线性风险容忍度效用下线性跳跃扩散过程的零息债券均衡定价

线性风险容忍度效用下线性跳跃扩散过程的零息债券均衡定价 线性风险容忍度效用下线性跳跃扩散过程的零息债券 均衡定价 第29卷第1期 2<#004699'>0<#004699'>09年 1月 系统工程理论与实践 Systems Engineering— Theory& Practice 29(NO(1 V<#004699'>01( Jan(，2<#004699'>0<#004699'>09 文章编号:1<#004699'>0<#004699'>0<#004699'>0—6788(2<#004699'>0<#004699'>09)<#004699'>01—<#004699'>0<#004699'>029—<#004699'>08 线性风险容忍度效用下线性跳跃扩散过程 的零息债券均衡定价 蒋贤锋 ，一，齐 飞。 (1(东北财经大学 应用金融研究中心，大连 116<#004699'>025;2(人民银行金融研究所 博士后流动站，北京 1<#004699'>0<#004699'>08<#004699'>0<#004699'>0 3(中国注册会计师协会 标准部，北京 1<#004699'>0<#004699'>0<#004699'>081) 摘 要 同时考虑到效用函数和禀赋价格动态过程的多样性，给出了代表性经 济人具有线性风险容 忍度效用并且禀赋遵循线性跳跃扩散过程时零息债券均衡价格的显示表达 式，探讨了其收益率为 常数的条件及禀赋过程满足均衡要求的条件( 关键词 线性风险容忍度;线性跳跃扩散;零息债券;均衡定价 中图分类号 F83<#004699'>0 文献标识码 A Equilibrium pricing for zero coupon bond when the representative’S utility shows linear risk tolerance under the linear j ump diffusion processes JIANG Xian(feng ，一(QI Fei。 (1(Research Center of Applied Finance，Dongbei University of Finance and Economics，Dalian 116<#004699'>025，China;2(Institute of Finance，People’s Bank of China，Beijing 1<#004699'>0<#004699'>08<#004699'>0<#004699'>0，China;3(Criterion Department，Chinese Institute of Certificated Public Accountants，Beijing 1<#004699'>0<#004699'>0<#004699'>081，China) Abstract The forms of representative’S utility function and the dynamics of price of endowment are two basic aspects in equilibrium pricing(It will lead to non-robust conclusion if either of these aspects in not considered completkly(Give the explicit formulas for the equilibrium price of the zero coupon bond when the representative’S utility shows linear risk tolerance under the linear jump diffusion processes，incorporating both the diversities of the forms of utility functions and the dynamics of price of endowment(The conditions are solved for the constan t yield to maturity for the zero coupon bond(And the equilibrium conditions are also found for the endowment( Keywords linear risk tolerance;linear