一元一次方程的应用

每周装配36台机床，预计若干周完成任务。在装配了三分之一以后，改进操作技术，工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务。求这次任务需装配机床总台数。 2(某班同学参加平整土地劳动，运土人数比挖土人数的一半多3人。若从挖土人员中抽出6人运土，则两者人数相等。求原来运土和挖土各多少人。 3(某年级三个班为灾区捐款。(1)班捐了380元，(2)班捐款数是另两个班级的平均数，(3)班捐款数是三个班总数的，求(2)班，(3)班捐款数。 4(一轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时。已知该船在静水中每 小时航行12千米，求水流速度和两码头间的距离。 5(有一批长度均为50厘米的铁锭，截面都是长方形，一边长10厘米，另一边各不相同，现要铸造一个42.9千克的零件，应选截面另一边长为多少的铁锭(铁锭每立方厘米重7.8克), 6(甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别为200米/分和160米/分。两人同时从起点同向出发。当两人起跑后第一次并肩时经过了多少时间,这时他们各跑了多少圈, 7(检修一处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天。前7天由甲、乙两人合做，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙合作完成。问乙中途离开了几天, 8(某商场甲、乙两个柜组十二月份营业额共64万元。一月份甲增长了20%，乙增长了15%，营业额共达到75万元。求两柜组各增长多少万元。 9(某行军纵队以8千米/时的速度行进，队尾的通讯员以12千米/时的速度赶到队伍前送一个文件。送到后立即返回队尾，共用14.4分钟。求队伍长。 10(一个两位数，十位数比个位数字的4倍多1。将两个数字调换顺序后所得数比原数小63。求原数。 11(一桥长1000米，一列火车从车头上桥到车尾离桥用了一分钟时间，整列火车完全在桥上的时间为40秒。求火车的长度及行驶速度。 12(甲从学校出发到相距14千米的A地。当到达距学校2千米的B地时发现遗忘某物品。打电话给乙，乙随即出发在C地追上甲后立即返回。当乙回到学校时甲距A地还有3千米。求学校到C地的距离。 答案: 1(解题策略:本题主要等量关系是“提前一周半完成任务”。即原计划周数-实际完成 。只需设元后分别列出左边两表达式即可。 任务周数=1 列方程解应用题的关键是通过数量关系的研究，将实际问题转换为抽象的数学问题来解决，因此常有面目迥然不同而问题实质相同。在练习中要注意比较，归纳，提高我们的分析、解题能力。 解法一:设这次任务需装配机床总台数为x台，则原计划装配周，现在实际装配的前一段时间为 周，后一段时间为 周，则根据题意，得 解这个方程: 3x-x-x=162 x=162 经检验，它是所列方程的解，也符合题意。 答:这次任务需装配机床总数为162台。 解法二:如解法一设元，注意到提前的时间实质是完成后任务中所提前的， 解法三:设装配了以后还余x台，则总任务是x? x(台)， 根据题意，得。 错误辨析:涉及“多少”、“快慢”等数量关系，要注意辨清有关量的大小。本题易将被减数与减数搞错。尤其当分子相同，分母不同时要注意。 2(解题策略:本题等量关系明显，设元后只要把相应语句“译”成等式，即所需方程，不妨可称作“译式”问题。解题要注意设元要有利于列方程，并尽量应用原始的等量关系。如本题不宜运土人数为x。 解:设挖土同学原为x人，则运土人数原为(x+3)人。 根据题意，得x-6=x+3+6， 解这个方程:x-x=3+6+6 x=30 x+3=18 经检验适合所列方程，也符合题意。 答:原来运土18人，挖土30人。 错误辨析:劳力调配问题中需注意一队调出人员是否调入另一队。本题易忽视运土人数的增加而列成x-6=x+3。 3(解题策略:解应用题中的设元要善于应用已知条件，在列方程时要能通过分析，寻找隐含的等量关系，使方程简单、易解。 解法一:设(3)班捐款x元，则(2)班捐款元， 根据题意，得x=， 解这个方程:5x=760+2x+380+x 2x=1140 x=570 =475 答:(2)班捐款475元，(3)班捐款570元。 解法二:同上法设元，注意到(2)班的捐款数也是三个班级的平均数，则三个班捐款数是其3倍。 可设方程x= ?3?。 解法三:设三个班捐款总数为x元，则(2)班为 元，根据题意，得 x-380=x。 求得x=1425后再求各班捐款数。 4(解题策略:涉及航行中的顺、逆流问题，基本关系是:船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度;船在逆水中的速度=船在静水中的速度-水流速度。然后根据行程问题的一般法则求解。 解法一:设水流速度为x千米/时，根据题意，得6(12+x)=10(12-x)， 解这个方程，得x=3， 路程为6(12+x)=90。 答:水流速度是3千米/时，两码头间路程90千米。 解法二:设两个码头间路程为x千米， 根据题意，得 -12=12-， 解这个方程，得x=90。 5(解题策略:几何体变换问题的关键是注意变换前后的体积等量关系，并且要熟悉常见几何体的体积公式。本题要由铸造零件的规格给出重量，应有一个转换过程，并注意单位名称一致。 解:设需要截面另一边长为x厘米的铁锭，则铁锭体积为50?10x立方厘米，所铸零件重量为42.9千克， 则其体积为立方厘米， 根据题意，得50?10x= 解这个方程，得x=11。 