离散型随机变量的数学期望教案

离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的数学期望教案 教学目标:1使学生理解和掌握离散型随机变量的数学期望的定义， 2会掌握和应用数学期望的性质。 教学工具:多媒体。 一(复习 1.一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1，x2，……，xi，…， X取每一个值xi(i,1，2，…)的概率P(X,xi),pi，则称下 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1，x2，……，xi，…， X取每一个值xi(i,1，2，…)的概率P(X,xi),pi，则称下表 X x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 为随机变量X的概率分布， 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1)pi?0，i,1，2，…; (2)p1，p2，…,1( 2、什么叫n次独立重复试验, 一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与 ，每次试验中P(A),p,0。称这样的试验为n次独立重复试验，也称伯努利试验。 3、什么叫二项分布, 若X,B (n，p) Cnkpkqn-k 二(引例，新课 11.全年级同学的平均身高是产u= (++….+ ) xnxnxnmm1122n niP=p(X=)=,i=1,2….n xin 把全年级的平均身高u定义成X的均值，记作E(X) E(X)= (++….+ )/n xnxnxnmm1122 EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 2.数学期望的定义 若离散型随机变量X的分布列为: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称: E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 3，举例 • 在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他 罚球一次得分设为X，X的均值是多少, X 0 1 p 0.3 0.7 解:该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3 所以:EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7 三、数学期望的性质 得到结论(1) ξ 1 0 p p 1-p 如果随机变量X服从两点分布， 那么 EX= p (2)探究 :若X~B(n，p)，则E(X)= , X 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明:?P(X=k)= Cnkpkqn-k (? k Cnk =n Cn-1k-1) ?E( X) =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np 若X,B (n，p)，则 EX= n p (3)超几何分布 举例 例、某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量x 表示选出的志愿者中女生的人数，则x的数学期望是 4(结果用最简分数表示) 7 变式:一个袋子里装有大小相同的5个白球5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。 四，例题应用 例1 甲击中目标的概率为1/2,如果击中，赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的概率分布和数学期望。 解:,X=10,的充分必要条件是击中目标，所以p(X=10)=1/2=0.5 ,X=-11,是,X=10,的对立事件，所以p(X=-11)=1- 0.5=0.5 X只取10和-11，所以 E(X)=10× p(X=10)+(-11 )× p(X=-11) =10 ×0.5-11 ×0.5 =-0.5 例2.在只需回答“是”“不是”的知识竞赛时，每个选手回答两个不同的问题，都回答失败，输1分，否则赢0.3分，用X表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”“不是”，计算X的概率的分布和数学期望。 解: ,X=-1,的充分必要条件是两次猜错，所以 p(X=-1)=1/4=0.25 ,X=0.3,是,X=-1,的对立事件，所以p(X=0.3)=3/4=0.75 X只取-1和0.3，于是 E(X)=-1× p(X=-1)+(0.3 )× p(X=0.3) =-1 ×0.25+0.3 ×0.75=-0.025 例3.甲乙比赛时，甲每局赢的概率是P=0.51，乙每局赢的概率是q=0.49，甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立的，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局。 解:用X表示10局中甲赢的次数，则X服从二项分布B(10，0.51). E (X)=10 ×0.51=5.1 所以 甲平均赢5.1局 用Y表示10局中乙赢的次数，则Y服从二项分布B(10，0.49). E (Y)=10 ×0.49=4.9 所以乙平均赢4.9局 例4，袋中有3个红球，7个白球，从中无放回地任取5个，取到几个红球就得几分，问平均得几分。 解:用X表示得分数，则X也是取到的红球数，X服从超几何分布H (10，3，5)，于是 EX=n×M/N=5×3/10=1.5 所以平均得到了1.5分。 五(数学期望 EX表示X所表示的随机变量的均值; EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望。 两点分布:EX= p 二项分布:EX= n p 超几何分布 求数学期望时: 1. 已知是两点分布，二项分布或超几何分布时，直接代用公式; 2. 其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。 课堂练习 1、在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少, 2、随机变量ξ的分布列是 ξ 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 则Eξ= 3、随机变量ξ的分布列是 ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2 Eξ=7.5,则a= b= . 4,篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分(已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分ξ的期望为 变式:若该运动员在某次比赛中罚球n次， 求他罚球的得分X的均值, 5、投掷6枚骰子，用Z表示6朝上的个数，求E(Z).