jump diffusion;zero coupon bond;equilibrium pricing 收稿日期:2<#004699'>0<#004699'>0,<#004699'>07—23 资助项目:国家自然科学基金 (7<#004699'>08<#004699'>01<#004699'>01<#004699'>0;7<#004699'>0671<#004699'>019);中国博士后科学基金 (2<#004699'>0<#004699'>08<#004699'>043<#004699'>0<#004699'>058);中国博士后科学基金首批特别资 助 (2<#004699'>0<#004699'>08<#004699'>0114<#004699'>0) 作者简介:蒋贤锋 (1979-)，广西全州人，汉族，男，东北财经大学应用金融研究中心金融工程专业研究人员，人民银行金融研 究所博士后流动站博士后，研究方向;金融工程、实物期权、实验经济学，(sinavc4>>(com，<#004699'>01<#004699'>0-66194353;齐飞 (1974一)，河南 人，汉族，男，研究方向:会计学( 系 统 工 程 理 论 与 实 践 第 29卷 1 引言 效用函数的形式在均衡定价中具有重要作用(在一个 2期的离散经济中，若投资者具有负指数效用函数 (例如 u(x)=一e )，则其在风险证券的最优投资额关于初始财富不变;但若投资者具有负二次效用函数 (例如 u( )=一y2,2)，则其在风险证券的最优投资额是初始财富的减函数 [1-2】(因此，效用函数的设定对理 论分析至关重要，在特殊情况下甚至改变最终结论(出于稳佬陛考虑，必须研究多种效用函数下的情形( 线性风险容忍度(Linear—Risk—Tolerance，LRT)效用函数或双曲绝对风险厌恶系数(Hyperbolic—Absolute— Risk—Aversion，HARA)效用函数是截至目前包容性比较广的效用函数，它们的特点是风险容忍度关于自变 量是线性的或绝对风险厌恶系数关于自变量是双曲的(以上提到的负指数效用函数、负二次效用函数及其他 经常使用的对数效用函数等都是 LRT效用函数的特例(而且，LRT效用函数不仅可以刻画风险厌恶者的风 险态度，还在描述风险喜好者的风险态度上具有一定意义 【3】(此外，随着其取值范围的不同，LRT效用函数 的风险容忍度 (因而其绝对或相对风险厌恶系数)可以表现出单调递增、递减、不变特征，可以描述不同偏好 下的决策行为和理论分析，既可刻画同质经济人对经济系统的共同作用，又可捕捉异质假设下的差异性，因而 代表性很广(因此，基于线性风险容忍度效用函数及该类效用函数下代表性经济人 (Representative Agent) 模型已经广泛应用于均衡资产定价 [4-5]、分配 [6-8】、风险管理 【<#004699'>0】等(但目前关于线性风险容忍度效用下代 表性经济人模型的研究多集中在简单随机过程，一般假设随机变量遵循相对简单的分布，譬如正态或均匀分 布，对不连续尤其是跳跃扩散过程环境中的研究很少( 均衡定价中的另一个有影响力的因素是资产的动态过程(经典的期权定价模型 [1<#004699'>0--11]及随后一系列模 型都假设资产价格遵循连续的布朗运动轨道(然而，文献 【12—14】等的研究都表明，一般资产价格 (即使是金 融资产价格)，都表现出非连续的跳跃过程(因此，研究带跳跃的随机过程的资产定价更具有现实意义( 包含连续的布朗运动变化及一般跳跃过程的过程是跳跃扩散过程，其中简单一种是所有系数都为常数， 此时称为 Levy过程 [15】(事实上，关于Levy过程及一般跳跃扩散过程在金融经济学中也已经有了深入研究， 广泛应用于保险投资 [16-171、资产定价 [18-2<#004699'>0】、风险管理 [21--22】，等(但这些研究一般着眼于最大化经济人 的预期收益，隐含地假设经济人是风险中性的，或者最大化经济人的预期效用，但只考虑到了某一类型的经 济人，或者是指数型效用的经济人，或者是对数型的经济人，对一般线性风险容忍度效用下的经济人欠考虑， 也很少有对不同线性风险容忍度效用的经济人决策或定价进行比较( 本文着眼于线性风险容忍度效用的代表性经济人环境，考虑跳跃扩散过程的资产定价问题，包容不同类 型的经济人特征，同时考虑到了资产价格的连续成分和跳跃成分，具有更广泛的适用性(相对于历史研究或 者集中在线性风险容忍度效用经济环境，或者集中在禀赋的跳跃扩散过程， 本文的贡献在于同时从代表性经 