立体几何轨迹与截面问题

轨迹与截面（二） 1．如图，在正方体 中， 是 的中点， 为底面 内一动点，设 与底面 所成的角分别为 均不为 .若 ，则动点 的轨迹为（  ） A. 直线的一部分    B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分    D. 抛物线的一部分 2．正方体 棱长为4， , 分别是棱 , 的中点，则过 三点的平面截正方体所得截面的面积为（  ） A.     B.     C.     D. 3．已知球 的半径为2，圆 和圆 是球的互相垂直的两个截面，圆 和圆 的面积分别为 和 ，则 （  ） A．1      B．       C．2      D． 4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（  ） A．     B．     C．     D． 5．如图，记长方体 被平行于棱 的平面 截去右上部分后剩下的几何体为Ω，则下列结论中不正确的是（  ） A． ∥       B．四边形 是平行四边形  C．Ω是棱柱        D．Ω是棱台 6．如图，在正方体 中， 是侧面 内一动点，若 到直线 与直线 的距离相等，则动点 的轨迹所在的曲线是（    ） A.直线         B.圆         C.双曲线  D.抛物线 7．如图，在棱长为1的正方体 中， 为棱 中点，点 在侧面 内运动，若 ，则动点 的轨迹所在曲线为（    ） A.直线         B.圆         C.双曲线  D.抛物线 8．如图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（  ） A．①②    B．②③    C．③④    D．①⑤ 9．如图，正方体 的棱长为 ，以顶点 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（  ） A．   B．   C．   D． 10．（2015秋?河南期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（  ） A．     B．     C．     D． 11．（2015?西城区二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB= ，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（  ） A．     B．     C．     D．1 12．如图，在长方形ABCD中，AB= ，BC=1，E为线段DC上一动点，现将 AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（  ） A．               B．               C．             D． 13．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 处，则该小虫爬行的最短路程为 ，则圆锥底面圆的半径等于（  ） A．           B．       C．       D． 参考答案 1．B 【解析】 由线面角的定义及题意可得 ，即 ，以线段 为 轴，其中垂线为 轴，如图，建立平面直角坐标系 ，设 ，则 ，所以 ，即 ，则动点 的轨迹是圆，故应选答案B。 点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用。 2．D 【解析】 过 三点的平面截正方体所得截面为一个正六边形,其余三个顶点分别为的 中点,边长为 ,所以面积为 ,选D. 3．D 【解析】 试题分析：因由球心距与截面圆的半径之间的关系得 ，故 ，应选D。 考点：球的几何性质及运算。 4．A 【解析】 试题分析：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC” 设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN ∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC” 故动点M的轨迹肯定过点D和点N 而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面 线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线 考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系 5．D 【解析】 试题分析：因为EH∥ ， ∥ ，所以EH∥ ，又EH?平面 ，平面EFGH∩平面 =FG，所以EH∥平面 ，又EH?平面EFGH，平面EFGH∩平面 =FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥ ，所以选项A、C正确；因为 ⊥平面 ，EH∥ ，所以EH⊥平面 ， 又EF?平面 ，故EH⊥EF，所以选项B也正确 考点：线面垂直的判定；线面平行的判定 6．D. 【解析】如下图所示，连结 ，过 作 于 ，∵ 面 ， 面 ， ∴ ，∴ ，故点 的轨迹为以 为焦点， 所在直线为准线的抛物线，故选D. 【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 7．C 【解析】易得 平面 ，所有满足 的所有点 在以 为轴线，以 所在直线为母线的圆锥面上，∴点 的轨迹为该圆锥面与平面 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点 的轨迹是双曲线，故选C. 【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 8．D 【解析】 试题分析：根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案 解：当截面过旋转轴时， 圆锥的轴截面为等腰三角形，此时（1）符合条件； 当截面不过旋转轴时， 圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（5）符合条件； 故截面图形可能是（1）（5）， 故选：D． 考点：平面的基本性质及推论． 9．A 【解析】 试题分析：图中弧 为过圆心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为 ，所以 ，由弧长公式知弧 的长为 ，弧 为不过圆心的平面与球面相交所得小圆的弧，其圆心为 ，因为球心到平面的距离 ，球半径 ，所以小圆半径 ，又 ，所以弧 的长为 ，两段弧长之和为 ，故选A． 考点：1、球的截面性质；2、弧长公式． 10．A 【解析】 试题分析：点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，求出AE，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO，求出OC，然后求解A1O，即可求解A1C． 解：由已知可得点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上， 过A1作A1E⊥AB于E， 在Rt△AEA1，AA1=3，∠A1AE=60° ∴ ，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°， 在Rt△AEO中， ， 在 ，∴ ， 在 故选A． 考点：空间两点间的距离公式． 11．C 【解析】 试题分析：画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值． 解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM= ，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为： = ． 故选：C． 考点：点、线、面间的距离计算；多面体和旋转体表面上的最短距离问题． 12．D 【解析】 试题分析：由题意得， ，所以 的轨迹是以 为直径的一段圆弧 ，设 的中点为 ，因为长方形 中， ，所以 ，所以 ，所以 所形成的轨迹的长度为 ，故选D． 考点：轨迹方程的求解． 【方法点晴】本题以平面图形的翻折为载体，考查了立体几何中的轨迹问题的求解，同时考查了弧长公式的运用，解题的关键是根据 沿 翻折，使得 在平面 上的射影为 在直线 上，利用 ，从而可得 所形成的轨迹是以 为直径的一段圆弧 ，求出圆心角 ，利用弧长公式求解弧长． 13．C 【解析】 试题分析：作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示：该小虫爬行的最短路程为 ，由余弦定理可得 ，∴ ．设底面圆的半径为 ，则有 ，∴ ．故C项正确． 考点：圆锥的计算，平面展开——最值问题． 【方法点晴】本题主要考查了圆锥的计算及有关圆锥的侧面展开的应用，着重考查了求立体图形中两点之间的曲线段的最短线路长，解答此类问题一般应把几何体的侧面展开，展在一个平面内，构造直角三角形，从而求解两点间的线段的长度，用到的知识为：圆锥的弧长等于底面周长，本题的解答中圆锥的侧面展开图是一个三角形，此扇形的弧长等于圆锥的面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，体现了“化曲面为平面”的思想方法．