数学建模模型

建模模型 1、试建立方桌问在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。 解:依假设条件，四个桌脚连线呈正方形，因而以其中心为对称点，令正方形绕中心旋转便表示了方桌位置改变，于是可以用旋转角度的变化表达桌子的不同位置。 为了确定起见，我们以这个正方形中心为原点建立平面直角坐标系，并假设旋转开始时(角度，四个桌脚点、、C、中、C位于X轴上，则、D位于Y轴上。 、变到点、、、(图1-5)，显然，随着的改变，方桌的位旋转角度后，点、、C 置也跟着改变，从而桌脚与地面距离也随之改变。注意到试验结果，尽管方桌有四只脚，因而有四个距离，但对于每个角度，总有点、C同时着地而、D点不同时着地或、D点同时着地，而、C点不同时着地，故只要设两个距离即可。 、C两脚与地面距离之和为，、D两脚与地面距离之和为，且作为距离函数的，均为非负函数。 由假设4，与均为连续函数。而由假设3，对任一角度，恒有=0而?0或=0而?0，即对=0成立。又为证明存在角度，使=0,?0同时成立，还需要条件支持。注意到在初始位置(=0)，或，=0，0或0，=0，而旋转90度后，两组条件恰好交换。如此，方桌通过旋转改变位置能放稳的证明，便归结为证明如下的数学命题: 已知,是的连续函数，对任意，=0且=0时时0,0时=0。 求证:存在，使==0。 这就是方桌问题的数学模型。易见只需引进一个变量及其一元函数，，便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来。从而形成所需要的数学模型。 3、某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入水库.为了防洪，须调节泄洪速度.经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线，若打开两个泄洪闸，10个小时水位降落至安全线.现在，抗洪指挥部要求在3个小时内将水位降至安全线以下，问至少要同时打 试组建数学模型给予解决. 开几个闸门? 问题:安全线以下并不意味着水位高度不存在 模型假设:根据问题分析假设 1、设安全线以下水位高度为0。 2、在泄洪前水位高度为h 3、每个泄洪闸泄洪量均为a 4、水流进的速度为常数v 模型建立。设需x个泄洪闸才能在30个小时水位降至安全线，则ax?10=10(h。+10v) 又a?10?10=30(h+2v) a?2?4=2(h。+4v) 即得问题的数学模型为ax?10=10(h。+10v) a?10?10=30(h+2v) a?2?4=2(h。+4v) 模型求解得a=2v h。=4v 从而得到x=5即5小时水位才能降至安全线以下。 4、作为经济模型的一部分，若产量的变化率与生产量和需求量之差成正比，且需求量中一部分是常数，另一部分与产量成正比，那么相应的微分方程模型是甚么? 解微分方程模型是:， 5、某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚么结果?有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性。 解:根据题意可知:下一年病人数=当年患者数的一半+新患者. 于是令为从2000年起计算的年后患者的人数，可得到递推关系模型: 得递推 由可以算出2005年时的患者数人.显然这也是一阶线性常系数差分方程，且的值会趋向某一限定值L,可求出L=2000，说明无论多少年过去，患者人数只是趋向2000，但不会达到2000人。 ---来自黔南数学建模协会