济人类型和初始禀赋不同动态变化过程两个方面对资产定价进行比较，并给出了相关均衡条件( 本文的落脚点集中在资产定价的基本问题:零息债券定价(尽管文献 f23—241已经讨论了跳跃扩散过程 下的利率期限结构及零息债券定价，但与上述研究一样，他们没有考虑到经济人的不同特征(此外，尽管本文 的基本问题已经在文献 【2<#004699'>0，25】中得以解决，但他们并未给出具有广泛适用性的效用函数和资产动态过程时 的显示价格表达式，而这正是本文的主要目的(因此，本文的结论一方面方便实际工作，另一方面对于理论深 入也有所推进( 2 基本框架 设客观测度为 Q(考虑一个理性预期模型 【 引，假设没有红利(风险厌恶的代表性经济人选择消费最大化 其预期效用，即面临的问题为 m 。 a x E(fo (ct， ))?其中，U(ct，t)关于ct的一阶导数和二阶导数分别为正、 负，即 Uc(c~，t)><#004699'>0、 。(ct，t)<<#004699'>0( ( ) 为外生且具有马尔科夫性质的禀赋过程(在适当条件下，均衡时的任 1(Levy过程与 Levy驱动过程不同，后者比前者更复杂(一般的跳跃扩散过程可以写成 Levy驱动过程 【 第 1期 蒋贤锋，等:线性风险容忍度效用下线性跳跃扩散过程的零息债券均衡定价 31 意 To期支付 p(TO)在 t期 (t To)的价格满足如下的 Euler方程 [2<#004699'>0,26]: p(t)=—EQ — (Uc ] (5( To)丽,TO )p( TO)一]O(t)) e(t)为 t期信息集 (1)式意味着，To 到期的零息债券在 t时刻价格 B(t，To)为 = 因此，令 z(t，TO)=B(t， ) ( (t)，t)，则 z(t，TO)是一个 Q一鞅(通过 迪dQ = 度 ，则 为风险中性测度，即任意未来支付的目前价格可表示为 (2) 定义新的等价鞅测 p(t)=EQ(B(t，TO)P(TO)IO(t)) (3) 因此，一般资产的定价问题转化为零息债券价格 B(t，To)的定价问题(一旦零息债券价格给定，我们就 可以找到一种新的等价测度，使折现价格成为鞅( 3 线性风险容忍度下的零息债券均衡定价 为了简化分析，本文设定效用函数形式为 (c(t)，t)=e--<#004699'>0t (c(t))，其中 为常数，可理解为主观折现率， u(ct)为 LRT效用函数，分别采取对数形式 (札(c( ))=ln(c(,)))、幂指数形式 (札(ct)=(ct)n, ， ?<#004699'>0且 ?1)、负指数形式 ( (ct)=一e-B ( ， ><#004699'>0)(在以下的分析中，幂指数效用函数与对数效用函数结论基 本一致，因此只对这两类效用函数中的幂指数效用函数进行讨论(利用 (1)式并对效用函数求导可得如下结 论: 命题 1幂指数效用函数下的零息债券价格为 B(t，TO)=E(e-o(To ( )。一 『@( )) (4) 、 ， 负指数效用函数下的零息债券价格为 B(t，TO):E(e一。(To一 )一( ( )一 ( ))Ie(,)) (5) 4线性跳跃 —— 扩散过程下的零息债券均衡定价 6(t)为如下形式: 令禀赋过程 dS(t)=(po(t)+ 1(t)6(t))dt+(ao(t)+<#004699'>0;1( )) ( )+,(az+bzS(t))P(dt，dz) (6) ’， 其中，w(t)是测度Q下的标准布朗运动，P(dt，dz)是测度 Q下的Poisson随机测度( 与w(t)及P(dt，dz) 相互独立(z的分布密度分别为 西。(z)，相应的分布函数分别为 :(z)，定义域为 Q c R(本节考虑复合 Poisson的跳跃过程(对于 (6)式的线性跳跃扩散过程，其显示解为: )=舢五 ( + 1 (( ))ds+<#004699'>0;<#004699'>0四 s)+ az p( )] (7) 其中pto(t)满足 dpto(t)= o(,)( 1(t)9><>d?+<#004699'>0;1(t)dW(t)+,bzP(dt，dz) (8) Jn Pto(t)的显示解为 ， 舳( ):e ( 一 )蚪 s)+ ln( 恤)P( ’ (9] 在方程 (6)中，如果 <#004699'>0=<#004699'>0;<#004699'>0=a=<#004699'>0，则 5(t)为几何 Levy过程，扩散部分为 GBM;如果 <#004699'>0;1=<#004699'>0且 l 与 ,-to互为相反数，则5(t)为具有均值回复特征的 Levy(Ornstein-Uhlenbeck过程 (LOU过程)，扩散部分为 OU过程(因此，利用 (7)式可得几何 Levy过程和 LOU过程的显示解( 下面考虑线性跳跃扩散过程下具有 LRT效用的零息债券定价( 32 系 统 工 程 理 论 与 实 践 第 29卷 命题 2令 ,=To—t(假设 (7)式中的所有参数皆为常数(如果效用函数是 负指数效用函数，那么有以 下结论: 如果禀赋过程为几何 Levy过程且各参数为常数，则 Bit， ):e 一 )+ 。