一类被捕食种群具有常数收获率极限环的唯一性

一类被捕食种群具有常数收获率极限环的唯一性 一类被捕食种群具有常数收获率极限环的 唯一性 第18卷第2期 Vo】.18No2 重庆师范学院(自然科学版) JournalofChongqingNormalUniversity(NaturalScienceEdition) 2001年6月 Jun2001 一 类被捕食种群具有常数收获率极限环的唯一性 申治华 (重庆师范学院数学与计算机科学系,重庆,400047) 摘要:研究了一粪食饵种群共有常数l嵌瓢翠豪坑 』鲁一…卜() 【dy:(6一d) 的极限环的存在与唯一性.并通过一系列变换将系统(E)化为广义的Li6nard方程 』等一( 【dv:一g(u) 再利用文献[1]中的结论,给出了秉统('I]『)最多存在一个极限环的克分条件. 关键词:常数收获率;极限环;唯一性 中圈分娄号:0175l2文献标识码:A文章编号:1001—8905(2001l02-0007 UniquenessofLimitCycleforPreysGroupwitlIConstantHarvestingRate Dept.ofMathematicsandComputerScience.ChongqingNormalUniversity.Chongqing.40 0047.China Abstract:Thispaperstudiestheexistenceanduniquenessofthelimitcycleforaclassofpreysg roupwithcenstaatharves ti"gtalerwhichcanbedescribedasfollows 』..+口-,.一口'一【 鲁6 Thepaperchangesthesystemof(Eltogeneralizedlienardequationwithaseriesoftransformat ionsuchas f一?,l 等:u】 Thenusingthetheorem49ofpaper(1],thepaperoblainsthesuffieienlconditionthaithesyste m('I]『)haslimit cyclealmost. Keywords:constantharvestingrate;limit】iak:uniqueness 考察食饵种群具有常数收获率的系统 ?收稿日埘:2000I2.04 作者简介:申泊华(1946一)男.重庆人,重庆师范学院数学与计算机科学系副教授,主要从事常微分方程研究, 一曲一 8重庆师范学院(自然科学版)第l8卷 当,(,)=+d,一0,2一0,3Y,g(x,y)=bx一d时,系统(1)即为 』_五dx.…(2】 【警=(一d) 其中常数,,d,,b,d均为正常数,d不定号.(,y)E,,=;(,)Ix>0,y>0}. 作变换=?吾,=0,3,f=,变换后仍用,,示三,,i,则系统(2)化为 J;+At一2一y',G(,) 【警:Aoy(1) 其中Ao=d =_>a2d.,c=>0'一,/atd定号,经变换后仍有(,,)Ix>0, (,0)和(,0),其中,分别为方程A一A一+G=0的两个正根,且有<1<. 引理1…当1+A一A:一G>0时,系统(3)在的正平衡点(,0)和(:,0)均为鞍点,正平衡点R 引理2当A一2A2+G=0,A2>2G且0<A2—2G.~l时,系统(3)至少存在一个极限环. 1)AJ一2A2+G<0,A【>0,A;一ALG>0; 2)存在u和?,使得有?<u,且?>u:,其中?和u是方程一A(u+1)+2A(u+1)一G=0的 两个实根,Ut*和u是方程A(u+1)一4A:(?+1)'+(A+3C)(+1)一G=0的两个实根.则系统(3)在 作变换,令:,f:(1+A—A一y)一G,则:1+A一A:一G一兰,系统(3)化为 (4)【=一)一班一) 其中.()=Ao(一1)(1+At—A一号), ()=一Ao(一1)一A2A一詈m()=一?. 又令:,竹:孝e:f,)d:e"la,dr,则系统(4)可化为 第2期中治华:一粪被捕食种群具有常擞收获率极限环的唯一性9 Jef田() 【鲁=(小(? 又令=,=一工()e?+fo(1),其中五()=(1+一2一詈),则系统(5)可化为 fdx=+工()e一(1) l=(小.()e一()+fo()()]e f导=工()e2【jl口'+一工(1) '【=A0(_1)e(—fo(… 再作变换=,-A(1)=一(1)e(1)dr=dt,则系统(6)化为 鲁…+c-+Atx-A~x2一 一 dv : dt(1) =, 则系统(7)化为 而1[.1.Aj("+1]("+1]+]+1 一 dv :f!)! dt(1)//,+1 (6) (7) (8) f一'一,'"(9)I害) 其中).11m)=[一1(n+1)(u+1)+ u+1 ] )=而Ao=, 在上述一系列的变换下,将区域0<<2,0'Y<+?化为区域一1<n<2—1, 一?<<+?,将原来 系统(3)的正平衡点(I,)化为系统(9)N/g,AO(.l0),因上述变换均为非奇异的,敢系统 (9)原点处轨线 fo(1)_1+AI":,,(u))=f o (1)[?1)一], )一l,):(一l_) 1)当u?0时,(n)=而Ao[n(1+)]>o>.1)0时,婶()=)>0,且) 10重庆师范学院(自然科学版)第18卷 e>0.故()单调增加. 2j厂(),g(n),|P()均连续可导,且,(.)=(-A,+2A:一G)>. 3)取))一?=[-A,+一志]=)取())一()赤一 ^(1) (n)有两个零点::一1+三二, n::一1+三.由条件1)知,AL>0,A22-A~G>0.A 22+G(0时,有l<0,2>0,且 g() >一1,显然,当一1<nL<<2时,有(n)>0; :二! A0(+1)一(?+1) (),1A.(n+1)一4A2(+1)+(A+3G)(+1).一G g(?)A.[(?+1)一(?+1)] 考察R(n)=A.(+1)一4A2(?+1)+(A.+3G)(?+1)一G,显然R(?)在(一?,+?)内连续可导,且 (O):A一4A+A.+3G—G=2(A.一2A:+G)<0,R(+?)=+?,R(一?)=+?,故必存在.'<0和 >0,使(..)=(U2*)=0;且当?(?,)时,有R()?0.从而只要<且?,且当n> 一 1,(1?1)u(",)时,有[喜?o;当<一1时,e(一1,.)u(,")时,仍有[鲁]? ,r,,, 0,这说明在区间[,,u:]之外,是不增加的.由引理2知,"和n是接近于"=0的,故如果系统(9) gJ 存在闭轨线,则它必能包含"轴上的区间[.,]由文献[1]中定理4.9知系统(9)最多存在一个极限环, 如果存在,必为不稳定的;从而原系统(3)在(1,M)处最多有一个极限环,如果存在,必为不稳定的极限环. 本文的结果说明当食饵种群具有常数收获率时,两种群的密度只能发生周期性的变化,不可能出现其一 类种群无限增长,而另一种群走向绝灭的情况.而投限环的唯一性,说明两种群在发展过程中,其种群的数 量不可能发生较大的波动,只能是周期性地微小波动,这就保证了食饵种群能有稳定的常数收获量如在大 型水库中的养鱼就会发生此种情况,保证了定时定量的捕获,使鱼场能保持稳定的捕捞量. 参考文献: 【【]张芷芬,丁同仁.黄文灶.微分方程定性理论【M.北京:科学出版杜.1985.276 【2:聂益民.一类食饵种群具有常数收获率Kolmogolov系统的非线性【J].生物数学,1999,14(2):136—140 3]叶彦谦极限环论[M]上海:上海科学技术出版杜,1984.371.372 (责任编辑魏延)