; L,,L,,12213426,, 432x，2y,5z，1x,y，z,:L:,,(3)和; L,,1212224,5 x，3y,2z,1L:,,(4)和; ,:8x，4y,6z，11,042,3 第八章 习题答案 1、(1)第四卦限;(2)第五卦限;(3)第八卦限;(4)第三卦限; ,,,,,93192、模等于; 3、 4、(1);(2);2a,b,a，b,(,6,,6,,3) ,,329,(3),46;(4); 5、; 6、; ,Prja,,3,b42 2625k,7k,,、(1);(2); 8、; 9、; 141233310、; 11、; 12、; x,3y,2z,0x，y,3z,4,0y,3z,0 x,1y，2z,4,,13、; 14、; 3x,7y，5z,4,02,31 x,3y，2z,1x，3y,2z,5,,,,15、; 16、 ,42143117、(1)平行但不重合;(2)平行但不重合;(3)垂直;(4)垂直; 第九章 习题 221、求函数在点处的偏导数。 (1,2)z,x，3xy，y 332、求函数 的偏导数. z,xy,yx 223、求函数 的偏导数. z,yln(x，y) 4、求函数 的偏导数. z,ln(xy) 25、求函数 的偏导数. z,sin(xy)，cos(xy) xz,lntan6、求函数 的偏导数. y y zu,x7、求函数 的偏导数. 222,z,z,z44228、设，求 ，和. z,x，y,4xy22,x,x,y,y 3 222,z,z,zx9、设，求 ，和. z,y22,x,x,y,y x10、求函数 的全微分. z,xy，y y x11、求函数 的全微分.; z,e yz11、求函数 的全微分. u,x xy12、求函数在点处的全微分。 z,e(2,1) yyz13、求函数u,x，sin，e的全微分。 2 dyx214、设，求 . siny，e,xy,0dx dyy15、设，求。 y,xe，x,0dx ydy22x，ylnarctan16、设=，求 . xdx ,z,zxz17、设，求 及 . ,ln,xzy,y 332218、求函数的极值。 f(x,y),x,y，3x，3y,9x 38m19、某厂要用铁板做成一个体积为的长方体有盖水箱，问长、宽、高各为多少时，才 能使用料最少, 3a20、求面积为而体积为最大的长方体的体积。 第九章 习题答案 ,z,z2332,,,3xy,y,z(1,2),7z(1,2),81、， 2、 ,x,3xy yx,x,y 2,z2y,z2xy223、， ,,ln(x，y)，2222,xx，y,yx，y ,z1,z1,,4、， ,x,y，，，，2xlnxy2ylnxy ,z,z，，，，,y,,cosxy,sin2xy，，，，,,,xcosxy,sin2xy5、， ,x,y 4 z2x2x,z22x,6、 ， csc,csc,,2,xyyyyy, yyy,1,uy,uy,u1zzz7、 ，， ,x,,x,lnx,x,lnx2,xz,zz,yz 222,z,z,z22228、 ,12x,8y,,12y,8x,,,16xy22,x,y,x,y 222,z,z,zx2x,2z,19、，， ,y,lny，，,xx,1y，，,y1，xlny22,x,x,y,y y,,,,11y1,,x,,,,10、 11、; y，dx，x1,dy,edx,dy,,2,,,,yyxx,,,,,, yz,1yzyz22yzxdx，zx,lnxdy，yx,lnxdz12、 13、 dz,edx，2edy 2x1yy,eyzyzdu,dx，(cos，ze)dy，yedz14、 15、 22cosy,2xyy2dye,1,zz,zzx，y,16、 17、 18、 ,,,ydx1,xex,y，，,xx，z,xyx，z 2m19、为极小值，为极大值。 20、当长、宽、高都为时，f(1,0),,5f(,3,2),31 663所用最少。 21、当长方体的长、宽、高都为时，体积最大，且最大的体积为a。 a636 第十章 习题 x,2Dy,xxyd,1、求二重积分，其中由直线、和所围成的闭区域。 