f~t bzu(dz)ds <#004699'>0<#004699'>0) 如果禀赋过程为 LOU过程且 1?<#004699'>0，则 rTo ， B(t，To):exp(一 ,+ (t)(e (To一 一1)+ ( 一t),2+, ,(e 一1)u(dz)<>d8) (11) t， t J【2 如果禀赋过程为常系数跳跃扩散过程，则 B(t，To)=e-i( + 如果效用函数是幂指数效用函数，则有以下结论: 如果禀赋过程为几何 Levy过程，则 U(t， ):e—f( 一( 一 )( 一 , )一 ( 一 ) , 一 ( 舶z) 一一 ) (dz)) (13) 如果禀赋过程为 LOU过程且 1?<#004699'>0，则 Bit，To)=e-Or Q(三( ，To， ( ))卢一 』 ( ))( (14) 其中，三( ，To， (t))=e + (t)一 ( <#004699'>0(1一cttlt), 1+ 。ettls(aodW(s)+azP(dt，dz))) 如果禀赋过程为 LOU过程且 1=<#004699'>0、 :2，则 B(t， )=e-~i(1+ (,)一 ( <#004699'>0,+e 。 (。 一 ) (<>d )))( (15) 证明 上述结论的证明基本相同，下面只给出负指数效用下几何 Levy过程和 LOU过程结论的证明(剩 余证明与此类似( 考虑负指数效用情形，零息债券价格由 (5)式给出，其主要部分为 5(To)一 (t)(在几何 Levy过程假设 下， 5(To)一 (?): ( )fe ( 2,2)ds+aldw(s)+ ln(1+bz)P(dt,dz)一1) (16) 由于 ,(To , dW(~)lO(t),N(o，To— )， (17) 并且 E 、 ( 一 fT。 (^z)P(ds,dz)Ie(,))=e 。 (e 一 ) (<>d ，ds) (18) 因此，给定 t期信息，利用 (16)式和 (18)式求条件期望即可得 (1<#004699'>0)式( 在 LOU过程下，当 1?<#004699'>0时， ) (emi-1) )+ e ’( s+cro s)+ n ds~dz)) (19t ) , S 2 , 同样利用 (17)式和 (is)，对 (19)求条件期望可得 (11)式( 接下来考虑零息债券的收益率( 到期的零息债券在 t期的到期收益率 r(t， )定义为 r(t，To)=一(To一,)-1 1n(B( ，To))( (2<#004699'>0) r( ， )一般是随机的，然而，在一些特定情况下仍然可以得到确定性的到期收益率( 推论 1当代表性经济人的效用为幂指数效用、禀赋过程为几何 Levy过程时，零息债券到期收益率是常 数， r(t，To)= 一( 一1)( 1一 ,2)一( 一1)。 一(To—t),((1+6 )卢一 一1)v(dz) (21) 当代表性经济人的效用为负指数效用、禀赋过程为常系数跳跃扩散过程时，零息债券到期收益率是常数， r=r( ，To)= + <#004699'>0一<>d,2一(To—t),(e一。 一1) (dz)( (22) 第 1期 蒋贤锋，等:线性风险容忍度效用下线性跳跃扩散过程的零息债券均衡定价 33 【2<#004699'>0】中的情形(然而，当代表性经济人的效(21)式即是文献 用函数不采用幂指数效用而采用负指数效用 时，零息债券到期收益率很难保证是常数，但若此时禀赋过程采取常系数跳跃扩散过程时，我们又肯定可以 得到常数到期收益率 (22)式(但 (21)式的常数到期收益率与 (22)式具有不同的结构( 5 均衡条件 上面分析了均衡时零息债券价格及到期收益(然而并不是任意资产价格都满足均衡条件(下面讨论均衡 需要满足的相关条件( 首先考虑幂指数效用且资产价格过程为几何 Levy过程(此时，Q与 Q等价的 Radon-Nikodym导数为 — Z(t, — To): P 一 } 等 ds+ l(a一1)dW(s)一 ((1+bz) 一1一1) (dz)ds+fct1n((1+b ) 一 )P(ds，<>d ( f23) z(o，To) ( 考虑服从如下动态过程的任意资产价格 dS(t)=( 2+#3S(t))dt+(<#004699'>0;2+~3S(t))dW(t)+,(bz) P(dt，dz) (24) 资产价格与禀赋受到同样随机因素的影响，但漂移项与扩散项系数有可能不同(漂移项系数由几何Levy 过程中的 1变为 2+ 3S(t)，跳跃幅度变为原来的 次幂， ?