球的体积

球的体积 各位老师、亲爱的同学们大家下午好: 我是汪博，来自数学与信息科学学院。很高兴今天能够站在这里，今天我讲的课题是 人教版数学第二册(下)第九章第十节的内容——球的体积。 板书】 【板书】球的体积 我们之前学习了球的性质，知道球具有不稳定性。那么为了便于我们的研究，我们可 以先来研究相对稳定的半球。 我们用过球心的平面去截球 O， 球面被截成大小相等的两个半 球，截面圆 O(包含它内部的点)便叫做所得半球的底面。 板书】 【板书】一、半球的底面 同学们先来想这样一个问题:与半球相似的几何体有哪些呢,有哪位同学起来回答一 下。 同学回答】圆锥、圆柱。 (为什么会想到圆锥与圆柱呢,) 【同学回答】圆锥、圆柱。 同学回答】因为它们的底面都是圆形。 【同学回答】因为它们的底面都是圆形。 非常好。我们都知道圆锥、半球、圆柱都是由一定图形旋转而来，它们的底面都是由 圆形构成。那同学们再来回忆一下圆锥和圆柱的体积公式分别是什么, 同学一边回答一边写板书 一边回答一边写板书】 【同学一边回答一边写板书】 为了方便我们观察和比较， 可以将圆锥和圆柱的底面半径和高均看做是 R， 那么它们的 体积就变为， 这样我们就减少了变量， 根据我们之前学习过的圆柱的体积是同底等高的圆锥 的体积的 3 倍，那么我们可以将圆柱的体积写成，这样也便于我们比较，找出一些规律。如 果我们将半球的这一条半直径 OA 看作是半球体的高， 那我们来大胆的猜测一下，半球的体 积是多少, 【同学回答】半球的体积是 πR 同学回答】 2 3 3 那么同学们是怎么得到这样的猜测呢, 【同学回答】从三个几何体公式上看是对称的，这样体积就分别相差 πR 。 同学回答】从三个几何体公式上看是对称的， 3 1 3 好， 这也就是我们经常提到的数学当中的对称美。 按照常识我们都知道同底等高的圆锥、 半球、圆柱体积依次增大。因此我们有这样的猜测。 但这仅仅是我们的一个猜测，至于这个猜测正不正确呢，还是要我们来验证一下。同 学们来想一下， 如果我们用实验来证明， 要设计一个怎样的实验呢,有哪位同学能起来说一 下。 同学回答】可以用水或者其它物体先倒入圆锥中，然后量出体积， 【同学回答】可以用水或者其它物体先倒入圆锥中，然后量出体积，再用同样的方法 量出装在半球中水的体积，这样就可以证明了。 量出装在半球中水的体积，这样就可以证明了。 好，**同学给了我们一个提示:用某种中介物的体积来证明它们之间的关系。同学们 看老师手中的几何体，它们分别是同底等高的圆锥、半球和圆柱。那我们可以按照刚才** 同学设计的思路来做一下这个实验。 我们先用这个填充物将圆锥填满。 按照我们刚才的推测， 这样两个圆锥的体积应该等于一个半球的体积， 那也就是说我们倒入两个圆锥内的填充物便 可将半球填满。那我们来试验一下。 进行试验】 【进行试验】 好，大家来看一下，是不是半球刚好被填满。这也就验证了我们的结论是正确的。可 大家要说了， 这样做实验是有误差的呀， 数学上不是讲究严谨么,那我们就用数学语言再来 推导一下我们的猜测是否是正确的呢～ 我们可以先来回忆一下以前学习圆的面积公式时运用了怎样的推导方法, 同学回答】利用极限的思想来推导。 【同学回答】利用极限的思想来推导。 我们可以把一个半径为 R 的圆分成 4 等份、8 等份、16 等份或者 32 等份，按图所示， 对它们进行重新拼接，可以看到这个圆接近于矩形。当所分的等份不断增加时，图形也就越 接近边长为 R 和 πR 矩形;当份数无限大时，我们就得到了圆的面积公式。这也就运用了我 们所说的化曲为直的极限思想。 我们可以归纳一下这样的推导方法。即先分割，再求近似和，最后利用极限思想化为 准确和。 同样，我们可以运用上述思想来推导一下球的体积公式。为了方便计算，我们还是先 来研究半球的体积公式的推导。 同学们思考一下如果我们将半球分割成 n 部分， 求出每一部 分的近似体积，再将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后运用极限思想考虑 n 变为 无穷大的情形，由半球的近似体积推出半球的准确体积。 那首先我们就来想一下怎样切割。同学们可以讨论一下。 下去巡视】 【下去巡视】 同学回答】 【同学回答】 我们试着这样来切割，把垂直于底面的半径 OA 作 n 等分，经过这些等分点，用一组平 行于底面的平面把半球切割成 n 层。我们来看一下所截的平面图就是由 一个个薄圆片构成。 那么同学们来想一下，为什么我们要将半球等分呢, 同学回答】因为等分会使计算方便，我们可以直接得出每一份的厚度是相等的， 【同学回答】因为等分会使计算方便，我们可以直接得出每一份的厚度是相等的，并 且是已知的。 且是已知的。 好。我们就来看一下当 n=1 时，我们得到了球的大圆，也就是说此时半径 r1=R;继续 当 n=2，n=3 时，由勾股定理，我们可以得出 r2 = R 2R R 2 ? ( ) 2 ， r3 = R 2 ? ( ) 2 ;那我 n n 们来找一下一般的规律，当 n=i 时，我们来看一下，此时薄圆片的半径为多少,很容易可以 看出在 Rt?OO1B 中， ri = R R 2 ? [ (i ? 1)]2 ，其中 i=1,2,…n。这样我们就得出了薄圆片 n 的一般半径。 【教具挂图 教具挂图】 教具挂图 板书】 【板书】 那这些薄圆片又接近于怎样的几何图形呢,我们来看一下幻灯片的演示。将这个半球 均匀的切割成四块， 我们来看一下每一块薄片接近于怎么样的图形呢,我们再将这个半球切 成八块， 每一块薄片又接近于怎么样的图形呢,我们来比较一下这两个切片， 切得片数越多， 它便越接近于圆柱体，而这些圆柱体的高就是就是这些薄片的厚度 那么来写出这些薄片的体积 V1 ? πr12 ? R = V2 ? πr 2 2 ? R 。 n π R3 R 2 R R 2 = π ( R ? ( ) )2 n 2 2 R πR 3 i ?1 2 Vi ? πri ? = [1 ? ( ) ], i = 1,2 L , n n n n 2 V半球 = V1 + V2 + L + Vn ? πR 3 n [n ? 12 + 2 2 + L + (n ? 1) 2 ] n2 = πR 3 n [n ? 1 (n ? 1) ? n ? (2n ? 1) ? ] n2 6 V半球 1 (n ? 1)(2n ? 1) ? ] n2 6 1 1 (1 ? )(2 ? ) n n ] = πR 3[1 ? 6 = πR 3 [1 ? 当n ? ?时, ?V半球 = 1 ? 0. n 大家想一下，n 越大，1,n 就越小，那么当 n? ? 时， 1,n 便无穷小，也就是 1,n 趋近于零，将上式整理便 可得出半球的体积为 。 2 3 πR 3 4 从而V = πR 3 . 3 同学们，这节课我们首先学习了半球底面的概念，进而了解了球的体积公式推导的基 本思路:分割?求近似值?化为准确和。 这同时也是一种重要的数学思想方法——极限思想。 那同学们要熟练掌握球的体积公式 。