y,1,,D 2Dxyd,2、求二重积分，其中由抛物线和直线所围成的闭区域。 y,x,2y,x,,D x，y,,D,(x,y)0,x,1,0,y,1ed,、求二重积分3，其中。 ,,D 22,,D,(x,y),1,x,1,,1,y,1(x，y)d,4、求二重积分，其中。 ,,D D(3x，2y)d,5、求二重积分，其中由两坐标轴和直线x，y,2所围成的闭区域。 ,,D Dxcos(x，y)d,6、求二重积分，其中是顶点分别为(0,0)、(,,0)和(,,,)的三角形,,D 闭区域。 5 2xx,27、求二重积分，其中由直线、及双曲线所围成的闭区域。 Dy,xd,xy,12,,yD 22,(x，y)228、求二重积分ed,，其中由圆所围成的闭区域。 Dx，y,1,,D 2222229、求二重积分，其中是圆环形闭区域 。 Dx，yd,a,x，y,b,,D 222210、求二重积分，其中由圆所围成的闭区域。 Dx，yd,x，y,2y,,D 11、交换下列积分次序 1yelnx(1); (2); dyf(x,y)dxdxf(x,y)dy,,,,0010 第十章 习题答案 ,945820321、; 2、; 3、; 4、; 5、; 6、,; e,e88332 2,93233,17(b,a)、; 8、; 9、; 10、; ,(1,e)493 111e11、(1);(2); dxf(x,y)dydyf(x,y)dxy,,,,x00e 第十一章 习题 (x，y)dsL1、计算，其中为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段. ,L 2xdsL2、计算其中为由直线y,x及抛物线所围成的区域的整个边界. y,x,L 22n(x，y)dsLx,acost,y,asint3、计算，其中圆周 (0; ,t,2,),L 222(x,y)dxL4、计算，其中是抛物线上从点(0，0)到点(2，4)的一y,x,L 段弧. ,x,Rcostydx，xdyL5、计算，其中为圆周，上对应从0到的一y,Rsintt,L2 段弧. 222(x,2xy)dx，(y,2xy)dyL6、计算，其中是抛物线上从点到点(,1,1)y,x,L 的一段弧. (1，1) 232(x,xy)dx，(y,2xy)dy,L7、计算其中是四个顶点分别为(0，0)、 ,L (2，0)、(2，2)和(0，2)的正方形区域的正向边界. L(2x,y，4)dx，(5y，3x,6)dy8、计算O(0,0)A(3,0)B(3,2)，其中为以、、,L 6 为顶点的三角形正向边界. 第十一章 习题答案 1562n，11、; 2、; 3、; 4、; (55，62,1)2,a,21512 145、0; 6、; 7、8; 8、 12,15 第十二章 习题 1、判别下列级数的敛散性: ,,,,1nn1!nn(1); (2); (3); (4); (1),,(1),,,,nnnlnn210nn,1n1n1,,1, 1,, (5); (6) (n,n,1),,(2n,1)(2n，1)n1n1,, 2、判别下列级数的敛散性;若收敛，则说明其是条件收敛还是绝对收敛。 2n,,,n2sin1nn1，; (2); (3); (1)(1),,(1),,,2n!nnnn1n1,1,,3、求下列幂级数的收敛半径和收敛域。 nn,,,,x211n1nn,nn(1); (2); (3); (4); (,1)(,1)(x,)xn!x,,,,n!n2nn,1nn11,,0n, n,,1x(,5)n(5); (6) (x,1),,n2,nn1n1n,, 第十二章 习题答案 1、(1)收敛; (2)发散; (3)收敛; (4)收敛; (5) 发散; (6) 收敛; 2、(1)绝对收敛; (2)条件收敛; (3)发散 R,0x,0R,1R,，,3、(1)，; (2)，; (3)，; (,1,1](,,,，,) 1R,2R,1R,(4)，; (5) ,; (6) ， [4, 6); (0,1][,1,3)2 7