(一。。，+?)(显然，当 2=<#004699'>0;2=<#004699'>0、 3= 、 3= 、 :1时，该资产价格与禀赋过程遵循相同的运动过程( 为了书写方便，我们将(厂<#004699'>0 h(z)P(dt，dz)写成h(z)dP(t)的形式，P(t)是强度为 的Poisson过程( 命题 3假设 EQ((1+6 )(卢一 ))<(3<#004699'>0及 EQ((1+6z)(卢一 )( ) )<。。(如果代表性经济人效用函数是幂 指数效用函数，资产价格 (24)式满足均衡条件 (1)式或 (3)式当且仅当 2=一<#004699'>0;2<#004699'>0;1( 一1)， (25) 并且 3= 一(OL,1)( 1一 ,2一 1<#004699'>0;3)一 }( 一1) ,2一入EQ(((1+bz)fl-1(1+(bz) )一1)) (26) (25)式及 (26)式满足，则在测度 下， 此外，若 dS(t):rS(t)dt—lEO(。 )S(t)dt+( 2+盯3 <#004699'>0))<>d ( )+(6z) dP(t)( (27) 在测度西下， (,)是布朗运动，P(,)是强度为 = EQ((1+6z) 一 )的Poisson过程，bz的分布密度 为 (6z)= (6z)( 证明 由Girsanov定理 [27—3ol得，在测度 下， (t)= ( )一 1( 一1)t是布朗运动，P(,)是强度 为 = EQ((1+b ) 一 )的Poisson过程，bz的分布密度为 :(6z)= 鲁 b (bz)(资产价格s(t) 的动态过程从测度 Q向测度 转换后变为: = (南 )? (南 ) = ((南 )+(南 ) )dt+EQ(( 酬， 一 EQ(JZz dN(t))+(丽O;2+ )<>d ( ( dP(t) (28) 由于 E西((bz) dP(t)): E西((b名) )dr 枷 +6 _1) )<>d( AEQ((bz) (1+6 )卢 ) (29) : 因此，(28)式转化为 雨dS(t)=((南 )+(南 ) Q-1)+ ((6 ( 舶 )出 一 E西((bz) dP(t))+(丽(72 +盯3)<>d (t)+(bz) dP(t) (3<#004699'>0) 系 统 工 程 理 论 与 实 践 第 29卷 给定初始信息的条件期望为 ( - )=((南 )+(南+<#004699'>0-3) Q +AEQ c )出(31 由风险中性定价公式 (3)得 er(To-t)=EQ(S( ),S(t)le(,))， (32) 或者 er(? )=EQ(s(t+At),S(t)lO(t)) (33) 令 ? 一<#004699'>0，对上式左面进行 Taylor展开并忽略二次及以上高次项得 1+rdt=1+EQ(dS(t),S(t)lO(t)) (34) 即在风险中性测度 下，资产瞬时收益率为零息债券到期收益率，rdt=EQ(dS(t),S(t)IFt)(因此，要满足均 衡条件，必须 +毒裔 1( 一1)=<#004699'>0，这即是(25)式，并且 3+<#004699'>0-3<#004699'>0-l( 一1)-4-AEQ((bz) (1+6名)p一 )=r( (35) (35)式即是(将 (23)式代入上式即得 (26)式，(3<#004699'>0)式简化后即得 (27)式( 推论 2 几何 Levy过程的禀赋满足均衡条件当且仅当 <#004699'>0一 ( 1+盯}( 一1),2):AEQ((1+6 )p—1)( (36) 证明 令 2:<#004699'>0;2=<#004699'>0、 3= l、<#004699'>0-3= l、，c:1，则 (24)代表几何 Levy过程的禀赋，命题 3即给出上 述结果( 接下来考虑负指数效用且资产价格过程为常系数跳跃扩散过程(此时，Q与 O等价的 Radon-Nikodym 导数为 z(t，To),Z(O， ):e 一譬ds— 。dw(s)一AE。