答:需要截面另一边长为11厘米的铁锭。 错误辨析:方程右边易漏乘1000，未将单位化为一致。 6(解题策略:环形线路上的相遇问题与直线情形相仿。其同时同地同向的追及问题关键在于理解速度较快者每追上较慢者一次，即多行一圈。其余关系与通常的追及、相遇问题一致。 解:设两人到第一次并肩时花了x分钟。根据题意，得200x-160x=400。 解这个方程，得x=10。 这时甲、乙跑的圈数分别是10?200?400=5和10?160?400=4。 答:两人起跑后第一次并肩花了10分钟时间，甲，乙两人分别跑了5圈和4圈。 7(解题策略:做一项工作，但没有具体数量指标，只提完成与否的，通常称作工程问题。工作总量用1表示。基本等量关系是工作量=工作效率?工作时间。其中工作效率是单位时间内完成的工作量，通常是单独完成时间的倒数。如本题甲的工作效率是 ，乙的工作效率为，丙的工作效率为 。涉及到几个施工单位合作、先后工作等，在建立方程时取其工作量之和。常见的水池进出水问题，也属此类。 解:设乙中途离开了x天，则乙工作了(7-x+2)天，其工作量是 ，甲的工作量是 ，丙的工作量是 。根据题意，得。 解这个方程: 9+9-x+3=18 x=3 答:乙中途离开了3天。 8(解题策略:一次增长(减少)百分率问题的基本关系是原有量?(1?p%)=现有量，这里p%是增长或减少的百分率。要注意原有量与现有量的相互换算。这类问题还需注意设元的合理性，简化计算。 解法一:设一月份营业额甲柜组增加x万元，则乙柜组增加了(75-64-x)万元。 根据题意，得=64， 解这个方程，得x=5.6，则11-x=5.4。 答:甲、乙两柜组分别增加了5.6万元和5.4万元。 解法二:设甲、乙两柜组十二月份营业额为x万元和(64-x)万元。根据题意，得 20%?x+15%?(64-x)=75-64， 解得x=28， 则20%x=5.6， 15%?(64-x)=5.4。 错误辨析: 这类题要防止所设未知数与列出方程不符。如本题不能按解法一设元，而列得解法二的方程。 9(解题策略:对行程问题中的追及和相遇两类基本等量关系我们应熟练掌握，并能通过对综合问题的分析，灵活应用。本题通讯员赶到队前实质为在追赶队前第一人，所花时间为路程(队伍长)除以速度差;同理，返回时可视为通讯员与队末一人作相向运动至相遇为止。 解:设队伍长为x千米，根据题意，得 解这个方程:， 25x+5x=24, x=0.8。 答:队伍长0.8千米。 错误辨析:列方程时易将右边误写作14.4。这类问题一般单位不一致，应注意互化。 10(解题策略:对多位数应用题一般不能设直接未知数，而应采用位值制设元(即如一个三位数的百位数字a,十位数字b，个数数字c，则这个三位数是100a+10b+c)。然后通常可由“译式”列得方程。有时在解题中还要注意字母的取值范围。 解:设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为4x+1，这个两位数是10(4x+1)+x。 根据题意，得[10(4x+1)+x]-[10x+(4x+1)]=63。 解这个方程，得x=2。 故原数为10(4x+1)+x=92。 。 答:这个两位数是92 11(解题策略:这类问题通常考虑短时间内火车与通道的相对运动，关键要辨明实际路程，且要重视对关键语句的透彻理解。如本题“从车头上桥到车尾离桥”即告诉我们所要考虑的路程应是桥与火车的长度之和(如图1所示)。而“火车完全在桥上”，则路程为桥与火车的长度之差(如图2)。这类问题若确定一个点观察，如果设以车尾一人(图中画“Δ”处)作标准，则关系更明显。 解法一:设火车长为x，根据题意，得。 解这个方程，得x=200， =20。 答:火车长度为200米，火车行驶速度为20米/秒。 解法二:设火车行驶速度为x米/秒。 根据题意，得60x-1000=1000-40x。 解这个方程，得x=20。 12(解题策略:这类题通常已知量极少。连同所求未知数往往只涉及行程问题三个基本量中的一个。难以用常规方法列出方程。可考虑两条途径:(1)大胆设“辅助元”，在解方程过程中通常可自然消去;(2)应用比例寻求等量关系。如相同时间下路程与速度成正比例，相同路程下速度与时间成反比例等。 解法一:设学校到C地的距离为x千米，甲的速度为a千米/分，乙的速度为b千米/分。 由乙追甲至C地时间相等可得， 同理可得。 比较两式，得， 即x-2=11-x。 解得x=6.5。 答:学校到C地距离为6.5千米。 解法二:同上法设元。 因甲从B地到C地与乙从学校到C地时间相等，故他们所行路程比等于速度比，得 ， 同理 ，所以。 因为x?0，可解得结果。 解法三:设B、C间距离为x千米，则学校到C地距离为(x+2)千米。因甲后来所行两段路程的时间都等于乙人学校到C地的时间，故这两段路程应相等。得2+2x+3=14。 错误辨析:这类题忌不加分析，乱套行程问题的任一模式。 反馈练习 1(下列各式中，是方程的有( ) ?3x+4=7 ?5y+3 ?a(b+c)=ab+ac ?8x-2y=3 ?s=vt A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2(在下列方程中，与3x-2=1的解相同的有( ) A.5x+3=6 B.5x-2=4 C.4x-3=1 D.3x+2=1 3(下列解法中，正确的是( ) 5、某幼儿园小班给孩子们分苹果，若每人分5个还少2个，若每人分4个则多出8个，问这个班共有多少个孩子,现有苹果多少个, 答案: 1、C 2、C 3、C 4、x=36 5、解:设这个班有x个孩子，则5x-2=4x+8，解得x=10(个) ?5x-2=5?10-2=48(个) 答:这个班有10个孩子，现有苹果48个。