当v≠E除以B时,速度选择器中的粒子将何去何从

当v≠E除以B时,速度选择器中的粒子将何去何从 当v?E除以B时,速度选择器中的粒子将何去何从 E当v?B时，速度选择器中的粒子将何去何从 速度选择器是中学物理中涉及的一种重要仪器，与其直接相关的物理学原理便是带电粒子在复合场中的运动(然而在实际教学中，大多数教师在对其选择原理的理解与讲授时不够清晰明了( ? v B?? ? ???? ? 图53?1 如图53?1所示，金属空腔内部加上垂直纸面向里的匀强磁场以及垂直极板向下的匀强电场，两端开有在同一水平直线上的小孔(这样，将带正电荷q的粒子沿水平方向打入左端小孔时，该装置便能选择出v? 当v? 射出; E的粒子(对此，一般的解释是: BE时，有qE?qvB，粒子在竖直方向上受力平衡了，则沿直线传播直至从右孔B E时，有qE?qvB，则粒子向上偏; B E当v?时，有qE?qvB，则粒子向下偏( B E这样，就达到了选择的目的(但是，那些v?粒子将何去何从,它们 的运动轨迹将会B当v? 是什么样子,为此，我们用等效法和微积分法来分析它们的运动状态( 方法一 等效法 为了更容易理解，更好地讲授粒子的运动轨迹，我们可以用等效的思想来处理问( 当v?EEEE时，令v?v1?v2??(v?)，即将v看作两部分速度的合成(对于v1?BBBB EE的匀速直线运动;另一部分速度v2?v?，使得粒子参与一个BB这部分速度，其产生的洛伦兹力与电场力平衡，因此这部分速度保持恒定，粒子参与一个x轴方向上的速度为v1? m(v? 以x轴为切线、qBE)为半径的逆时针方向上的匀速圆周运动(其函数图像即粒子的运动轨迹分为以下三种情况( 1(EE?v?时，其图像大致为 BB 图53?2 x 2(EE?v?时，其图像大致为 BB 图53?3 3(EE?v?时，其图像大致为 BB 图53? 4 x EEEE时，令v?v1?v2??(?v)(对于v1?这部分速度，其产生的洛伦兹BBBB E力与电场力平衡，因此这部分速度保持恒定，粒子参与一个x轴方 向上的速度为v1?的B当v?匀速直线运动;另一部分v2?E?v使得粒子参与一个以x轴为切线、Bm(E?v)为半径的qB逆时针方向上的匀速圆周运动(粒子的运动轨迹大致为 图53?5 x 综上所述，当v?E时，带电粒子在xOy平面内参与了两个运动，一个是x轴方向上B 的速度为E的匀速直线运动，另一个是以x轴为切线、Bmv?qBEB为半径的逆时针方向上的 2mv? 匀速圆周运动，其在y轴方向上的最大位移为EB qB(由此可以判定，速度选择器所选择的是速度v?EE以及v?附近的一定范围的粒子(因为速度选择器的孔径是有一定限度BB 2mv? 的，当其半径大于EB qB时，粒子便会被选择出来(因此，为使仪器精良，两侧小孔要 尽量小(而未被选择的粒子有可能打在上下两侧壁上，也有可能打在左右两侧壁上(由于粒子参与两个运动，一个为v?E2?m的匀速直线运动;另一个为匀速圆周运动，其周期为，BqB所以，粒子在x轴方向上每移动2?mE便到达x轴即两侧小孔连线一次(而实际制作时，qB2 2?mE两侧小孔的距离不等于的整数倍，以排除粒子“误”出小孔的可能( qB2 方法二 微积分法 方法二涉及到高等数学等相关知识，学生可不看，仅作为中学教师研究使用(列出粒子的运动学方程，求解其运动轨迹(建立如图53?6所示的空间直角坐标系，设t?0时，粒子所处位置为原点O( y B x E z 图53?6 粒子所受的力为 F?q(E?v?B) i jk??qEj?qvx vyvz ?B ??qvyBi?(?qE?qvxB)j， 其中i、j、k分别是x、y、z轴正方向上的单位矢量(则粒子的运动微分方程为 mvx??qvyB， mvy??qE?qvxB( 对?式微分，得 mvy?qvxB( 将?式代入?式，整理得 ?q2B2 vym 2vy?0( 解得 vqBy?Csin( m t)( 将?式微分后代入?式，得 vqBx?Ccos( mt)?E B ( 因为t?0时刻，vx?v，代入?式，得 C?v? EB ( 所以 ??? ???? EqBE)cos(t)?， ? BmB EqBvy?(v?)sin(t)( ? Bmvx?(v? 对?式和?式分别积分，得 x??vxdt??[(v?00 ttttEqBEmEqBE)cos(t)?]dt?(v?)sin(t)?t， BmBqBBmBEqBmEqB)sin(t)dt?(v?)[1?cos(t)]( BmqBBmy??vydt??(v?00 EE时，x?t，y?0，其函数图像即粒子运动轨迹为一条直BB E线(则粒子在x轴方向上做v?的匀速直线运动( B E当v?时，其函数图像即粒子的运动轨迹分为以下三种情况( B EE1(?v?时，其图像大致如图所示53?2所示; BB EE2(?v?时，其图像大致如图所示53?3所示; BB EE3(?v?时，其图像大致如图所示53?4所示( BB E当v?时，其函数图像即粒子的运动轨迹大致如图53?5所示( B由此可以看出，当v? 练习 (2011年高考福建卷)如图53?7甲，在x?0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B(一质量为m、电荷量为q(q?0)的粒子从坐标原点O处，以初速度v0沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图53?7甲，不计粒子的重力( (1)求该粒子运动到y?h时的速度大小v; (2)现只改变人射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹(y?x曲线)不同，但具有相同的空间周期性，如图53?7乙所示;同时，这些粒子在y轴方向上的运动(y?t关系)是简谐运动，且都有相同的周期T?2?m( qB ?(求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离s; ??(当入射粒子的初速度大小为v0时，其y?t图像如图53?7丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A，并写出y?t的函数达式( 甲 乙 丙 图53?7 解析:(1)由于洛仑兹力不做功，只有电场力做功，根据动 能定理有 ?qEh? 解得 v? (2)当v0? 于v1?1212mv?mv0， 22 EEE时，令v0?v1?v2??(v0?)，即将v0看作两部分速度的合成(对BBBE这部分速度，其产生的洛伦兹力与电场力平衡，因此这部分速度保持恒定，粒子B EE参与一个x轴方向上的速度为v1?的匀速直线运动;另一部分速度v2?v0?，使得粒BB 子参与一个以xm(v0? qBE)为半径的逆时针方向上的匀速圆周运动(而匀速圆周 运动可以进一步分解为x轴和y轴方向上的简谐运动，这与题干相吻合( ?(由图53?7乙可知，所有粒子在一个周期T内沿x轴方向前进的距离相同，则 s?v1T?2?mE( 2qB ??(粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅即为粒子做匀速圆周运动的半径，所以 m(v0? qBE)( A?R? 如图53?8所示，粒子在y轴方向上的坐标 y?R?Rcos?t? 即为y?t的函数表达式( mEqB(v0?)(1?cost)， qBBm 图53?8 x 在这里，我们一并写出x?t的函数表达式(小球在x轴方向上的运动为以v1做匀速直线运动和以v2做匀速圆周运动在x轴的投影的合成( x1?v1t?Et， B x2?Rsin?t? 所以 mEqB(v0?)sint( qBBm x?x1?x2?EmEqBt?(v0?)sint( BqBBm