(e-aZ_1)ds--azdP( ( (37) 考虑服从如下过程的任意资产价格 dS(t)=( 2+tt3S(t))dt+(<#004699'>0-2+<#004699'>0-3S(t))dW(t)+(az) (38) dP(t)( 资产价格与禀赋的随机因素也是一样的，但漂移项与扩散项系数有可能不同(运用与命题 3同样的逻辑， 我们有如下结论: 命题 4假设EQ(e,z一1)<?(如果代表性经济人的效用函数是负指数效用函数，资产价格 (38)式满 足均衡条件 (1)式或 (3)式当且仅当 2=<#004699'>0-<#004699'>0<#004699'>0-2+AEQ((az) e一 )， (39) 并且 3=<#004699'>0+ <#004699'>0, ,2+<#004699'>0-<#004699'>0~3一AEQ(e一 一1)( (4<#004699'>0) 此外，若 (39)及 (4<#004699'>0)满足，则在测度 Q下， dS(t):rS(t)dt一 E西((<#004699'>0z) )dt+( 2+ 3s(t))<>d (t)+(n ) dP(t)( (41) 并且，在测度 下， (,)= (t)+仃。是标准布朗运动，P(t)是强度为 :AEQ(e—n )的Poisson过程，az 的分布密度为 az)= 策 。 az)( 推论 3 常系数跳跃扩散的禀赋过程满足此时均衡条件当且仅当 肛<#004699'>0一仃 +AEQ(aze一 )=<#004699'>0， 并且 <#004699'>0+ <#004699'>0一 ,2=AEQ(e一。 一1)( (42) (43) 第 1期 蒋贤锋，等:线性风险容忍度效用下线性跳跃扩散过程的零息债券均衡定价 6 及展望 相对于历史研究单方面集中于经济人的线性风险容忍效用或者禀赋的跳跃扩散动态过程，本文同时从这 两方面进行了比较分析(我们给出了均衡定价框架下零息债券价格的显示表达式，结论适用于代表性经济人 具有对数效用、负指数下效用及幂指数效用等呈现线性风险容忍度的环境，并且允许禀赋过程遵循几何布朗 运动、OU过程及包含跳跃因素的几何 Levy过程和 LOU过程(进一步，我们给出了零息债券到期收益率为 常数时的条件及满足均衡要求的禀赋动态过程条件( 定价问题是决策问题的基础(在本文基础上，我们未来的工作将讨论具有线性风险容忍度的代表性经济 人并且资产价格服从线性跳跃扩散过程下的投资与管理问题，包括最优初始投资金额、最佳投资时机 [31]及 最优机制设计等问题( 参考文献 [1]LeRoy S，Jan W(Principles of Financial Economics[M](New York:Cambridge University Press，2<#004699'>0<#004699'>01( [2]2 Huang C F，Robert L(Foundations for Financial Economics[M](North —Holland，New York，1988( [3】蒋贤锋，史永东(线性风险容忍度效用函数及其在证券市场中的应用 [R](东北财经大学应用金融研究中，5;212作，2<#004699'>0<#004699'>06( Jiang X F，Shi Y <>D(Linear—risk—tolerance utility function and its applications in security market[R】(Working Paper(Research Center of Applied Finance，Dongbei University of Finance and Economics，2<#004699'>0<#004699'>06( [4]4 Pye G(Portfolio selection and security prices[J](Review of Economics and Statistics，1967，49(1):111—115( 【5】Madrigal V，Stephen S(On fully revealing prices when markets are incomplete[J](American Economic Review， 1995，85(5):1152—1159( [6]Borch K(General equilibrium in the economics of uncertainty[C] ,,Proceedings of a Conference Held by the International Economic 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